高中数学第三章3.4曲线与方程教学案北师大版选修.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 §4 曲线与方程 41 曲线与方程 对应学生用书P60 在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中 问题 1：直线yx上任一点M到两坐标轴距离相等吗？ 提示：相等 问题 2：到两坐标轴距离相等的点都在直线yx上吗？ 提示：不一定 问题 3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y±x. 方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一 个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方 程叫作曲线的方程 判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二 是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 对应学生用书P61 曲线与方程的概念的理解 例 1 (1)判断点A(4,3)，B(32， 4)，C(5，25)是否在方程x2y225(x0) 所表示的曲线上； (2)方程x2(x2 1)y2(y 21)所表示的曲线是 C，若点M(m，2)与点N 3 2 ，n 在曲线C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 上，求m，n的值 思路点拨 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐标适合曲线的方程，则点M就在 方程所表示的曲线上；而若点M为曲线上的点， 则点M的坐标 (x0，y0)一定适合曲线的方程 精解详析 (1)把点A(4,3)的坐标代入方程x2y225 中，满足方程，且点A的横坐 标满足x0，则点A在方程x2y 225(x0)所表示的曲线上； 把点B( 32， 4)的坐标代入x2y225，因为 (32)2(4)2 3425，所以点B 不在方程x2y225(x0)所表示的曲线上 把点C(5，25)的坐标代入x2y225，得 (5)2(25)225，满足方程，但因为横 坐标5不满足x 0的条件，所以点C不在方程x2y2 25(x0)所表示的曲线上 (2)因为点M(m，2)，N 3 2 ，n在曲线C上，所以它们的坐标都是方程的解，所以 m2(m21)2×1， 3 4× 1 4 n2(n 21)，解得 m±2，n± 1 2或± 3 2 . 一点通 1判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手 (1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的 参数 2判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方 程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上 1 “点M在曲线y24x上”是“点M的坐标满足方程y 2x”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：点M在曲线y24x上，若点M(x0，y0)，则y204x0，不能得出y0 2x0；若点 M(x0，y0)满足方程y 2x，则y0 2x0，y204x0，故为必要不充分条件 答案： B 2判断下列结论的正误，并说明理由 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x0； (2)到x轴距离为2 的点的轨迹方程为y 2； (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1 的点的轨迹方程为xy1； (4)ABC的顶点A(0， 3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程为x 0. 解： (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x3， 结论不正确 (2)到x轴距离为2 的点的轨迹方程是y± 2， 结论错误 (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1 的点的轨迹方程应为|x| ·|y| 1，即xy± 1，结 论错误 (4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x0(3y0)， 结论错误 . 由方程确定曲线 例 2 (1)方程 (xy 1)x10 表示什么曲线？ (2)方程 2x2y24x2y30 表示什么曲线？ 思路点拨 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像， 可由方程的特点入手分析 精解详析 (1)由方程 (xy1)x1 0可得： x1 0， xy10， 或x10， 即xy10(x 1)或x 1， 方程表示直线x1 和射线xy10(x1)， (2)方程的左边配方得2(x1)2(y1)20， 而 2(x 1) 20，(y 1) 20， 2x1 20， y1 20， x1， y 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 方程表示的图形为点A(1， 1) 一点通 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、 因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时， 应保证变形过程 的等价性 3方程 |x| |y| 1 表示的曲线是 ( ) 解析：原方程可化为 x0，y0， xy1， 或 x0，y 0， xy1， 或 x0，y0， xy 1， 或 x0，y 0， xy1. 作出其曲线为D. 答案： D 4方程 4x2y24x 2y0 表示的曲线是 ( ) A一个点 B两条互相平行的直线 C两条互相垂直的直线 D两条相交但不垂直的直线 解析： 4x2y24x2y0， (2x1)2 (y 1) 20， 2x1± (y1)， 2xy 0或 2xy20，这两条直线相交但不垂直 答案： D 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5方程1|x| 1y表示的曲线为 ( ) A两条线段B两条直线 C两条射线D一条射线和一条线段 解析：由已知得1 |x| 1y,1y0,1 |x| 0. 有y|x| ， |x| 1. 曲线表示两条线段，故选A. 答案： A 求曲线的方程 例 3 如图已知F(1,0)，直线l：x 1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足 为Q，且QP uuu r ·QF uuu r FP uuu r ·FQ uuu r ，求动点P的轨迹方程 思路点拨 本题可设出P(x，y)，则Q(1，y)然后由QP uuu r ·QF uuu r FP uuu r ·FQ uuu r 得出 P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程 精解详析 设点P(x，y)，则Q(1，y)，QP uuu r (x1,0)，QF uuu r (2，y)，FP uuu r (x 1，y)，FQ uuu r (2，y)， 由QP uuu r ·QF uuu r FP uuu r ·FQ uuu r ， (x1,0)· (2，y)(x1，y)·(2，y)， 2x2 2x2y 2，即动点 P的轨迹方程为y24x. 一点通 1求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法 )在解 题时， 根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要 加以说明一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去 2直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法 6已知定点A( 1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为1，则动点P 满足的方程是 ( ) Ax2y21 Bx2y21(x± 1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Cx2y21(x0) Dy1x2(x± 1) 解析：设动点P的坐标为 (x，y)，则kPA y x1 (x 1)， kPB y x1(x1) kPA·kPB 1， y x1· y x1 1，整理得 x2y 21(x± 1) 答案： B 7已知ABC的两个顶点A(2,0)，B(0， 2)，第三个顶点C在曲线y3x21 上移 动，求ABC的重心G的轨迹方程 解：设ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)， 则 xx 02 3 ， y y02 3 ， 即 x03x2， y03y2. 点C在y3x21 上， y03x201，即 3y 23(3x2)2 1. 整理得y9x2 12x3. ABC的重心G的轨迹方程为y9x2 12x3. 8等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4,2)，B(2,0)，A为顶点，求另一 腰的一个端点C的轨迹方程 解：设点C的坐标为 (x，y)， ABC为等腰三角形，且A为顶点， |AB| |AC| 又 |AB| 4 2 2222 10， |AC| x4 2 y2 22 10， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x4) 2(y2)240. 又点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线， x 2且x 10， 点C的轨迹方程为 (x 4) 2(y2)240(x 2 且 x10) 1理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意： (1)曲线上点的坐标都是方程的解 (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 2求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称 性的原则， 即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的 点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁 对应课时跟踪训练二十 1下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) Ay2x与yx Bylg x2与y2lg x C.y 1 x21 与 lg(y1)lg(x2) Dx2y21 与 |y| 1x2 解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C 中各对曲线的x 与y的取值范围不一致 答案： D 2已知两定点A( 2,0)，B(1,0)，如果动点P满足 |PA| 2|PB| ，则点P满足的方程的 曲线所围成的图形的面积为( ) AB4 C8D9 解析：设P为 (x，y)，由 |PA| 2|PB| ，得x2 2y22 x1 2y2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即(x2) 2 y24，点P满足的方程的曲线是以2 为半径的圆，其面积为4 . 答案： B 3方程x2xyx的曲线是 ( ) A一个点B一个点和一条直线 C一条直线D两条直线 解析：x2xyx，即x2xyx0， x(xy1)0，x0 或xy1 0. 故方程表示两条直线 答案： D 4已知点A(0， 1)，点B是抛物线y2x21 上的一动点，则线段AB的中点M满足 的方程为 ( ) Ay2x2By4x2 Cy6x2Dy 8x2 解析：设B(x0，y0)，M(x，y) M是AB的中点， x x00 2 ，y y01 2 ，得x02x，y02y1. 又B(x0，y0)在抛物线y2x21 上，y02x201， 即 2y12(2x)2 1，因此y 4x2，故M满足的方程为y 4x2. 答案： B 5在ABC中，已知A(2,0)，B(1,2)，点C在直线 2xy30 上移动则ABC的 重心G满足的方程为_ 解析：设ABC的重心G的坐标为 (x，y)，点C的坐标为 (x0，y0)，则 x 21x0 3 ， y 02y0 3 ， x03x1， y0 3y2， 点C在直线 2xy30 上，故有6x3y70， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又重心G不在AB上，故x 3 4， y 5 6， 重心G满足的方程为6x3y70(x 3 4) 答案： 6x3y70(x 3 4) 6方程 x2 4k y 2 k11 表示的曲线为 C，给出下列四个命题： 曲线C不可能是圆； 若 14； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14，故命题正确； 若曲线C 表示焦点在x轴上的椭圆，则4kk10，解得 10)， 则M(x,0)，P(0， y 2)， PM uuur (x， y 2 )， PF uuu r (1， y 2) 又PM uuur PF uuu r ，故PM uuur ·PF uuu r 0， 即x y 2 4 0， y24x(x0) 即N点的轨迹C的方程为y 24x(x0) 42 & 4.3 圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点 对应学生用书P63 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上点M(x，y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线x a 2 c 的距离比是常数e. 问题 1：若F(4,0)，l：x 25 4 ，e 4 5，则点 M的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示： x2 25 y2 9 1，椭圆 问题 2：若F(5,0)，l：x 16 5 ，e 5 4，则点 M的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示： x2 16 y2 9 1，双曲线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e. 当 01 时，圆锥曲线是双曲线； 当e 1时，圆锥曲线是抛物线 直线与圆锥曲线的交点 问题 1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切正确吗？ 提示：正确 问题 2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点 问题 3：过 (2,0)点能作几条直线和双曲线 x2 4 y 2 3 1仅有一个交点？ 提示： 3 条 曲线的交点 设曲线C1：f(x，y)0，C2：g(x，y)0，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方 程组 fx，y0， gx，y0. 反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交 点的坐标 1椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数 e. 2直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的 基本方法 对应学生用书P63 圆锥曲线共同特征的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x 16 5 的距离之比是常数 5 4， (1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P使|PF| 5. 思路点拨 (1)可由 |MF| 与d(d为M到l：x 16 5 的距离 )比为 5 4，列出 M(x，y)满足的关 系，进而求出曲线的方程 (2)由|PF| 5，可得P到l的距离为4，从而可求得P的坐标 精解详析 (1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意， 曲线上的点M满足 |MF| d 5 4 ， 由此得 x5 2 y2 16 5 x 5 4， 即x5 2 y2 5 4 16 5 x， 两边平方整理得 x2 16 y 2 9 1. (2)设P(x，y)到l的距离为d，由 |PF| 5，得d4. 即 16 5 x4，解得x 36 5 或x 4 5. 由于 |x| 4，故x 4 5 不合题意，舍去 由x 36 5 得y± 6 5 14. 点P的坐标为 36 5 ，± 614 5 . 一点通 圆锥曲线上点的横(纵 )坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联 系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点 到直线的距离的转化，从而使运算得以简化 1.抛物线y22px(p0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 是它的焦点，若|AF| ，|BF| ，|CF| 成等差数列，则( ) Ax1，x2，x3成等差数列 By1，y2，y3成等差数列 Cx1，x3，x2成等差数列 Dy1，y3，y2成等差数列 解析：由抛物线定义： |AF| |AA | ，|BF| |BB| ，|CF| |CC|. 2|BF| |AF| |CF| ， 2|BB| |AA| |CC|. 又 |AA| x1 p 2， | BB| x2 p 2，| CC| x3 p 2， 2x2 p 2 x1 p 2 x3 p 2? 2x 2x1x3. 答案： A 2 已知点A(1,2)在椭圆 x2 16 y2 121 内， F的坐标为 (2,0)， 在椭圆上求一点P使|PA| 2|PF| 最小 解：a216，b212，c2 4，c2. F为椭圆的右焦点，并且离心率为 2 4 1 2. 设P到右准线l的距离为d，则 |PF| 1 2 d，d2|PF|. |PA| 2|PF| |PA| D. 当P点的纵坐标 (横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时， |PA| d最小，如图 把y 2代入 x2 16 y2 121， 得x 46 3 (负值舍去 )， 即P 46 3 ，2 为所求的点 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直线与圆锥曲线的交点 例 2 若直线ykx1 与焦点在x轴上的椭圆 x2 5 y 2 m1总有公共点， 求 m的取值范围 思路点拨 几何法： 由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以 (0,1)必在椭 圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m的范围代数法：联立直线与椭圆方程组成 方程组，根据方程组有解来求m的范围 精解详析 法一：由于椭圆的焦点在x轴上，知 00. 2直线ykxb与曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，弦长公式为 |AB| 1k2|x1 x2| 或|AB| 1 1 k2| y1y2|(k0) 5已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3) (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线l经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长 解： (1)设双曲线方程为 x2 a 2 y2 b21(a，b0)， 由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为 (2,0)，(2,0)， 则|PF1| |PF2| 22a，所以a 1， 又c 2，所以b3， 所以双曲线方程为x2 y2 3 1. (2)由题意可知直线l的方程为yx2， 联立双曲线及直线方程消去y得 2x24x 70， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2 2，x1x2 7 2 ， 由弦长公式得|AB| 1k2|x1x2| 1k2·x1x2 24x1x26. 6已知椭圆 x2 16 y2 4 1，过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方 程 解：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2) P为弦AB的中点， x1x24，y1y22. 又A，B在椭圆上， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x214y2116，x224y 2 216. 两式相减，得(x21x22)4(y 2 1y 2 2)0， 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0， y1y2 x1x2 x1x2 4y1y2 1 2，即 kAB 1 2. 所求直线方程为y1 1 2(x2)， 即x2y4 0. 直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下： (1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决， 并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断 (2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB| 1k2|x1x2| 1 1 k2·| y1 y2| ，弦过焦点时，也可用定义来解决 (3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求 解二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率 对应课时跟踪训练(二十一 ) 1过点 (2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有( ) A 1条B2 条 C3 条D4 条 解析：点 (2,4)位于抛物线y28x上，故过 (2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条， 一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切 答案： B 2若直线yx2 与椭圆 x2 m y2 3 1有两个公共点，则 m的取值范围是 ( ) A(， 0)(1， ) B(1,3)(3， ) C(， 3)(3,0) D(1,3) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 由 yx2， x2 m y2 3 1 消去y，整理得 (3m)x24mxm0.若直线与椭圆有两个公共 点， 则 3m0， 4m 24m 3m0， 解得 m 3， m0或m1. 由 x2 m y 2 3 1 表示椭圆知，m0 且m3. 综上可知，m的取值范围是m1 且m3. 答案： B 3已知双曲线方程为x2 y2 4 1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有 L( ) A 4条B3 条 C2 条D1 条 解析：因为双曲线方程为x2 y2 4 1，所以 P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且 和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过 P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3 条 答案： B 4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A，B两点，若 线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) Ax1 Bx 1 Cx2 Dx 2 解析：抛物线的焦点F p 2，0 ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为yxp 2，即 xy p 2，将其代入 y22px2 p y p 2 2pyp2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以y22pyp20，所以 y1y2 2 p 2， 所以抛物线的方程为y24x，准线方程为x 1. 答案： B 5已知双曲线x2y 2 3 1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的 中点，则直线AB的斜率为 _ 解析：法一：显然直线AB存在斜率， 设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB方程为y1k(x2)，由 ykx 21， x2 y2 3 1， 得(3k2)x2(4k22k)x4k2 4k40， x1x2 2k4k2 3k2 4，k6. 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24， y1y2 2，且x2 1 y21 3 1， x2 2 y22 3 1. 两式相减得 (x1x2)(x1x2) y1y2y1y2 3 . 显然x1x20， y1y2 x1x2 3x1x2 y1y2 6，即kAB6. 答案： 6 6已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x3 的距离的比为 3 3 ，则动点M的 轨迹方程为 _ 解析：设M(x，y)，则 x1 2 y2 |x3| 3 3 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3(x1)2 3y2(x3)2. 2x23y26. 所求方程为 x2 3 y2 21. 答案： x2 3 y 2 2 1 7已知直线l与抛物线y 2 8x 交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)， 求线段AB的中点到准线的距离 解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ| ， 由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y 4 3(x2)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y2 8x， y 4 3 x2， 消去x得y28 3 4y 2 ? y26y160?y18，y2 2. |AB| 1 3 4 2| y1y2| 25 2 ， 由抛物线的定义知：|PQ| 1 2| AB| 25 4 . 8已知椭圆 x2 3 y 2 2 1 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭 圆相交于A，B两点 (1)求AB的中点坐标； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求ABF2的周长与面积 解： (1)由 x2 3 y2 2 1，知a3，b2，c1. F1(1,0)，F2(1,0)，l的方程为yx1， 联立 x2 3 y 2 2 1， yx1， 消去y得 5x26x30. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1x2 6 5，x 1x2 3 5，x 0 x1x2 2 3 5， y0 y1y2 2 x11x21 2 x1x2 2 1 2 5 或y0x01 3 51 2 5 ， 中点坐标为M 3 5， 2 5 . (2)由题意知，F2到直线AB的距离d |1 0 1| 1212 2 2 2， |AB| 1k2l·x1x2 24x1x28 3 5 ， SABF2 1 2| AB|d 1 2× 83 5 ×2 46 5 ， ABF2的周长 4a43. 对应学生用书P66 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一、圆锥曲线的定义 1椭圆： 平面内到两定点F1，F2距离之和等于常数(大于 |F1F2|) 的点的集合 2抛物线： 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合 3双曲线： 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于 |F1F2|) 的点的集合 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要 有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略 二、圆锥曲线的标准方程与简单性质 1圆锥曲线的标准方程： 椭圆、 双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程根据曲线方程的 形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式 2圆锥曲线的简单几何性质： (1)圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件 (2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴 (3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点 (4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同 (5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据 三、轨迹方程的问题 求轨迹方程的几种常用方法： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关 系式 (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换 为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动 点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式 (3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线 的定义，则可直接利用这一已知曲线的方程写出动点的轨迹方程 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)参数法：选择一个(或几个 )与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐 标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程 四、直线与圆锥曲线位置关系 1直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、 中点弦、取值范围、最值、定点、定值等问题 2这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结 合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化 为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法”，解决问题的过程中，要注意“整体代 换”思想的应用 对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间 90 分钟，满分120分 ) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1抛物线y2 8x的焦点坐标是 ( ) A(2,0) B(2,0) C(4,0) D(4,0) 解析：抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(2,0) 答案： B 2已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 6 3 C. 2 2 D. 1 2 解析：因为椭圆的长轴长2a是短轴长 2b的3倍，所以a3b，则ca 2 b22b， 所以椭圆的离心率e c a 2b 3b 6 3 . 答案： B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3以椭圆 x2 16 y2 9 1 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( ) A. x2 16 y2 48 1 B.x 2 9 y 2 27 1 C. x2 16 y 2 481 或 y 2 9 x2 27 1 D以上都不对 解析：当顶点为(±4,0)时，对于双曲线，a4，c 8，b43，则双曲线的标准方程 为 x2 16 y 2 481；当顶点为 (0，± 3)时，对于双曲线， a3，c6，b33，则双曲线的标准方 程为 y2 9 x2 271. 答案： C 4直线l：x2y20 过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 5 5 D. 25 5 解析：直线l与x轴交于 (2,0)，与y轴交于 (0,1)由题意知c2，b1， a5，ec a 25 5 . 答案： D 5已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x 70 相切，则p的值为 ( ) A. 1 2 B1 C2 D4 解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x p 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 p 2 4，p2. 答案： C 6一动圆P与圆O：x2y21 外切，而与圆C：x2y26x8 0 内切，那么动圆的 圆心P的轨迹是 ( ) A双曲线的一支B椭圆 C抛物线D圆 解析：圆C的方程即 (x3) 2 y21，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R. 圆P与圆O外切而与圆C内切， R1，且 |PO| R1，|PC| R1，又 |OC| 3， |PO| |PC| 2b，则双曲线 x2 a 2 y2 b21 的离心率为 ( ) A. 5 3 B. 41 4 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. 5 4 D. 41 5 解析：由题意知 ab9， ab25 2， ab， 解得a5，b4， ca2b2251641. 双曲线的离心率ec a 41 5 . 答案： D 9(浙江高考 )如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的 两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) A 3 B2 C.3 D.2 解析：设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1 c a ，椭圆的离心 率e2 c 2a ，所以 e1 e22. 答案： B 10(浙江高考 )如图F1，F2是椭圆C1：x 2 4 y 2 1 与双曲线 C2的公共焦点，A，B分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A.2 B.3 C. 3 2 D. 6 2 解析：由椭圆可知|AF1| |AF2| 4， |F1F2| 23. 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以 |AF1| 2| AF2| 2 | F1F2| 212， 所以 2|AF1|AF2| (|AF1| |AF2|) 2(| AF1| 2| AF2| 2)1612 4， 所以 (|AF2| |AF1|) 2| AF1| 2| AF2| 22| AF1| ·|AF2| 1248， 所以 |AF2| |AF1| 22， 因此对于双曲线有a2，c3， 所以C2的离心率e c a 6 2 . 答案： D 11若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线 x2 5 y2 41 的顶点