高中数学第一讲二平行线分线段成比例定理学案含解析新人教A版选修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二 行线分线段成比例定理 1平行线分线段成比例定理 (1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 (2)图形语言： 如图l1l2l3， 则有： AB BC DE EF ， AB AC DE DF ， BC AC EF DF. 变式有： AB DE BC EF， AB DE AC DF ， BC EF AC DF. “对应线段” 是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截 得的线段成对应线段，如图中AB和DE；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条 线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比 2平行线分线段成比例定理的推论 (1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成 比例 (2)图形语言：如图l1l2l3， 则有： AD AB AE AC， AD DB AE EC， DB AB CE AC. 3平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比 例另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线 段的比，来得出正确结论合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转 换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 从复杂的图形中找出基本图形 已知： 如图在梯形ABCD中，ADBC，F为对角线AC上一点，FEBC交AB于点 E，DF的延长线交BC于点H，DE的延长线交CB的延长线于点G. 求证：BCGH. 可找出两个基本图形：ABC和DHG，EF是这两个图形的截线 FEBC， EF BC AE AB， EF GH DF DH . ADEFBH， AE AB DF DH . EF BC EF GH .BCGH. 在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本 图形， “借图解题” 1已知：如图所示，l1l2l3， AB BC m n .求证： DE DF m mn. 证明：l1l2l3， AB BC DE EF m n . EF DE n m ，则 EFDE DE nm m ， 即 DF DE mn m . DE DF m mn. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.如图，已知AECFDG，ABBCCD12 3，CF12 cm， 求AE，DG的长 解：AECF， AE CF AB BC. AE AB BC· CF. ABBC12，CF12 cm， AE 1 2×126 (cm) CFDG， BC BD CF DG . BC CD 2 3， BC BD 2 5. DG BD BC·CF 5 2 × 1230(cm). 寻找目标式的公共比 已知：如图，ADBECF，EGFH. 求证： AB AC EG FH . 由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与 AB AC， EG FH 均相等的公 共比例式 ADBECF， AB AC DE DF . 又EGFH， EG FH DE DF . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB AC EG FH . 在此题中， DE DF 是 AB AC与 EG FH 的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的 一个公共比，通常是两个图形中公共边的比当要证的结论不是比例式(通常是等积式 )时， 常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法 3已知：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连接 AE交CD于点F，FGAD交DE于点G. 求证：FCFG. 证明：在正方形ABCD中，ABCD， FC AB EF AE . FGAD， FG AD EF AE . FC AB FG AD . ABAD. FCFG. 4如图，在 ?ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC 于点G，交BC于点F. 求证： (1)DG 2 GE·GF； (2)CF CB AB AE . 证明： (1)CDAE， DG GE CG AG. 又ADCF， GF DG CG AG. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DG GE GF DG，即 DG 2GE ·GF. (2)BFAD， AB AE DF DE . 又CDBE， CF CB DF DE . CF CB AB AE . 通过添加平行线构造基本图形寻找公共比 如图，在ABC中，CDAB于点D，E为BC中点，延长AC，DE 相交于点F，求证： AC BC AF DF . 由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线 分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公 共比，得证 作EHAB交AC于点H， 则 AC AH BC BE， AC BC AH BE . 同理， AF AH DF DE， AF DF AH DE . BDC为直角三角形，且E为BC边中点，BECEDE. AH BE AH DE . AC BC AF DF . 证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究有时图形中没 有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的 5如图， 梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别在AB，CD 上，且EFBC，若 AE EB 2 3，AD 8 cm，BC18 cm，求EF的长 解：作AGDC分别交BC，EF于G，H， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ADHFGC8 cm. BG18 810(cm) AE EB 2 3， AE AB 2 5. EH BG AE AB 2 5. EH 2 5 ×BG 2 5 × 104(cm) EFEHHF4812(cm) 6.如图所示，已知ABC中，AEEB13，BDDC 21，AD 与CE相交于点F，求 EF FC AF FD的值 解：过点D作DGAB交EC于点G， 则 DG BE CD BC CG EC 1 3，而 AE BE 1 3， 即 AE BE DG BE ， 所以AEDG. 从而有AFDF，EFFGCG， 故 EF FC AF FD EF 2EF AF AF 1 2 1 3 2. 课时跟踪检测(二) 一、选择题 1.如图所示，DEAB，DFBC，下列结论中不正确的是 ( ) A.AD DC AF DE B.CE CB BF AB C. CD AD CE DF D. AF BF DF BC 解析：选 D DFEB，DEFB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四边形DEBF为平行四边形 DEBF，DFEB. AD DC AF FB AF DE ，A 正确 CE CB DE AB BF AB ，B 正确 CD AD CE EB CE DF ，C 正确 2已知线段a，m，n且axmn，求作x，图中作法正确的是( ) 解析：选 C 因为axmn，所以 a m n x，故选 C. 3.如图，在ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的 是( ) ABDCE? AB AC BD CE BBDCE? AD AE BD CE CBDCE? AB BC AD DE DBDCE? AB BC BD CE 解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C 都是正确的， D 项是错误的 4如图，将一块边长为12 的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使 DE5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是 ( ) A 512 B513 C519 D521 解析：选 C 如图，作MNAD交DC于N， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DN NE AM ME. 又AMME，DNNE 1 2DE 5 2. NCNEEC 5 2 7 19 2 . PDMNQC， PM MQ DN NC 5 2 19 2 5 19. 二、填空题 5如图所示，已知DEBC，BFEF32，则ACAE_. 解析：DEBC， AE AC DE BC EF BF. BFEF32， ACAE32. 答案： 32 6.如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE 的延长线交BC于点F，则 BF FC _. 解析：过点D作DMAF交BC于点M. 点E是BD的中点， 在BDM中，BFFM. 点D是AC的中点， 在CAF中，CMMF. BF FC BF FMMC 1 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1 2 7如图，四边形ABCD中，AB90°，ADABBC346，E，F分别是 AB，CD上的点，AEABDFDC13.若四边形ABCD的周长为1，则四边形AEFD 的周长为 _ 解析：因为在四边形ABCD中，AB90°， ADABBC346， 所以可设AD3k，AB4k，BC6k， 作DGBC交BC于点G，交EF于点H， 则DG4k，GC3k， 所以DC16k29k2 5k， 因为四边形ABCD的周长为1， 所以 3k4k 6k5k1，所以k 1 18， 因为E，F分别是AB，CD上的点， AEABDFDC13， 所以AE 4k 3 ，DF 5k 3 ， 取BE，CF的中点M，N，令EFx，MNy， 则由梯形中位线得 2x 3ky， 2yx6k， 解得 x4k， y5k， 即EF4k. 所以四边形AEFD的周长是 3k 4k 3 4k 5k 3 10k10× 1 18 5 9 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 5 9 三、解答题 8.如图，B在AC上，D在BE上，且ABBC21，EDDB21， 求ADDF. 解：过点D作DGAC交FC于点G， 则 DG BC ED EB 2 3，所以 DG 2 3BC， 又BC 1 3 AC， 所以DG 2 9AC， 所以 DF AF DG AC 2 9，所以 DF 2 9AF， 从而AD 7 9AF ，故ADDF72. 9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过O作AB的平 行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K. 求证：KO 2 KE·KF. 证明：延长CK，BA，设它们交于点H. 因为KOHB， 所以 KO HB DK DH ， KE HA DK DH . 所以 KO HB KE HA ，即 KO KE HB HA . 因为KFHB， 同理可得 KF KO HB HA . 所以 KO KE KF KO ，即KO 2 KE·KF. 10.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 交点O，且EFAD. (1)求证：EOOF； (2)求EO AD EO BC的值； (3)求证： 1 AD 1 BC 2 EF. 解： (1)证明：EFAD，ADBC， EFADBC. EFBC， EO BC AE AB， OF BC DF DC. EFADBC， AE AB DF DC. EO BC OF BC. EOOF. (2)EOAD， EO AD BE BA. 由(1)知 EO BC AE AB， EO AD EO BC BE BA AE AB BEAE AB 1. (3)证明：由 (2)知 EO AD EO BC1， 2EO AD 2EO BC 2.又EF2EO， EF AD EF BC 2. 1 AD 1 BC 2 EF.