高中数学第三章Ⅰ章末分层突破学案新人教B版必修98.pdf

积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第三章 基本初等函数（） 自我校对 分数指数幂 互为反函数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对数函数 解析式ylogax(a0，a1) logaN 解析式yx 越来越慢 越来越快爆炸式增长 指数、对数的运算 解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌 握各种变形如N 1 b a，a b N，logaNb(其中N 0，a0，a1)是同一数量关系的不同表 示形式， 因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运 算 【精彩点拨】(1)利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出； (2)利用指数幂的运算法则即可得出 【规范解答】(1)原式 log3 22×8 32 9 323 1. 1 1 16 1 8 1 10 143 80 . 再练一题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1计算： 【解】(1)原式 41 1 2×( 2)4 3. 指数、对数型函数的定义域、值域 求指数型与对数型函数的定义主要通过构建不等式(组 )来求解，有时解不等式(组)时要 借助于指数、对数函数的单调性 涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型，一是形如ya f(x)和 ylogaf(x)的函数，一 般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解；二是形如yf(ax)和yf(logax)的 函数，则要根据a x 和 logax的范围，利用函数yf(x)的性质求解 (2)已知 3log1 2 x 3 2 ，求函数f(x)log2x 2·log 2 x 4 的最大值和最小值 【精彩点拨】 (2)由f(x)log2x 2 · log2x 4(log 2x1)(log2x2)(log2x) 23log 2x 2，结合二次函数的性质 即可求解 【规范解答】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故所求函数的值域为 1 32， 1 2 . (2) 3log1 2 x 3 2， 3 2log 2x3， f(x)log2x 2·log 2 x 4(log 2x1)(log2x 2)(log2x) 23log 2x2 log2x 3 2 21 4. 当 log2x3 时，f(x)max2，当 log2x 3 2时， f(x)min 1 4 . 再练一题 【导学号： 60210098】 【解】令k2x(0x2)， 1k4，则y22x 1 3·2x5 1 2 k23k5. 又y 1 2(k3) 2 1 2， k1,4， y 1 2(k3) 2 1 2在 k1,3上是减函数， 在k3,4上是增函数，当k3 时，ymin 1 2；当 k1 时，ymax 5 2. 即函数的最大值为 5 2 ，最小值为 1 2. 幂、指数、对数函数的图象和性质 解决此类问题要熟练掌握指数、对数、 幂函数的图象和性质，方程与不等式的求解可利 用函数的单调性进行转化，也可利用图象解决，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注 意变量本身的取值范围，以免出现增根 对于图象的判断与选择可利用图象的变换、也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应 用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 0x 1 2时， 4 xlog ax，则a的取值范围是( ) A. 0， 2 2 B. 2 2 ，1 C(1，2) D(2，2) 【精彩点拨】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成 立问题加以解决即可 【规范解答】当 0x 1 2时， 14 x2，要使 4xlogax，由对数函数的性质可得 0a 1， 数形结合可知只需2logax， 0 x 对 0x 1 2时恒成立， 0 1 2， 解得 2 2 a 1，故选 B. 【答案】B 再练一题 3若 loga20(a 0，且a1)，则函数f(x)a x1 的图象大致是 ( ) 【解析】由 loga20(a0，且a1)，可得 0a1，函数f(x)a x 1 a·a x， 故函数f(x)在 R 上是减函数，且经过点(0，a)，故选 A. 【答案】A 比较大小问题 数的大小比较常用方法： (1)比较两数 (式)或几个数 (式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数 函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用常用的方法有单调性 法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法 (2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 (3)比较多个数的大小时，先利用 “ 0”和“1”作为分界点， 即把它们分为 “小于 0” ， “大 于等于 0，小于等于1” ， “大于 1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小 比较下列各组中两个值的大小： (1)1.1 0.9，log 1.10.9，log0.70.8； (2)log53，log63， log73. 【精彩点拨】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质进行比较 【规范解答】(1)1.1 0.91.101，log 1.10.9log 0.70.8log1.10.9. (2)0log63log73. 再练一题 4已知alog20.3，b20.3，c 0.3 0.2，则 a，b，c三者的大小关系是( ) AabcBbac CbcaDcba 【解析】alog20.3log21 0，b2 0.3201,0 c0.30.20.3 0 1， bca.故选 C. 【答案】C AabcBacb CbcaDbac 【解析】 【答案】D 分类讨论思想 所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应 注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 漏地分类讨论 在初等函数中， 分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图象和性 质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现 (1)求m的值，并确定f(x)的解析式； (2)若g(x)logaf(x)ax(a0，且a1)在2,3上为增函数，求实数a的取值范围 【精彩点拨】(1)结合f(3)0. a 23， u33 23a 0， 无解； 当a1 时，ylogau在其定义域内单调递增，要使g(x)在2,3上单调递增，则需u(x) x2ax在2,3上单调递增，且u(x)0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 22， u2222a0， 解得a0 且a1，若Ploga(a 31)， Qloga(a 2 1)，试比较 P、Q的大小 【解】当 0log a(a 21)，即 PQ； 当a1 时，有a 3 a 2，即 a 31 a 21. 又当a1 时，ylogax在(0， )上单调递增， loga(a 31)log a(a 21)，即 PQ. 综上可得 PQ. 1函数y2x2e| x| 在2,2的图象大致为( ) 【解析】f(x)2x2e |x|， x2,2是偶函数，又f(2)8e 2(0,1)，故排除 A，B. 设g(x) 2x2ex，则g(x)4xe x.又 g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极 值点，f(x) 2x2e |x| 在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选 D. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】D 2已知f(x)是定义在R 上的偶函数， 且在区间 (， 0)上单调递增 若实数a满足f(2| a 1| )f(2)，则a的取值范围是( ) A. ， 1 2 B. ， 1 2 3 2 ， C. 1 2， 3 2 D. 3 2， 【解析】因为f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(， 0)上单调递增，所以f( x)f(x)， 且f(x)在 (0， )上单调递减 由f(2| a1| )f(2)，f(2)f(2)可得 2 |a 1| 2， 即|a1| 1 2，所以 1 2 a 3 2. 【答案】C 3某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015 年全年投入研发资 金 130万元， 在此基础上， 每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研 发资金开始超过200万元的年份是 (参考数据： lg 1.12 0.05 ， lg 1.30.11，lg 20.30)( ) 【导学号： 97512060】 A 2018年B2019 年 C2020年D2021年 【解析】设 2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由 130(1 12%)n200，得 1.12n 20 13，两边取常用对数，得 n lg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0.05 19 5 ，n4， 从 2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元 【答案】B 4已知点 (3,9)在函数f(x)1a x 的图象上，则f(x)的反函数f 1(x)_. 【解析】点 (3,9)在函数f(x)1a x 的图象上， 1a39，解得a2，f(x)12x f 1(x) log2(x1) 【答案】log2(x1) 5已知aR，函数f(x)log2 1 x a. (1)当a1 时，解不等式f(x)1； (2)若关于x的方程f(x)log2(x2)0 的解集中恰有一个元素，求a的值； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)设a0，若对任意t 1 2，1 ，函数 f(x)在区间 t，t1上的最大值与最小值的差不超 过 1，求a的取值范围 【解析】(1)由 log2 1 x1 1，得 1 x12，解得 x|0 1 x2 a， log2 1 x1 alog2 1 x2a ， 所以f(x)在(0， )上单调递减 函数f(x)在区间 t，t1上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t1) f(t)f(t1)log2 1 t alog2 1 t1 a1 即at 2(a 1)t10， 对任意t 1 2，1 成立 因为a0，所以函数yat 2(a 1)t1 在区间 1 2，1 上单调递增，所以 t 1 2时， y有最 小值 3 4a 1 2 ，由 3 4a 1 2 0，得a 2 3.故 a的取值范围为 2 3， .