4-2-2_三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲(0618080725).pdf

. . 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大(小) ，三角形面积也就越大( 小) ； 如果三角形的高不变，底越大(小) ，三角形面积也就越大( 小) ； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的3 倍，底变为原来的 1 3 ，则三角形面积与原来的一 样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线 AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形； 6 个面积相等的三角形 【例 2】 如图， BD 长 12 厘米， DC 长 4 厘米， B、C 和 D 在同一条直线上 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ DC BA 例题精讲 三角形等高模型与鸟头模型 C D B A . . 【例 3】 如右图， ABFE和 CDEF 都是矩形，AB的长是4厘米， BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的面 积是平方厘米 【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点E、F、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积 【例 5】 长方形 ABCD 的面积为36 2 cm ，E、F、 G 为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积 是多少？ 【例 6】 长方形 ABCD 的面积为36，E、F、 G 为各边中点， H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是 多少？ 【例 7】 如右图， E 在 AD 上，AD 垂直 BC，12AD厘米，3DE厘米求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ AB C D E F H G F E D CB A H G F E D C B A H G F E D C B A (H) G F E D CB A . . 【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与 VBEC 等积的三角形一 共有哪几个三角形？ 【例 9】 ( 第四届”迎春杯”试题) 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AEAB，2BDBC ，三角形BDE 的面积是多少？ 【例 10】( 2008 年四中考题 ) 如右图，ADDB，AEEFFC ， 已知阴影部分面积为5 平方厘米，ABC 的面积是平方厘米 【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点E、F 和 G 分别是它们所在边的中点如果长方形的面积是36 个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位 【例 12】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方 形组合而成求阴影部分的面积 【例 13】如图，三角形 ABC 中，2DCBD ，3CEAE ， 三角形 ADE 的面积是20 平方厘米， 三角形 ABC 的面积是多少？ E D CB A F D E C B A A B E C D D C E B A FE D C B A FE G D C B A 48cm2 24cm 2 36cm2 12cm 2 M N DC BA 12cm 2 36cm 2 24cm 2 48cm 2 . . 【例 14】( 2009 年第七届”希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形ABC 中， 已知三角形ADE、 三角形 DCE 、 三角形 BCD 的面积分别是89，28，26那么三角形DBE的面积是 【例 15】( 第四届小数报数学竞赛) 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米， 它们的差是5 分米求梯形ABCD 的面积 【例 16】图中 VAOB 的面积为 2 15cm ，线段 OB 的长度为OD 的 3 倍，求梯形ABCD 的面积 【解析】 在ABDV中，因为 2 15cm AOB SV ，且3OBOD ，所以有 2 35cm AODAOB SS VV 因为ABDV和ACDV等底等高，所以有 ABDACD SS VV 从而 2 15cm OCDSV ， 在BCDV中， 2 345cm BOCOCDSSVV ， 所以梯形面积： 2 155154580 cm（） 【例 17】如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形 【例 18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的 15%，黄色三角形面积是 2 21cm 问：长方形的面积是多少平方厘米？ E D C B A E D C B A D C B A O CB DA D C B A . . 【例 19】O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC 的面积是 2 5cm ，OAB 的面积是 2 2cm ，求OBD 的面 积是多少？ 【例 20】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P作边的平行线EF、 GH ，若PBD的面积为8 平方 分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ 【例 21】如右图，正方形ABCD 的面积是 20 ，正三角形BPC 的面积是 15，求阴影 BPD的面积 【例 22】在长方形 ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB 的面积为16，等腰DOC 的面积占长方形面积 的 18% ，那么阴影AOC 的面积是多少？ 【例 23】（2008 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中，E、F 分别是其两腰AB、CD 的中点， G 是EF上的任意一点，已知ADG的面积为 2 15cm ，而BCG 的 面积恰好是梯形ABCD 面积的 7 20 ，则梯形ABCD 的面积是 2 cm 红 绿 黄 红 P O D C B A A BC D E F G H P P D CB A O D C BA . . 【例 24】如图所示，四边形ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 【例 25】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE1.5， CF2长方形 EFGH 的面积为 【例 26】如图， ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 VADE 的面积为4 平方厘米求三角形CDF 的 面积 【例 27】图中两个正方形的边长分别是6厘米和 4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米 【例 28】如图，有三个正方形的顶点D、 G 、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10 厘米，求阴影部分的面积 A BC D E F G G F ED C BA H G F E D C B A A E B F CD . . 【例 29】( 2008 年”华杯赛”决赛 ) 右图中， ABCD 和 CGEF 是两个正方形， AG 和 CF 相交于H， 已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6 平方厘米，求五边形ABGEF 的面积 【例 30】( 第八届小数报数学竞赛决赛试题) 如下图，E、F分别是梯形ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的 点， DFFC ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形ABCD 的面积是 32 平方厘米求图 中阴影部分的面积 【例 31】如图，已知长方形 ADEF的面积 16，三角形ADB的面积是 3，三角形ACF 的面积是4，那么 三角形 ABC 的面积是多少？ 【例 32】如图，在平行四边形ABCD 中， BEEC ，2CFFD 求阴影面积与空白面积的比 【例 33】( 第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛) 如图所示，三角形ABC 中，D是AB边的中点，E 是 AC 边上的一点， 且3AEEC ，O 为 DC 与BE的交点 若CEO的面积为a平方厘米，BDO 的 K O Q P H GF E DC BA H G FE D CB A A BC D E F 甲 乙 丙 F ED C B A H A BC D E F G . . 面积为 b 平方厘米且ba 是 2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米 【例 34】如图，在梯形ABCD 中，:4:3ADBE，:2:3BE EC，且BOE 的面积比AOD 的面积小 10 平方厘米梯形ABCD 的面积是平方厘米 【例 35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ， 35 ， 49 那么图中 阴影部分的面积是多少？ 【例 36】图中是一个各条边分别为5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形将它的短直角边对折到斜边 上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分( 即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？ 【例 37】如图，长方形ABCD 的面积是2 平方厘米，2ECDE ，F是 DG 的中点阴影部分的面积是 多少平方厘米？ 【例 38】(2007 年六年级希望杯二试试题)如图， 三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大 伯常走这两条小路，他知道 DFDC ,且2ADDE则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是 _ E b a O D C B A O A BC D E A B C D E 49 35 13 G F E D CB A F E D CB A . . 【例 39】( 2008 年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试 ) 如图，45BC，21AC，ABC 被分 成 9个面积相等的小三角形，那么 DIFK 【例 40】 ( 2007 年人大附中分班考试题)已知 ABC 为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边 的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积( 丙是三角形HBC ) 【例 41】( 2009 年四中入学测试题) 如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分 成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 【例 42】( 2008 年仁华考题 ) 如图，正方形的边长为10，四边形 EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积 是 【例 43】( 2008 年走美六年级初赛) 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB， 15AD，四边形 EFGO 的面积为 K J I H G F E D C B A 丙 乙甲 H N M JIF E D CB A G FEDC B A H G A B C D E F . . 【例 44】( 清华附中分班考试题) 如图，如果长方形ABCD 的面积是56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的 面积是多少平方厘米？ 【例 45】( 2008 年日本第12 届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2 cm 【例 46】如图，三角形AEF的面积是 17，DE、BF的长度分别为11、 3求长方形ABCD 的面积 【例 47】( 2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABCD 中，67AB， 30BCE、F分别是 ABBC、边上的两点，49BEBF那么，三角形DEF面积的最小值 是 【例 48】(2007 首届全国资优生思维能力测试) ABCD 是边长为12 的正方形，如图所示，P是内部任意 一点，4BLDM、5BKDN，那么阴影部分的面积是 O G F E D CB A 6 5 2 3 N M Q P DC BA 3 3 6 5 2 3 N M Q P DC BA 1cm 4cm AB CD E F AB CD E F . . 【例 49】如图所示，在四边形ABCD 中，E，F， G ，H分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四 边形 PQRS 的面积之比 【例 50】如图，四边形ABCD 中，:3: 2:1DEEFFC，:3: 2:1BGGHAH，:1: 2ADBC，已知 四边形 ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积 【例 51】( 2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC ，在边AB、 BC 、 CA 的正中间分 别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q 、R，使 LPMQNR ，当PM和RL、 PM和 QN 、 QN 和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL 这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程 【例 52】如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的 2 3 ，其中F是 BC 边上任意一点，三角形AME、三 角形BMF、三角形 NFC 的面积分别为14、 20、12 求三角形 NDE 的面积 P N M L K DC BA (P)A B CD K L M N S R Q P H G F E D C B A H G F E D C BA A BC N MQ R P L X Y Z . . 【例 53】如图，已知ABCD 是梯形，AD BC ，:1: 2ADBC，:1: 3 AOFDOE SS， 2 24cm BEF S，求 AOF 的面积 【例 54】（2009 年迎春杯决赛高年级组）如图， ABCD 是一个四边形，M、N 分别是AB、CD 的中点 如 果ASM 、MTB与DSN 的面积分别是6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点如图( 或D在BA的延长线上，E在 AC 上) ， 则:(): () ABCADE SSABACADAE 图图 O F D E CB A MN T S D C B A E D C B A E D CB A . . 【例 55】如图在ABC中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16 ADE S 平方厘米，求ABC的面积 【例 56】如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在 AC 上，且:5: 2AB AD， :3: 2AEEC，12 ADES 平方厘米，求ABC的面积 【例 57】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为 AB 的中点，2AFCF ，三角形 AFE( 图中阴影部分) 的面积为8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【例 58】已知 DEF 的面积为 7平方厘米，,2,3BECE ADBD CFAF，求ABC 的面积 【例 59】如图，三角形ABC 的面积为3 平方厘米，其中:2:5AB BE，:3: 2BC CD，三角形BDE的 面积是多少？ 【例 60】( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 如图所示，正方形ABCD 边长为6 厘米， 1 3 AEAC ， 1 3 CFBC 三角形DEF的面积为 _平方厘米 E D C B A E D CB A E F D C BA F E D C B A A B E C D D C E B A . . 【例 61】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长 BC 至E，使2CEBC ； 延长 CA 至F，使3AFAC ，求三角形DEF的面积 【例 62】如图， 平行四边形ABCD ，BEAB，2CFCB ，3GDDC ，4HAAD，平行四边形ABCD 的面积是 2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比 【例 63】如图，四边形EFGH 的面积是66 平方米， EAAB， CBBF ， DCCG ，HDDA，求四 边形 ABCD 的面积 【例 64】如图，将四边形ABCD 的四条边AB、 CB 、 CD 、AD分别延长两倍至点E、F、 G 、H，若 四边形 ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 F E D C B A F E D C B A H G A B C D E F H G F E D C B A AB C D E F G H . . 【例 65】如图，在ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长 BC 至E，使 1 2 CEBC ，F是 AC 的 中点，若ABC的面积是2，则DEF的面积是多少？ 【例 66】如图，1 ABCS ，5BCBD ，4ACEC ， DGGSSE， AFFG 求 FGSSV 【例 67】如图所示，正方形ABCD 边长为 8厘米，E是AD的中点，F是 CE 的中点， G 是BF的中点， 三角形 ABG 的面积是多少平方厘米？ 【例 68】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积 A B C D E F S G F E D CB A A B C D E F G