高中数学第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1学案含解析新人教A版必修71.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第一课时两角和与差的正弦、余弦公式 两角和的余弦公式 提出问题 问题 1：把公式cos() cos cos sin sin 中的用代替，结果如何？ 提示： cos()cos cos sin sin . 问题 2：在 cos(±)的公式中，的条件是什么？ 提示：，为任意角 导入新知 两角和与差的余弦公式 名称公式简记符号条件 两角和的 余弦 cos()cos_cos_ sin_sin_ C() ，R 两角差的 余弦 cos()cos cos sin sin C() 化解疑难 公式 C()的推导 cos() cos() cos cos()sin sin() cos cos sin sin ， 即 cos()cos cos sin sin . 两角和与差的正弦公式 提出问题 问题 1：由公式C()或 C()可求 sin 75°的值吗？ 提示：可以，因为sin 75° cos 15° cos(45 ° 30°) 问题 2：由公式C(±)可以得到sin()的公式吗？ 提示：可以， sin()cos 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos 2 sin cos cos sin . 问题 3：能利用上述公式把sin()用 sin ，cos ，sin ，cos 表示吗？ 提示：能 导入新知 两角和与差的正弦公式 名称公式简记符号使用条件 两角和 的正弦 sin()sin_cos_cos_sin_S()，R 两角差 的正弦 sin()sin_cos_cos_sin_S()，R 化解疑难 两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别 (1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反 (2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同 给角求值问题 例 1 (1) cos 20° sin 20° ·cos 10°3sin 10° tan 70° 2cos 40 ° _. (2)求值： (tan 10°3) cos 10° sin 50° . 解 (1)2 (2)原式 (tan 10° tan 60°) cos 10° sin 50° sin 10° cos 10° sin 60° cos 60° cos 10° sin 50° sin50° cos 10°cos 60°· cos 10° sin 50° 2. 类题通法 解决给角求值问题的策略 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符 合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形一般途径有将非特殊角化为特殊 角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善 于逆用或变用公式 活学活用 求值： 2sin 50° sin 10°(13tan 10° )·2sin280°. 答案：6 给值 (式)求值问题 例 2 已知 4C，求A的值 解 由已知B60°，AC120°， 设 AC 2 ，AC，则0， 故A AC 2 AC 2 60°， C AC 2 AC 2 60°， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故 1 cos A 1 cos C 1 cos60° 1 cos60° 1 1 2cos 3 2 sin 1 1 2cos 3 2 sin cos 1 4cos 2 3 4sin 2 cos cos 2 3 4 . 由题设有 cos cos 2 3 4 2 cos B 2 2， 整理得： 42cos 2 2cos 320. 即(2cos 2)(22cos 3)0. 22cos 30， 2cos 2 0. cos 2 2 . 故45°，A60° 45° 105°. 类题通法 解决给值 (式)求角问题的方法 解决给值 (式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用 两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角 活学活用 已知，均为锐角，且sin 5 5 ，cos 10 10 ，求的值 答案： 4 7.与辅助角有关的公式 典例 (12 分)已知函数f(x)sinx 6 sinx 6 acos xb(a，bR，且均为常数) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间 3，0 上单调递增，且恰好能够取到 f(x)的最小值2，试求a，b的值 解题流程 规范解答 (1)f(x) sinx 6 sinx 6 acos xb 2sin xcos 6 acos xb3sin xacos xb a 2 3sin(x )b.(4分 ) 所以，函数f(x)的最小正周期为2 .(6 分) (2)由(1)可知：f(x)的最小值为a 23 b， 所以a23b2.(8 分) 另外由f(x)在区间 3，0 上单调递增， 可知f(x)在区间 3， 0 上的最小值为 f 3 ， 所以f 3 3 2 a 2 b2. (10分) 由解得a 1，b4.(12分) 名师批注 此处在解题过程中极易忽视.注意对“恰好能够 取到fx的最小值2”的理解， 否则无法求 解. 活学活用 已知函数f(x) sin 2x3sin 22x .(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值 和最小值及相应的x的值； (3)求函数f(x)的单调增区间 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： (1) (2)xk 12 (k Z)时，f(x)有最大值为2；xk 5 12(k Z)时， f(x)有最小值 为 2 (3)k 5 12， k 12(kZ) 随堂即时演练 1sin 105°的值为 ( ) A. 32 2 B. 21 2 C. 62 4 D. 26 4 答案： D 2若 sin()cos cos()sin 0，则 sin( 2)sin(2)等于 ( ) A1 B 1 C0 D± 1 答案： C 3已知 cos() 4 5， cos( ) 4 5，则 cos cos _. 答案： 0 4已知 sin 3 5， 是第四象限角，则sin 4 _. 答案： 72 10 5化简求值： (1)sin()cos()cos()sin()； (2)cos(70 °)sin(170°)sin(70°)cos(10°)； (3)cos 21 °· cos 24° sin 159°· sin 204°. 答案： (1)sin 2(2) 3 2 (3) 2 2 课时达标检测 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一、选择题 1若 cos 4 5， 是第三象限的角，则sin 4 ( ) A 72 10 B. 72 10 C 2 10 D. 2 10 答案： A 2在ABC中，如果 sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是( ) A锐角三角形B直角三角形 C等腰三角形D等边三角形 答案： C 3已知为钝角，且sin 12 1 3，则 cos 5 12 的值为 ( ) A. 223 6 B. 223 6 C 223 6 D. 223 6 答案： C 4sin(75°)cos(45°)3 cos(15°)等于 ( ) A± 1 B1 C 1 D0 答案： D 5设，为钝角，且sin 5 5 ，cos 310 10 ，则的值为 ( ) A. 3 4 B. 5 4 C. 7 4 D. 5 4 或 7 4 答案： C 二、填空题 6已知 cos 3 sin 3 ，则 tan _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1 7若 0 2， 2 0，cos 4 1 3 ， cos 4 2 3 3 ，则 cos 2 _. 答案： 53 9 8 定义运算 ab cd adbc.若 cos 1 7， sin sin cos cos 33 14 ， 0 2， 则 _. 答案： 3 三、解答题 9已知 sin()cos cos()sin 4 5， 是第三象限角，求sin 4 的值 解： sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin() sin 4 5， sin 4 5 ，又是第三象限角， cos 1sin2 3 5， sin 4 sin cos 4cos sin 4 4 5 × 2 2 3 5 × 2 2 72 10 . 10已知 sin cos 1 4，求 t cos sin 的取值范围 解：由于sin()sin cos cos sin 1 4 t， sin()sin cos cos sin 1 4 t， 又 sin()1,1，sin()1,1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故有 1 1 4 t1， 1 1 4 t1， 解得 3 4 t 3 4. 即t的取值范围为 3 4， 3 4 . 11已知函数f(x)2cos x 4 6 ，xR.设， 0， 2 ，f4 4 3 30 17， f4 2 3 8 5 ， 求 cos()的值 解：f4 4 3 30 17， 2cos 1 4 4 4 3 6 2cos 2 30 17， sin 15 17. 又f4 2 3 8 5， 2cos 1 4 4 2 3 6 2cos 8 5， cos 4 5. 又， 0， 2 ， cos 8 17 ，sin 3 5， cos()cos cos sin sin 4 5 × 8 17 3 5 × 15 17 13 85.