高中数学第一讲四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人教A版选修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 角三角形的射影定理 对应学生用书P14 1射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上 的正射影 (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段 (3)射影：点和线段的正射影简称为射影 2射影定理 (1)文字语言： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在 斜边上射影与斜边的比例中项 (2)图形语言：如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的高， 则有CD 2 AD·BD， AC2AD·AB， BC 2 BD·AB. 对应学生用书P14 射影定理的有关计算 例 1 如图，在RtABC中，CD为斜边AB上的高，若AD 2 cm，DB6 cm，求 CD，AC，BC的长 思路点拨 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理 解 CD2AD·DB2×612， CD1223(cm) AC2AD·AB2×(26)16， AC16 4(cm) BC 2 BD·AB6×(26)48， BC48 43(cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故CD、AC、BC的长分别为23 cm,4 cm,43 cm. (1)在 RtABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条， 便可求出其余四条 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条 1.如图， 在 RtABC中，C90°，CD是AB上的高 已知BD 4，AB29，试求出图中其他未知线段的长 解：由射影定理，得BC2BD·AB， BCBD·AB4×29 229. 又ADABBD29 425. 且AC2AB2BC 2， ACAB 2 BC22924×29529. CD2AD·BD， CDAD·BD25×410. 2已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为 ACBC 34. 求： (1)ADBD的值； (2)若AB25 cm，求CD的长 解： (1)AC2AD·AB， BC 2 BD·AB， AD·AB BD·AB AC2 BC2. AD BD (AC BC) 2( 3 4) 2 9 16. (2)AB 25 cm，ADBD916， AD 9 916 ×259(cm)， BD 16 916×2516(cm) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CDAD·BD9×1612(cm). 与射影定理有关的证明问题 例 2 如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC， DGBE，F、G分别为垂足 求证：AF·ACBG·BE. 思路点拨 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中 利用射影定理证明所要的结论 证明 CD垂直平分AB， ACD和BDE均为直角三角形，且ADBD. 又DFAC，DGBE， AF·ACAD 2， BG·BEDB 2. AD 2 DB2， AF·ACBG·BE. 将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比 例式的目的 在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进 行求解或证明 3如图所示，设CD是 RtABC的斜边AB上的高 求证：CA·CDBC·AD. 证明：由射影定理知： CD2AD·BD， CA2AD·AB， BC 2 BD·AB. CA·CDAD 2·BD· ABAD·BD·AB， BC·ADAD·AB·BD. 即CA·CDBC·AD. 4RtABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 F在斜边BC上 求证：EF2BE·FC. 证明：过点A作AHBC于H. 则DEAHGF. DE AH BE BH， GF AH FC CH. DE·GF AH 2 BE·FC BH·CH. 又AH 2 BH·CH， DE·GFBE·FC. 而DEGFEF， EF2BE·FC. 对应学生用书P15 一、选择题 1已知 RtABC中，斜边AB5 cm，BC2 cm，D为AC上一点，DEAB交AB 于E，且AD3.2 cm，则DE( ) A 1.24 cm B1.26 cm C1.28 cm D1.3 cm 解析：如图，AA， RtADE RtABC， AD AB DE BC， DE AD·BC AB 3.2×2 5 1.28. 答案： C 2已知直角三角形中两直角边的比为12，则它们在斜边上的射影比为( ) A 12 B21 C14 D41 解析：设直角三角形两直角边长分别为1 和 2，则斜边长为5，两直角边在斜边上 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的射影分别为 1 5 和 4 5 . 答案： C 3一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的 面积为 ( ) A 7.2 cm 2 B6 cm2 C12 cm2D24 cm2 解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为322.4 21.8(cm)，由射影定理知斜边长 为 32 1.85(cm)， 三角形面积为 1 2×5×2.46(cm 2) 答案： B 4如图所示，在ABC中，ACB 90°，CDAB，D为垂足 ， 若CD6 cm，ADDB12，则AD的值是 ( ) A 6 cm B32 cm C18 cm D36 cm 解析：ADDB12， 可设ADt，DB2t. 又CD2AD·DB， 36t·2t， 2t 236， t32(cm)，即AD32 cm. 答案： B 二、填空题 5若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为 _ 解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长 答案：2 6如图所示，四边形ABCD是矩形，BEF 90°，这 四个三角形能相似的是_ 解析：因为四边形ABCD为矩形， 所以AD90°. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为BEF90°，所以 1 2 90°. 因为 2 390°，所以 1 3. 所以ABEDEF. 答案： 7在ABC中，A90°，ADBC于点D，AD6，BD12，则CD_， AC_，AB2AC2_. 解析：如图，AB2AD 2 BD2， 又AD6，BD12， AB65. 由射影定理可得，AB2BD·BC， BC AB 2 BD 15. CDBCBD15123. 由射影定理可得，AC2CD·BC， AC3×1535. AB2 AC2 BD·BC CD·BC BD CD 12 3 4. 答案： 3 35 41 三、解答题 8如图：在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是 RtBCD斜边BC上的高， 若BE6，CE2. 求AD的长是多少 解：因为在RtBCD中，DEBC，所以由射影定理可得：CD2CE·BC， 所以CD 216， 因为BD2BE·BC， 所以BD6×843. 因为在 RtABC中，ACB90°， CDAB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以由射影定理可得： CD2AD·BD， 所以AD CD2 BD 16 43 43 3 . 9如图，在ABC中，CDAB于D，且CD2AD·BD，求证： ACB90°. 证明：CDAB， CDABDC90°. 又CD2AD·BD， 即ADCDCDBD， ACDCBD.CADBCD. 又ACDCAD90°， ACBACDBCD ACDCAD90°. 10已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为35 两部分 (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长 解： (1)如图，设CD3x，BD5x， 则BC 8x， 过D作DEAB， 由题意可得， DE3x，BE4x， AEAC12x48. 又AEAC， AC24 6x，AB242x. (246x)2(8x)2(242x)2， 解得：x10(舍去 )，x22. AB20，AC12，BC16， 三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CFAB于F点， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AC2AF·AB. AF AC2 AB 122 20 36 5 (cm)； 同理：BF BC 2 AB 162 20 64 5 (cm) 两直角边在斜边上的射影长分别为 36 5 cm， 64 5 cm. 对应学生用书P16 近两年高考中， 由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同但都主要考查相似 三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要 注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段成比例 定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系 1.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分 别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB， 则梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为 _ 解析：由CD2，AB4，EF3， 得EF 1 2 (CDAB)， EF是梯形ABCD的中位线， 则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h， 于是两梯形的面积比为 1 2(34)h 1 2(23)h7 5. 答案： 75 2.如图， 圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上 的射影为E.若AB3AD，则 CE EO的值为 _ 解析：连接AC，BC，则ACB90°. 设AD2，则AB6， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于是BD4，OD 1. 如图，由射影定理得CD2AD·BD8，则CD22. 在 RtOCD中，DE OD·CD OC 1×22 3 22 3 . 则CEDC2DE28 8 9 8 3， EOOCCE3 8 3 1 3. 因此 CE EO 8 3 1 3 8. 答案： 8 对应学生用书P16 平行线分线段相关定理 平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交 的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、 计算线段的 长度， 也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中， 平行线等分线段定理是线 段的比为1 的特例 例 1 如图，在ABC中，DEBC，DHGC. 求证：EGBH. 证明 DEBC， AE AC AD AB. DHGC， AH AC AD AG . AE·ABAC·ADAH·AG. AE AH AG AB .EGBH. 例 2 如图，直线l分别交ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF 1 3AB ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 BD 5 2BC ，试求 EC AE . 解 作CNAB交DF于点N，并作EGAB交BC于点G， 由平行截割定理，知 BF CN DB DC， CN AF EC AE， 两式相乘，得 BF CN· CN AF DB DC· EC AE， 即 EC AE BF AF· DC DB . 又由AF 1 3 AB，得 BF AF 2， 由BD 5 2BC，得 DC DB 3 5 ， 所以 EC AE2× 3 5 6 5. 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角 关系 其应用非常广泛， 涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小， 也可用来证明线段、 角之间的关系， 还可以证明直线之间的位置关系其中， 三角形全等是三角形相似的特殊情 况 例 3 如图所示，AD、CF是ABC的两条高线，在AB上取一 点P，使APAD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q. 求证：PQCF. 证明 AD、CF是ABC的两条高线， ADBBFC90°. 又BB，ABDCBF. AD CF AB CB. 又PQBC，APQABC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PQ BC AP AB. AP PQ AB BC. AD CF AP PQ. 又APAD，CFPQ. 例 4 四边形ABCD中，ABCD，CE平分BCD，CEAD于点E，DE2AE，若 CED的面积为1，求四边形ABCE的面积 解 如图，延长CB、DA交于点F， 又CE平分BCD，CEAD. FCD为等腰三角形，E为FD的中点 SFCD 1 2FD ·CE 1 2×2ED ·CE 2SCED2， EFED2AE. FAAE 1 4FD. 又ABCD， FBAFCD. SFBA SFCD ( FA FD) 2(1 4) 2 1 16. SFBA 1 16× SFCD 1 8 . S四边形 ABCESFCDSCEDSFBA 21 1 8 7 8. 射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关 系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的 对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错 例 5 如图，在ABC中，ACB90°，CDAB于D，DEAC 于E，EFAB于F. 求证：CE2BD·DF. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明 ACB90°，DEAC， DEBC. BD CE AB AC. 同理：CDEF， CE DF AC AD . ACB90°，CDAB， AC2AD·AB. AC AD AB AC. CE DF BD CE. CE 2 BD·DF. 对应学生用书P41 (时间： 90 分钟，满分： 120分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1如图，已知AABBCC，ABBC1 3，那么下列等式成立的是( ) AAB2ABB3ABBC CBCBCDABAB 解析：AABBCC， AB BC AB BC 1 3. 3ABBC. 答案： B 2.如图，ACB90° .CDAB于D，AD3、CD2，则ACBC的值 是( ) A 32 B94 C.32 D.23 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： RtACDRtCBD， AC BC AD CD 3 2. 答案： A 3在 RtABC中，CD为斜边AB上的高，若BD3 cm，AC 2 cm，则CD和BC的长分别为 ( ) A.3 cm 和 32 cm B1 cm 和3 cm C1 cm 和 32 cm D.3 cm 和 23 cm 解析：设ADx， 则由射影定理得x(x3)4， 即x1(负值舍去 )， 则CDAD·BD3(cm)， BCBD·AB33123(cm) 答案： D 4如图，在ABC中，BAC90°，AD是斜边BC上的高，DE是 ACD的高，且AC5，CD2，则DE的值为 ( ) A. 221 5 B. 21 5 C. 321 5 D. 212 5 解析：AC2CD·BC， 即 522×BC， BC 25 2 . ABBC2AC2 252 4 52 521 2 . DE AB DC BC， DE 221 5 . 答案： A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5如图所示， 给出下列条件： BACD；ADCACB； AC CD AB BC； AC 2 AD·AB.其中单独能够判定ABCACD的个数为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析： 由BACD，再加上公共角AA，可得两个三角形相似；由ADC ACB，再加上公共角AA， 可得两个三角形相似； AC CD AB BC，而夹角不一定相等， 所以两个三角形不一定相似；AC2AD·AB可得 AC AD AB AC，再加上公共角 AA，可 得两个三角形相似 答案： C 6.如图，DEBC，SADES四边形 DBCE1 8，则 ADDB的值为 ( ) A 14 B13 C12 D15 解析：由SADES四边形 DBCE 18 得SADESABC19. DEBC， ADEABC. (AD AB )2 SADE SABC 1 9. AD AB 1 3， AD DB 1 2. 答案： C 7ABC和DEF满足下列条件，其中不一定使ABC与DEF相似的是 ( ) AAD45°38，C26°22，E108° BAB1，AC1.5，BC2，DE12，EF8，DF16 CBCa，ACb，ABc，DEa，EFb，DFc DABAC，DEDF，AD40° 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： A 中AD，BE 108°， ABCDEF； B 中ABACBCEFDEDF2 34； ABCEFD； D 中 AB AC DE DF ，AD， ABCDEF； 而C中不能保证三边对应成比例 答案： C 8在 RtACB中，C90°.CDAB于D.若BDAD14，则 tanBCD的值是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D2 解析：由射影定理得 CD2AD·BD，又BDAD14. 令BDx，则AD4x(x0)， CD24x2， CD 2x，tanBCD BD CD x 2x 1 2. 答案： C 9.在 ?ABCD中，E为CD上一点，DECE23，连接AE、BE、 BD且AE、BD交于点F，则SDEFSEBFSABF( ) A 41025 B4925 C235 D2525 解析：ABCD， ABFEDF. DE AB DF FB 2 5. SDEF SABF( 2 5 )2 4 25. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又DEF和BEF等高 SDEF SEBF DF FB 2 5 4 10. 答案： A 10如图，已知ab，AF BF 3 5， BC CD3.则 AEEC( ) A. 12 5 B. 5 12 C. 7 5 D. 5 7 解析：ab， AE EC AG CD， AF BF AG BD. BC CD 3， BC3CD，BD4CD. 又 AF BF 3 5， AG BD AF BF 3 5. AG 4CD 3 5. AG CD 12 5 . AE EC AG CD 12 5 . 答案： A 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上) 11如图，D，E分别是ABC边AB，AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么 ADE的周长ABC的周长等于 _ 解析：DEBC，ADEABC. BD2AD，AB3AD. AD AB 1 3 . ADE的周长 ABC的周长 AD AB 1 3. 答案： 1 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12 如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC 35，DE 6， 则BF_. 解析：DEBC， DE BC AE AC， BCDE· AC AE6× 5 310， 又DFAC，DEFC6. BFBCFC4. 答案： 4 13如图，在ABC中，DEBC，BE与CD相交于点O，直线AO 与DE、BC分别交于N、M，若DNMC14，则NEBM _， AEEC_. 解析： OD OC DN MC 1 4 ， OE OB OD OC 1 4. NE BM OE OB 1 4. 又 DE BC OD OC 1 4， AE AC DE BC 1 4. AEEC13. 答案： 14 13 14阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区 (如图所示 )，已知亮区一边 到窗下的墙角距离CE8.7 m，窗口高AB1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC等于 _m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：BDAE， BC AB CD DE . BC AB·CD DE . AB1.8 m，DE2.7 m，CE8.7 m， CDCEDE8.72.76(m) BC 1.8×6 2.7 4(m) 答案： 4 三、解答题 (本大题共4个小题，满分50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 ) 15(本小题满分12 分)如图，ABC中，BC的中点为D，ADB 和ADC的平分线分别交AB、AC于点M、N. 求证：MNBC. 证明：MD平分ADB， AD BD AM MB. ND平分ADC， AD DC AN NC. BDDC， AM MB AD BD AD DC AN NC. MNBC. 16(本小题满分12 分)如图，已知：ABC中，ABAC，AD是 中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF 于F，求证：BP 2PE·PF. 证明：连接PC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABAC，AD是中线， AD是ABC的对称轴， 故PCPB， PCEABP. CFAB， PFCABP， 故PCEPFC， CPEFPC， EPCCPF， 故 PC PF PE PC， 即PC 2 PE·PF， BP 2 PE·PF. 17(本小题满分12 分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是 BD上任意一点，过P点的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC 的延长线于G、H. (1)求证：PE·PGPF·PH； (2)当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给 出证明 解： (1)证明：ABCD， PE PF PB PD. ADBC， PH PG PB PD ， PE PF PH PG. PE·PGPH·PF. (2)关系式为PC 2 PE·PG. 证明：由题意可得到右图， ABCD， PE PC PB PD. ADBC， PC PG PB PD . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PE PC PC PG，即 PC 2 PE·PG. 18(本小题满分14 分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在 一块上、下两底分别为10 m、20 m 的梯形空地上种植花木(如图 ) (1)他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单位为8 元 /m 2，当 AMD地带种满花后(图中阴影部分 )共花了 160元，请计算种满BMC地带所需的费用； (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12 元/m 2 和 10 元 /m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ 解： (1)四边形ABCD为梯形，ADBC. AMDCMB， SAMD SCMB ( AD BC) 21 4. 种植AMD地带花费160元， SAMD 160 8 20(m2) SCMB 80(m2) CMB地带的花费为80×8640元 (2)S ABM SAMD BM DM BC AD 2， SABM2SAMD40(m2) 同理：SDMC40(m2) 所剩资金为：1600160 640800元， 而 800÷(SABMSDMC)10(元/m 2) 故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金