高中数学第一章解三角形1.2.1正余弦定理在实际中的应用学案含解析新人教A版必修5.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.1 正、余弦定理在实际中的应用 测量中的基本术语 提出问题 李尧出校门向南前进200米，再向东走了200米，回到自己家中 问题 1：李尧家在学校的哪个方向？ 提示：东南方向 问题 2：能否用角度再进一步确定其方位？ 提示：可以，南偏东45°或东偏南45° . 导入新知 实际测量中的有关名称、术语 称定义图示 基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水 平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水 平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方 向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小 于 90°) 南偏西 60°(指以正南方向为始边， 转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过 的水平角 化解疑难 解三角形实际问题的一般步骤，在弄清题意的基础上作出示意图，在图形中分析已知三 角形中哪些元素，需求哪些量用正、余弦定理解三角形是解题的关键环节. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 测量高度问题 例 1 如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一 是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 米， 在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和 30°，且CBD 30°， 求塔高AB. 解 在 RtABC中，ACB45°，若设ABh，则BCh；在 RtABD中，ADB 30°，则BD3h. 在BCD中，由余弦定理可得 CD2BC 2 BD22·BC·BD·cosCBD， 即 200 2 h2(3h)2 2·h·3h· 3 2 ， 所以h2200 2，解得 h200(h 200舍去 )， 即塔高AB为 200米 类题通法 测量高度问题的要求及注意事项 (1)依题意画图是解决三角形应用题的关键，问题中，如果既有方向角(它是在水平面上 所成的角 )，又有仰 (俯)角(它是在铅垂面上所成的角)，在绘制图形时，可画立体图形和平面 图形两个图，以对比分析求解 (2)方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一点的方 向角从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解 题意时将可能产生偏差 活学活用 (湖北高考 )如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一 山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向 上，仰角为30°，则此山的高度CD _m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由题意，在ABC中，BAC30°， ABC180° 75° 105°，故ACB45°. 又AB 600 m，故由正弦定理得 600 sin 45° BC sin 30° ， 解得BC3002 m. 在 RtBCD中，CDBC·tan 30° 3002× 3 3 100 6(m) 答案： 1006 测量角度问题 例 2 如图， 在海岸A处，发现北偏东45°方向， 距A处 (31)n mile 的B处有一艘走私船， 在A处北偏西75°的方向， 距离A处 2 n mile 的C处的缉私船奉命以103 n mile/h 的速度追截走私船此时，走私 船正以 10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快 追上走私船？ 解 设缉私船用t h 在D处追上走私船， 则有CD103t，BD10t， 在ABC中，AB31，AC2，BAC120°， 由余弦定理，得 BC 2 AB 2 AC22AB·AC·cos BAC (31)2222·(31)·2· cos 120 ° 6， BC6， 且 sin ABC AC BC·sin BAC 2 6 · 3 2 2 2 . ABC45°. BC与正北方向垂直 CBD90° 30° 120°， 在BCD中，由正弦定理，得 sin BCD BD·sin CBD CD 10tsin 120° 103t 1 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BCD30° . 即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船 类题通法 解决追及问题的步骤 (1)把实际问题转化为数学问题； (2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或 余弦定理，就容易解决问题了； (3)最后把数学问题还原到实际问题中去 活学活用 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我 海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为 10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10 海里 / 小 时的速度向前行驶，我海军护航舰 立即以 103 海里 / 小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间 解：设护航舰靠近货船所用时间为t小时在ABC中，根据余弦定理，有 AB2AC2BC 22AC· BCcos 120°， 可得 (103t)2102(10t)22×10×10tcos 120°， 整理得 2t2t10，解得t 1 或t 1 2(舍去 ) 所以护航舰靠近货船需要1 小时 此时AB103，BC10， 又AC10，所以CAB30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 1.探究距离测量问题 测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不 可达 解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三 角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【角度一】两点间不相通的距离 例 1 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方 法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC 的长b，a，则可求出A，B两点间的距离 即ABa 2 b22abcos . 若测得CA400 m，CB600 m，ACB60°，试计算AB的长度 解 在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC 22AC· BC·cosACB， AB2400 260022× 400×600×cos 60° 280 000.AB200 7 m. 即A，B两点间的距离为2007 m. 【角度二】两点间可视但有一点不可到达 例 2 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达， 要测出A，B的距离，其方法为在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再 借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC60 m，BAC75°，BCA45°，则A，B两点间的距离为_m. 解析 ABC180° 75° 45° 60°， 所以由正弦定理得 AB sin C AC sin B ， AB AC·sin C sin B 60×sin 45° sin 60° 206(m) 即A，B两点间的距离为206 m. 答案 206 【角度三】两点都不可到达 例 3 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离， 其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得 BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算 出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若测得CD 3 2 km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，求A， B两点间的距离 解 ADCADBCDB 60°，ACD 60°， DAC60°， ACDC 3 2 . 在BCD中，DBC45°，由正弦定理，得 BC DC sinDBC·sinBDC 3 2 sin 45° ·sin 30° 6 4 . 在ABC中，由余弦定理，得 AB2AC2BC 22AC· BC·cos 45° 3 4 3 82× 3 2 × 6 4 × 2 2 3 8. AB 6 4 km. A，B两点间的距离为 6 4 km. 随堂即时演练 1若P在Q的北偏东44°50方向上，则Q在P的( ) A东偏北45°10方向上 B北偏东45°50方向上 C南偏西44°50方向上 D西偏南45° 50方向上 解析：选 C 如图所示，点Q在点P的南偏西44°50的方向上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成 60°的视角，从B岛 望C岛和A岛成 75°的视角，则B，C间的距离是 ( ) A 103 海里B. 106 3 海里 C52 海里D56 海里 解析：选 D 如图，C180° 60° 75° 45°，AB10， 由正弦定理得 10 sin 45° BC sin 60° ， BC56(海里 )，故选 D. 3如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，ABBD，CDBD， 从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为30°，测得乙楼底部D的 俯角60°，已知甲楼高AB24 米，则乙楼高CD _米 解析：过A作AECD(图略 )，垂足为E，EDAB24 米，则AE ED tan 60° 24 3 83(米) 在 RtACE中，CEAE·tan 30° 83× 3 3 8(米)， CDCEED8 2432(米) 答案： 32 4.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB 45°，CBA75°，AB120米，则河的宽度为_米 解析：ACB 180° 45° 75° 60°， 在ABC中， AB sinACB BC sinCAB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BC120· sin 45° sin 60° 1202 3 ， 河宽为BCsinCBA 1202 3 sin 75° 20(33)米. 答案： 20(33) 5.如图， 位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南 偏西 30°、相距 20 海里的C处的乙船， 现乙船朝北偏东的方向沿直线 CB前往B处救援，求cos 的值 解：如题中图所示，在ABC中， AB40，AC20，BAC120°， 由余弦定理知， BC 2 AB 2 AC22AB·AC·cos 120° 2 800?BC207. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC? sinACB AB BC·sin BAC 21 7 . 由BAC120°，知ACB为锐角， 则 cosACB 27 7 . 由ACB30°，得cos cos(ACB 30°)cosACBcos 30° sinACBsin 30° 21 14 . 课时达标检测 一、选择题 1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为 ( ) AB C90°D180° 解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如下图 知，故应选B. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东 30°，B在C 南偏东 60°，则A，B之间的距离为 ( ) A.2a km B.3a km Ca km D2a km 解析：选 A ABC中，ACBCa km，ACB90°，AB2a km. 3有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长 坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位： m)是( ) A 5 B10 C102 D103 解析：选 C 如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30°，在ABB中，利用正弦 定理可求得BB的长度 在ABB中，B 30°， BAB 75° 30° 45°，AB10 m， 由正弦定理，得 BB ABsin 45° sin 30° 10× 2 2 1 2 102 (m) 坡底延伸102 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°. 4一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔 68海里的M 处，下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) A. 176 2 海里 / 小时 B346 海里 / 小时 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 172 2 海里 / 小时 D 342 海里 / 小时 解析：选 A 如图所示，在PMN中， PM sin 45° MN sin 120° ， MN 68×3 2 346，v MN 4 17 2 6 (海里 / 小时 ) 5.如图，甲船以每小时302 海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105° 方向的B1处，此时两船相距20 海里；当甲船航行20 分钟到达A2处时， 乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102 海里， 则乙船每小时航行( ) A 102 海里B202 海里 C30 海里D302 海里 解析：选 D 如图，连接A1B2，在A1A2B2中， 易知A1A2B260°， 又易求得A1A2302× 1 310 2A2B2， A1A2B2为正三角形，A1B2102. 在A1B1B2中，易知B1A1B245°， B1B224002002×20×102× 2 2 200， B1B2102，乙船每小时航行302 海里 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6某人从A处出发，沿北偏东60°行走 33 km 到B处，再沿正东方向行走2 km 到 C处，则A，C两地距离为 _km. 解析：如图所示，由题意可知AB33， BC2，ABC150°. 由余弦定理，得 AC2 274 2×33×2×cos 150 ° 49，AC7. 则A，C两地距离为7 km. 答案： 7 7(四川高考 )如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°， 30°， 此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于 _m(用四舍五入法将结果精 确到个位参考数据：sin 67° 0.92 ，cos 67° 0.39 ，sin 37° 0.60 ，cos 37°0.80，3 1.73) 解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足 在 RtACD中，AC92， 在ABC中，由正弦定理， 得BC AC sinABC×sin BAC 92 sin 67° ×sin 37° 92 0.92 ×0.60 60(m) 答案： 60 8某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后， 看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为_ n mile. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置， 则BCAD，DAB30°， DAC60°，则在RtACD中， DCACsin DAC30sin 60° 153 n mile， ADACcos DAC 30cos 60° 15 n mile， 则在 RtADB中， DBADtanDAB15tan 30° 53 n mile， 则BCDCDB15353103 n mile. 答案： 103 三、解答题 9某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点 处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和 45°，又 知AB的长为 40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度 解：如图所示，由题意，得 ABC45° 30° 15°， DAC60° 30° 30°. BAC150°，ACB 15°， ACAB40 m，ADC120°，ACD30°， 在ACD中，由正弦定理，得 CD sinCAD sinADC· AC sin 30° sin 120° ·40 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 403 3 (m) 故转播塔的高度为 403 3 m. 10某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途 测得塔的最大仰角为30°，求塔高 解：设B为塔正东方向一点，AE为塔，沿南偏西60°行走 40 m 后到达C处， 即BC 40， 且CAB135°， ABC30°， 如图在ABC中， AC sinABC BC sinCAB， 即 AC sin 30° 40 sin 135° ， AC202.由点A向BC作垂线AG，此时仰角AGE最大等于30°. 在ABC中， ACB180° 135° 30° 15° AGACsin15° 202 sin 15° 10(31) AEAG·tan 30° 1033 3 . 即塔高为 1033 3 m. 11甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正 向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问：甲船应往什么方向前进才能在最短时间内 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 追上乙船？此时乙船行驶多少海里？ 解：设甲沿直线与乙船同时到达C点， 则A，B，C构成一个ABC， 如图，设乙船速度为v， 则甲船速度为3v，到达C处用时为t. 由题意BCvt，AC3vt，ABC 120°. 在ABC中， 由余弦定理得 AC2AB2BC 22AB·BC·cos 120°， 3v2t2a 2 v2t2avt. 2v2t2avta20，解得vt a 2 (舍)或vta. BCa. 在ABC中ABBCa， BACACB30°. 答：甲船应往北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a海里 12A，B，C是一条直路上的三点，ABBC1 km，从这三点分别遥望一座电视发射 塔P，在A处看见塔在东北方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60° 方向，求塔到直路的距离 解：如图所示，过C、B、P分别作CMl、BNl、PQl，垂足 分别为M、N、Q. 设BNx， 即PQx，PA2x， ABBC， CM 2BN2x， PC2PQ2x. 在PAC中，由余弦定理得： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2PA2PC 22PA· PC·cos 75°， 即 42x24x242x2· 62 4 ， 解得x2 243 13 . 过P作PDAC，垂足为D. 则线段PD的长为塔到直路的距离 sin BANx，cos BAN1x2， sin CAPsin(135°BAN) 2 2 (x1x2) PDAPsin CAPx(x1x2) x2x21x2 823 13 823 13 × 523 13 823 13 2863 13 823 13 33 1 13 753 13 . 答：塔到直路的距离为 753 13 km.