高中数学第三章三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式学案新人教A版必修30.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.1 两角差的余弦公式 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点 ) 2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点 ) 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易 混点 ) 基础·初探 教材整理两角差的余弦公式 阅读教材P124P126例 1 以上内容，完成下列问题. cos()cos cos sin sin . (1)适用条件：公式中的角，都是任意角 . (2)公式结构： 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反. 判断 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)cos(60° 30°)cos 60° cos 30 ° .( ) (2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立 .( ) (3)对任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立 .( ) (4)cos 30° cos 120 ° sin 30°sin 120° 0.( ) 【解析】(1)×.cos(60° 30°)cos 30 ° cos 60° cos 30°. (2)× .当 45°，45°时， cos() cos( 45° 45°)cos(90°) 0，cos cos cos(45°) cos 45 ° 0，此时 cos() cos cos . (3).结论为两角差的余弦公式. (4).cos 30 °cos 120° sin 30°sin 120° cos(120 ° 30°)cos 90° 0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】(1)×(2)×(3)(4) 小组合作型 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345 °的值等于 ( ) A. 26 4 B. 62 4 C. 26 4 D. 26 4 (2) 2cos 10° sin 20° sin 70° 的值是 ( ) A. 1 2 B. 3 2 C.3 D.2 (3)化简下列各式： cos(21°)cos(24°)sin(21°)·sin(24°)； sin 167°· sin 223° sin 257°· sin 313°. 【精彩点拨】(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后 利用两角差的余弦公式求解. (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用. 【自主解答】(1)cos 345° cos(360° 15°) cos 15° cos(45° 30°) cos 45°cos 30° sin 45°sin 30° 62 4 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)原式 2cos30° 20°sin 20° sin 70° 2cos 30°· cos 20° 2sin 30°· sin 20° sin 20° sin 70° 3cos 20° sin 70° 3sin 70° sin 70° 3. (3)原式 cos 21° (24°) cos 45° 2 2 ，所以原式 2 2 ； 原式 sin(180° 13°)sin(180 ° 43°)sin(180° 77°)· sin(360° 47°) sin 13°sin 43° sin 77°sin 47° sin 13°sin 43° cos 13°cos 43° cos(13° 43°)cos(30° ) 3 2 . 【答案】(1)C (2)C (3) 2 2 3 2 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公 式求值 . 2.两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦. (2)把所得的积相加. 再练一题 1.求下列各式的值： (1)cos 13 12 ； (2)sin 460°sin( 160°)cos 560°cos(280°)； (3)cos(20°)cos(40 °)sin(20°)sin(40°). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解】(1)cos 13 12 cos 12 cos 12 cos 3 12 2 12 cos 4 6 cos 4cos 6sin 4sin 6 2 2 × 3 2 2 2 × 1 2 62 4 . (2)原式 sin 100°sin 160° cos 200°cos 280° sin 100°sin 20° cos 20°cos 80° (cos 80°cos 20° sin 80°sin 20° ) cos 60 ° 1 2. (3)cos(20°)cos(40 °)sin(20°)·sin(40°) cos(20°)(40°) cos(60°) 1 2. 已知三角函数值求角 已知，为锐角， cos 1 7，sin( ) 5 14 3，求. 【导学号： 00680066 】 【精彩点拨】本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某 一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小. 【自主解答】为锐角，且cos 1 7， sin 1cos 2 1 1 7 2 43 7 . 又，为锐角，(0， ). 又 sin() 5 14 3sin ， 2，. cos()1sin 2 1 5 14 3 2 11 14. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos cos() cos()cos sin()sin 11 14 × 1 7 53 14 × 43 7 1 2. 又为锐角， 3. 1.这类问题的求解，关键环节有两点： (1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函 数的性质与图象，角可求解. 2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 再练一题 2.已知，均为锐角，且cos 25 5 ，cos 10 10 ，求的值 . 【导学号： 70512041 】 【解】，均为锐角， sin 5 5 ，sin 310 10 . cos()cos cos sin sin 25 5 × 10 10 5 5 × 310 10 2 2 . 又 sin sin ， 0 2， 2 0. 故 4. 探究共研型 利用角的变换求三角函数值 探究 1 若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？ 【提示】cos cos() cos()cos sin()sin . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 探究 2 利用 ()可得 cos 等于什么？ 【提示】cos cos()cos cos()sin sin(). 探究 3 若 cos cos a，sin sin b，则 cos()等于什么？ 【提示】cos() 2a 2 b2 2 . 已知 sin 4 4 5，且 4 3 4 ，求 cos 的值 . 【精彩点拨】先根据 sin 4 4 5求出 cos 4 的值，再根据 4 4构造两角 差的余弦，求出cos 的值 . 【自主解答】 sin 4 4 5，且 4 3 4 ， 2 4 ， cos 4 1 4 5 2 3 5， cos cos 4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 3 5× 2 2 4 5× 2 2 2 10 . 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值， 求或证明另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角” 有： 单角变为和差角，如， 2 2 等；倍角化为和差角，如2 等等 . 再练一题 3.设 cos 2 1 9 ，sin 2 2 3 ，其中 2， ， 0， 2 ，求 cos 2 的值 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解】 2， 0， 2 ， 2 4， ， 2 4， 2 ， sin 2 1cos 2 2 1 1 81 45 9 ，cos 2 1sin 2 2 1 4 9 5 3 . cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 × 5 3 45 9 × 2 3 75 27 . 1.cos 65°cos 35° sin 65°sin 35°等于 ( ) A.cos 100°B.sin 100° C. 3 2 D. 1 2 【解析】原式 cos(65 ° 35°)cos 30° 3 2 . 【答案】C 2.若a(cos 60°， sin 60°)，b(cos 15°， sin 15°)，则a·b( ) A. 2 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 1 2 【解析】a·bcos 60°cos 15° sin 60°sin 15° cos(60° 15°)cos 45° 2 2 . 【答案】A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.已知锐角，满足 cos 3 5，cos( ) 5 13，则 cos 等于 ( ) A. 33 65 B. 33 65 C. 54 75 D. 54 75 【解析】因为，为锐角， cos 3 5，cos( ) 5 13， 所以 sin 4 5，sin( ) 12 13. 所以 cos cos() cos()·cos sin()·sin 5 13× 3 5 12 13 × 4 5 33 65.故选 A. 【答案】A 4.sin 75° _. 【解析】sin 75° cos 15° cos(45° 30°) cos 45°· cos 30 ° sin 45°· sin 30° 2 2 × 3 2 2 2 × 1 2 62 4 . 【答案】 62 4 5.已知，为锐角， cos() 12 13，cos(2 ) 3 5，求 cos 的值 . 【解】因为，为锐角，所以0 . 又因为 cos() 12 13，所以 0 2 ，所以 02 . 又因为 cos(2) 3 5，所以 02 2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 sin() 5 13，sin(2 ) 4 5， 所以 cos cos(2)() cos(2)· cos()sin(2)·sin() 3 5× 12 13 4 5× 5 13 56 65 .