高中数学第三章3.1学案含解析新人教A版选修205.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 回归直线方程 教材必修3中学习了回归直线方程y b xa . 问题 1：回归直线方程准确地反映了x，y之间的关系吗？ 提示：不是 问题 2：所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？ 提示：可以，但拟合程度很差 1回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 2回归直线方程 方程y b x a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 (x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn) 的回归方程，其中a ， b 是待定参数，其最小二乘估计分别为： b i 1 n xixyiy i 1 n xix 2 i 1 n xiyin xy i 1 n x2in x 2 ，a yb x， 其中x 1 n i 1 n xi，y 1 n i 1 n yi，(x，y)称为样本点的中心 线性回归方程中系数b 的含义 (1)b 是回归直线的斜率的估计值，表示 x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不 是增加单位数 (2)当b 0 时，变量y与x具有正的线性相关关系；当b 0 时，变量y与x具有负的线 性相关关系 线性回归分析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 具有相关关系的两个变量的回归直线方程y b xa . 问题 1：预报变量y 与真实值y一样吗？ 提示：不一定 问题 2：预报值y 与真实值y之间误差大了好还是小了好？ 提示：越小越好 1残差平方和法 (1)e iyiy iyib xia (i1,2， n)，称为相应于点(xi，yi)的残差 (2)残差平方和 i1 n (yiy i) 2 越小，模型拟合效果越好 2残差图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状 区域宽度越窄，说明模型的精确度越高 3利用相关指数R2刻画回归效果 其计算公式为R21 i 1 n yiy i 2 i 1 n yiy 2 ， 其几何意义：R 2 越接近于1，表示回归效果越好 1在线性回归模型中，因为e是一个随机变量，所以可以通过其数字特征来刻画它的 一些总体特征 2在线性回归模型中，R 2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2 越接近于1， 表示回归的效果越好 求线性回归方程 某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据 x/ 百万元24568 y/ 百万元3040605070 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)试预测广告费用支出为10 百万元时，销售额多大？ (1)散点图如图所示： (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i 12345合计 xi2456825 yi3040605070250 xiyi601603003005601 380 x2i416253664145 所以，x 25 5 5，y 250 5 50， i 1 5 x2i145， i1 5 xiyi1 380. 于是可得b i 1 5 xiyi 5xy i 1 5 x2i5x 2 1 3805× 5×50 14552×5 6.5， a yb x 506.5×517.5. 所以所求的线性回归方程为y 6.5x17.5. (3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10 百万元时， y 6.5×1017.582.5(百万元 )， 即广告费用支出为10 百万元时，销售额大约为82.5 百万元 求线性回归方程的步骤 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)列表表示xi，yi，xiyi，x2 i； (2)计算x，y， i1 n x 2 i， i1 n xiyi； (3)代入公式计算a ， b 的值； (4)写出线性回归方程. 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据 x 681012 y 2356 (1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗) (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y b x a ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9 的同学的判断力 解： (1)如图： (2) i 1 n xiyi6×28× 310×512×6158， x 6 810 12 4 9， y 2 356 4 4， i1 n x2i628 2102122344， b 1584×9×4 3444×92 14 200.7， a y b x 40.7×9 2.3， 故线性回归方程为y 0.7 x2.3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)由(2)中线性回归方程当x9 时，y 0.7×92.34，预测记忆力为 9 的同学的判断 力约为 4. 线性回归分析 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件 )之间的关系有如下一组数据. x/ 元1416182022 y/ 件1210753 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏 x 1 5×(14 16182022)18， y 1 5×(1210 753)7.4， i1 5 x 2 i14 2162182202222 1 660， i1 5 xiyi14×1216×1018×720×522×3620， b i1 5 xiyi5x y i 1 5 x2i5x 2 6205×18×7.4 1 660 5×182 1.15 a yb x 7.41.15×1828.1， 所求回归直线方程为y 1.15x28.1. 列出残差表 yiy i 00.3 0.40.10.2 yiy4.62.6 0.42.44.4 i 1 5 (yiy i)20.3， i1 5 (yiy )253.2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 R 21 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 0.994， 故回归模型的拟合效果很好 在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行在求R2时，通常采用分步计算 的方法，R2越大，模型的拟合效果越好 关于x与y有如下数据： x 24568 y 3040605070 有如下的两个线性模型：(1)y 6.5x17.5； (2)y 7x17.试比较哪一个拟合效果更好 解：由 (1)可得yiy i与yiy的关系如下表： yiy i 0.53.5106.50.5 yiy 201010020 i 1 5 (yiy i) 2(0.5)2 (3.5)2102(6.5)20.52155， i1 5 (yiy )2(20) 2 (10)2102022021 000. R 2 11 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 1 155 1 000 0.845. 由(2)可得yiy i与yiy 的关系如下表： yiy i 15893 yiy 201010020 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 i 1 5 (yiy i) 2(1)2(5)282( 9)2( 3)2180， i1 5 (yiy )2(20) 2 (10)2102022021 000. R 2 21 i 1 5 yiy i 2 i1 5 yiy 2 1 180 1 000 0.82. 由于R 2 10.845，R 2 20.82,0.845 0.82， R 2 1R 2 2. (1)的拟合效果好于(2)的拟合效果 . 非线性回归分析 在一次抽样调查中测得样本的5 个样本点，数值如下表： x 0.250.5124 y 1612521 试建立y与x之间的回归方程 作出变量y与x之间的散点图，如图所示 由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系 设y k x，令 t 1 x，则 ykt. 由y与x的数据表可得y与t的数据表： t 4210.50.25 y 1612521 作出y与t的散点图，如图所示： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由图可知y与t近似地呈线性相关关系 又t1.55，y 7.2， i 1 5 tiyi 94.25， i 1 5 t 2 i21.312 5， b i1 5 tiyi5t y i1 5 t2 i5t 2 94.255×1.55×7.2 21.312 5 5×1.55 2 4.134 4，a y b t 7.24.134 4× 1.55 0.8， y 4.134 4 t0.8. 所以y与x的回归方程是y 4.134 4 x 0.8. 非线性回归分析的步骤 非线性回归问题有时并不给出经验公式这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与 学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得 最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决其 一般步骤为： 某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t 变化的规律用公式UAebt(b 0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 t/s012345678910 U/V100755540302015101055 试求：电压U对时间t的回归方程 (提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线 性回归分析问题) 解：对UAebt两边取对数得ln Uln Abt，令yln U，aln A，xt，则yabx， y与x的数据如下表： x 012345678910 y 4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6 根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出， y与x具有较好的线性相关关系，由表中数据求得x5，y 3.045，由公式计算得b 0.313，a yb x4.61，所以y 对x的线性回归方程为y 0.313 x4.61. 所以 ln U 0.313t 4.61，即U e 0.313t 4.61e 0.313t·e4.61，因此电压 U对时间t的回归 方程为U e 0.313t·e4.61. 9.明辨相关系数的意义 下列现象的线性相关程度最高的是( ) A某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87 B流通费用率与商业利润率之间的相关系数为0.94 C商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51 D商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81 |r| 越接近于1，相关程度越高 B 1本题易错误地认为r越接近于1，相关程度越高，从而误选A. 2变量之间线性相关系数r具有如下性质： (1)r2 1，故变量之间线性相关系数r的取值范围为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)|r| 越大，变量之间的线性相关程度越高；|r| 越接近0，变量之间的线性相关程度越 低 (3)当r0 时，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当 r0 时，一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关；当r0 时，称两个 变量线性不相关 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3，2)，(11.8,3)， (12.5,4)，(13,5)；变量U与 V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)r1表示变量Y与X之间的 线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( ) Ar2r10 B0r2r1 Cr20r1Dr2r1 解析：选 C 对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大， 故变量Y与X正相关，即r10； 对于变量U与V而言，V随U的增大而减小， 故变量V与U负相关， 即r20.故r20r1. 1关于回归分析，下列说法错误的是( ) A在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确 定 B线性相关系数可以是正的也可以是负的 C在回归分析中，如果r21 或r± 1，说明x与y之间完全线性相关 D样本相关系数r(1,1) 解析：选 D 样本的相关系数应满足1r1. 2若某地财政收入x与支出y满足回归方程y bxaei(i1,2， )(单位：亿元 )，其 中b 0.8， a 2，| ei| 0.5，如果今年该地区财政收入10 亿元，年支出预计不会超过( ) A 10亿元B9 亿元 C10.5亿元D 9.5亿元 解析：选 C y 0.8× 102ei10ei， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |ei| 0.5，y 10.5. 3在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2 0.85，则表明气温解释 了_的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的_，所以气温对热茶销售 杯数的效应比随机误差的效应大得多 解析：由相关指数R2的意义可知，R 20.85表明气温解释了 85%的热茶销售杯数变化， 而随机误差贡献了剩余的15%. 答案： 85% 15% 4若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为y 2504x，当施肥量为50 kg 时，预计小麦产量为_kg. 解析：把x50 代入y 2504x，可求得 y 450. 答案： 450 5某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试 销，得到如下数据： 单价x/ 元88.28.48.68.89 销量y/ 件908483807568 (1)求回归直线方程y b x a ，其中 b 20， a y b x ； (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系， 且该产品的成本是4 元/ 件， 为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本) 解： (1)因为x 1 6 (8 8.28.48.68.89)8.5， y 1 6(908483 807568) 80. 从而a y20x8020×8.5250， 故y 20x250. (2)由题意知，工厂获得利润z(x4)y 20x2330x1 000 20x 33 4 2361.25， 所以当x 33 4 8.25时，zmax361.25(元 ) 即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润 一、选择题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1(福建高考 )为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入x(万元 )8.28.610.011.311.9 支出y(万元 )6.27.58.08.59.8 根据上表可得回归直线方程y b xa ，其中b 0.76，a y b x .据此估计，该社区一 户年收入为15 万元家庭的年支出为( ) A 11.4万元B11.8万元 C12.0万元D12.2万元 解析：选 B 由题意知， x 8.28.610.011.311.9 5 10， y 6.27.58.08.59.8 5 8， a 80.76×100.4， 当x15时，y 0.76×150.411.8(万元 ) 2甲、乙、丙、 丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时， 分别选择了4种不同模型， 计算可得它们的相关指数R2分别如下表： 甲乙丙丁 R20.980.780.500.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( ) A甲B乙 C丙D丁 解析：选 A 相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好 3对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4 个不同的回归模型画出残差图，则下列 模型拟合精度最高的是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高 4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x/万元4235 销售额y/ 万元49263954 根据上表可得回归方程y b x a 中的b 为 9.4， 据此模型预报广告费用为6 万元时销售额 为( ) A 63.6万元B65.5万元 C67.7万元D 72.0万元 解析：选 B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a yb x429.4×3.59.1， 所以回归直线方程是y 9.4x 9.1， 把x6 代入得y 65.5. 5(湖北高考 )已知变量x和y满足关系y 0.1x1，变量y与z正相关下列结论中 正确的是 ( ) Ax与y正相关，x与z负相关 Bx与y正相关，x与z正相关 Cx与y负相关，x与z负相关 Dx与y负相关，x与z正相关 解析：选 C 因为y 0.1x1 的斜率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关， 可设zb ya ，b 0，则zb ya 0.1b xb a ，故x与z负相关 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二、填空题 6在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等 )的散 点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线y 1 2x1 上，则这组样本数据的样本 相关系数为 _ 解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案： 1 7若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R2为_ 解析：回归平方和总偏差平方和残差平方和806020， 故R2 20 800.25 或 R 2160 800.25 . 答案： 0.25 8面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成 本某白酒酿造企业市场部对该企业9 月份的产品销量(单位：千箱 )与单位成本 (单位：元 ) 的资料进行线性回归分析，结果如下： x 7 2， y71， i1 6 x2 i79， i 1 6 xiyi 1 481. 则销量每增加1 000箱，单位成本下降_元 解析：由题意知，b 1 4816× 7 2×71 796× 7 2 2 1.818 2 ， a 71(1.818 2)×7 277.36，y 1.818 2 x 77.36，销量每增加1 000箱，则单位成本 下降 1.818 2元 答案： 1.818 2 9某中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进 行试销，得到如下数据： 单价x(元 )88.28.48.68.89 销量y(元 )908483807568 (1)求线性回归方程y b x a . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的关系，且班刊的成本是4 元/ 件，为了获 得最大利润，班刊的单价定为多少元？ 解： (1)x 88.28.48.68.89 6 8.5， y 9084 83807568 6 80， i1 4 xiyi8×908.2×848.4×838.6×808.8×759×684 066， i1 4 x2i828.2 28.428.628.8292434.2， b i 1 n xixyiy i1 n xix 2 4 066 6×8.5× 80 434.26×8.5 2 20， a yb x8020×8.5250， 所求线性回归方程为y 20x 250. (2)获得利润z(x4)y 20x2330x1 000， 当x8.25时，zmax361.25(元)， 所以当单价定为8.25元时，可获得最大利润 10下图是我国2008年至 2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨 )的折线图 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程 (系数精确到0.01)， 预测 2017年我国生活垃圾无害化处理量 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 参考数据： i 1 7 yi9.32， i1 7 tiyi40.17, i1 7 yiy 20.55， 72.646. 参考公式：相关系数r i1 n tityiy i1 n tit 2 i1 n yiy 2 ，回归方程y a b t中斜率 和截距的最小二乘估计公式分别为b i 1 n tityiy i 1 n tit 2 ，a yb t. 解： (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 t4， i 1 7 (tit)228, i1 7 yiy 20.55， i1 7 (tit)(yiy) i1 7 tiyit i 1 7 yi40.174× 9.32 2.89， r 2.89 0.55×2×2.646 0.99. 因为y与t的相关系数近似为0.99 ，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线 性回归模型拟合y与t的关系 (2)由y 9.32 7 1.331及(1)得 b i 1 7 tityiy i1 7 tit 2 2.89 28 0.103. a yb t1.3310.103×40.92. 所以y关于t的回归方程为y 0.920.10 t. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 将 2017年对应的t10代入回归方程得y 0.920.10×101.92. 所以预测 2017年我国生活垃圾无害化处理量约为1.92亿吨 11假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元 )有如下统计资料： x 23456 y 2.23.85.56.57.0 若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求： (1)回归直线方程； (2)估计使用年限为10 年时，维修费用约是多少？ 解： (1)由表格中的数据可得 x 1 5(23456)4 y 1 5(2.23.85.56.57.0)5. i1 5 x2 i2 23242526290， i1 5 xiyi2×2.23×3.8 4×5.55×6.56× 7.0112.3，所以回归系数 b i 1 5 xiyi5x y i 1 5 x2i5x 2 112.3 5×4×5 90 5×42 12.3 10 1.23. 可得a yb x51.23×40.08. 所以回归直线方程为y 1.23x0.08. (2)当x10 时，y 1.23×10 0.0812.38(万元 ) 即估计用10 年时，维修费约为12.38万元