1、第第7 7章章 傅里叶变换傅里叶变换7.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念7.2 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 从T为周期的周期函数fT(t)，如果在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)可以展成傅氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形三角形式式为预备知识预备知识 在fT(t)的间断点t0处，式(7.1.1)的左端代之为7.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念引进复数形式：对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在-T/2,T/2之内等于f(t),在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,
2、fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有Fourier积分公式与积分公式与Fourier积分存在定理积分存在定理O w1 w2 w3 wn-1wnw也叫做 的傅氏积分表达式 傅立叶变换的概念（定义傅立叶变换的概念（定义7.1.1）叫做的傅氏变换傅氏变换,象函数,可记做=叫做的傅氏逆变换傅氏逆变换,象原函数,=例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式。tf(t)函数及其傅立叶变换函数及其傅立叶变换 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的
3、量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.1 1 函数的定义函数的定义（1）函数的数学定义（2）物理学家狄拉克给出的定义 满足下列两个条件的函数称为函数：（i）（ii）3.3.函数在积分变换中的作用函数在积分变换中的作用函数的傅氏变换是广义
4、傅氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件的，这些函数的广义傅氏变换都可以利用函数而得到。2.函数的性质函数的性质（1）对任意的连续函数（2）函数为偶函数,即（3）其中,称为单位阶跃函数.d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例例1 证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：由上面两个函数的变换可得例例3 证明符号函数的付氏变换为证明符号函数的付氏变换为证：证：例例4 求单位阶跃函数的傅氏变换解 注意到例例5 求正弦函数求正弦函数f(t)=si
5、nw w0t的傅氏变换。的傅氏变换。可以证明可以证明常用函数的傅立叶变换对常用函数的傅立叶变换对7.2 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏变换中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.7.2.1线性性质线性性质:7.2.2 位移性质位移性质:证明：证明：例例1 求求 解解 因为因为所以所以7.2.3 相似性：相似性：证明：例例2 计算 。（先用相似性，再用位移性）7.2.4微分性：微分性：例例3 利用傅氏变换的性质求例例4 若 f(t)=sinw0t u(t),求其傅氏变换。7.2.5积分性：积分性：7.2.6 乘积定理乘积定理7.2.7 卷积与卷积定理卷积与卷积定理1上的卷上的卷积定定义7.2.1 若给定两个函数,则积分 称为函数的卷积,记为7.2.6 帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parserval)等式等式例例5 求下列函数的卷积：由卷积的定义有2.卷积的简单性质：卷积的简单性质：3傅氏变换的卷积定理傅氏变换的卷积定理7.2.1=若则例例7 求 的傅氏变换。
