高中数学第三章Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.2指数函数学习导航学案新人教B版必修2.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 指数函数 自主整理 1.指数函数的定义 函数 yax(a0 且 a1,xR)叫做指数函数.定义中对a0 且 a1 的规定， 是为了保证定义域 为实数集，且具有单调性. 2.指数函数的图象和性质 a1 00 且 a1）的图象关于y 轴对称 . 6.底数 a 对图象特征的影响可这样来叙述：当a1 时，底数越大，函数图象就越靠近y 轴, 递增的速度越快；当0 a1 时，底数越小，函数图象就越靠近y 轴,递减的速度越快. 7.指数函数性质口诀： 指数增减要看清，抓住底数不放松， 反正底数大于0，不等于1 已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数 0 到 1 之间，图象从上往下减. 无论函数增和减，图象都过(0,1)点. 名师解惑 指数函数中为什么规定底数a0 且 a1？ 剖析：很多同学学习了指数函数的定义后，对底数的限制a0,且 a1 总是迷惑不解.突破方 法是分析不加限制可能出现的“混乱局面”. 若 a0 时， a x=0；当 x0 时， ax无意义 . 若 a=1，则对于任何x R，ax是一个常量1，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a0 且 a1，这样对于任何xR，ax都有意义 ,且 a x0. 讲练互动 【例题 1】将三个数1.5 0.2，1.30.7， （ 3 2 ） 3 1 按从小到大的顺序排列. 分析 :当两个幂指数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函 数,借助函数的单调性来比较大小. 解： 先比较 1.50.2即（ 3 2 ）0.2和（ 3 2 ） 3 1 的大小，考查指数函数y=（ 3 2 ） x，由于底数 3 2 在区间（ 0， 1）内，所以指数函数y=（ 3 2 ） x 在（ -， + ）上是减函数. 由 0.2= 5 1 3 1 ,得 1（ 3 2 ） 0.2（ 3 2 ） 3 1 .另一方面，由于1.31，0.70，得 1.30.7 1.所以 （ 3 2 ） 3 1 1.5 0.21.30.7. 绿色通道 处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0 比，和 1 比，然后 将同范围（如大于0）的数化成同一函数在自变量x 取两值时所对应的两函数值，再利用函 数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系. 变式训练 1.比较下列各组数的大小: (1)( 4 7 )0.1和( 4 7 )0.2; (2)( 4 3 ) 6 1 和 ( 3 4 ) 5 1 ; (3)0.8 -2 和( 3 5 ) 2 1 ; (4)a 3 1 和 a 2 1 (a0,a1). 分析 :此题中第 (3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值,此时可以借助一些特殊 数如 0 或 1 来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两 个幂 ,可构造指数函数来比较大小. 解： (1)y=( 4 7 )x在 (- ,+)上是减函数 , 又-0.1-0.2,故( 4 7 )0.1( 3 4 ) 6 1 ,即( 4 3 ) 6 1 ( 3 4 ) 5 1 . (3)由 0.8 -21 而( 3 5 ) 2 1 ( 3 5 ) 2 1 . (4)当 a1 时,a 3 1 a 2 1 . 【例题 2】求下列函数的定义域与值域： （1）y=2 3 1 x ； （2）y=（ 3 1 ） |x| ； （3）y=4 x+2x+1 +1； （4）y=2 1 1x x . 解： （1）因为指数函数y=2 x 的定义域为xR，值域为y（ 0，+） . 若 x0，则 y1；由于 y=2 3 1 x 中的 3 1 x 0，所以 y1. 所以所求函数的定义域是x|x R 且 x3，值域为 y|y 0 且 y1. （2）因为 y=（ 3 1 ） |x| 中的 |x| 0， 所以 x R，0y1. 所以所求函数的定义域为R，值域为 y|0 y1. （3）将已知函数整理成y=4 x+2x+1 +1= （2x） 2+2（2x）+1= （2x+1）2. 由此可知定义域为R，值域为 y|y 1. （4）已知函数可化为y=2 1 1 x ， 由 1 1 x 0,得 x1. 又由 1 1 x 0，得 y=2 1 1 x 1. 所以定义域为 x|x 1，值域为 y|y 1. 绿色通道 本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x 的取值范围（集 合） ；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义 域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数 的值域 . 变式训练 2.（2007 吉林高三期末统考，文13）函数 f(x)=1) 2 1 ( x 的定义域是 _. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 由题意得 ( 2 1 )x-10，即 ( 2 1 )x1，得 x0. 答案： （-,0 3.函数 y= 15 1 1x x 的定义域是 _. 解析： ,015 ,01 1x x x 解得 x0 且 x1. 答案： (- ,0)(0,1)(1,+) 【例题 3】若函数 y 12 12? x x aa 为奇函数 . （1）确定 a的值； （2）求函数的定义域； （3）求函数的值域； （4）讨论函数的单调性. 分析 :本题可通过奇函数的定义，得f（-x）+f （x）=0，推导出a 的值，而求函数的定义域 就是使函数表达式有意义的自变量x 的取值范围；值域求解通常可利用单调性逐步求解. 解： 先将函数 12 12? x x aa 化简为 y=a 12 1 x . （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f （x）=0，即 a 12 1 12 1 xx a=0， 2a+ x x 21 21 =0. a= 2 1 . （2） y 12 1 2 1 x ， 2 x-10. 函数 y 12 1 2 1 x 的定义域为 x|x 0. （3）方法一（逐步求解法）:x0， 2x-1-1. 又 2x-10， 02x-1-1 或 2 x-10. 12 1 2 1 x 2 1 或 12 1 2 1 x 2 1 ，即函数的值域为y|y 2 1 或 y 2 1 . 方法二（利用有界性）:由 y 12 1 2 1 x 2 1 ，可得 2 x 2 1 2 1 y y . 2x0， 2 1 2 1 y y 0.可得 y 2 1 或 y 2 1 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即函数的值域为y|y 2 1 或 y 2 1 . （4）当 x0 时，设 0x1x2，则 y1-y2 ) 12)(12( 22 12 1 12 1 12 21 12 xx xx xx . 0x1x2， 12 1 x 2 2 x . 2 1 x -2 2 x 0，2 1 x -10，2 2 x -10. y1-y20. 因此 y 12 1 2 1 x 在（ 0，+）上递增 . 同样可以得出y= 12 1 2 1 x 在（ -， 0）上递增 . 绿色通道 研究复合函数的单调性可通过首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成，然后根据 “同 增异减”法则作出判断.所以本题我们也可以采用复合函数单调性的判断方法. 当 x0 时， 2 x 单增， 2x-1 单增， 12 1 x 单减， 12 1 x 单增 . y 12 1 2 1 x 在（ 0，+）上递增 . 求复合函数y=fg(x)的值域，应分层进行，即首先求出内函数u=g(x)的值域，它就是外函 数 y=f(u) 的定义域，然后根据y=f(u) 的单调性再求出原函数的值域. 变式训练 4.求函数 y=3 xx2 的单调区间和值域. 分析 :应注意函数y=3 xx2 不是指数函数，而是指数函数与二次函数的复合函数，不能直接 根据指数函数y=3 u 来判断其单调性，解本题时， 应避免会忽视y0 而得出值域的错误结果. 解： 设 y=3 u，u=-x2-x. 因函数 u=-(x+ 2 1 )2+ 4 1 在 (-, 2 1 上为增函数，在 2 1 ,+)上为减函数， 故当 x10，一定要注意换元后新 变量的取值范围. 解： 设 3x=t(t0) ，所以 y=t 2+2t-2=(t+1)2-3(t0). 因为当 t=0 时， y=-2，从而 y=9 x+2×3x-2 的值域为（ -2， +） .