排列组合知识点总结+典型例题及答案解析.pdf
。 -可编辑修改 - 排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析 一基本原理 1加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二 排 列 ：从n 个不 同 元素中 ， 任取 m（mn）个 元素 ，按 照一 定的顺 序 排 成一 .mn m n A有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1. 公式： 1. ! ! 121 mn n mnnnnA m n 2.规定： 0!1 (1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn(2) !(1)1!(1)!(1)!nnnnnnnnn； (3) 1 11111 (1)!(1)!(1)!(1)!(1)! nnn nnnnnn 三组合：从 n 个不同元素中任取m （m n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的 m 元素 中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： C A A n nnm m n m nm n mn m m m 11 ! ! ! 1 0 n C规定： 组合数性质：.2 nn nnn m n m n m n mn n m n CCCCCCCC2 10 1 1 ， ； 111 12111212211 rrrrrrrrrrrrrrr rrrnnrrrnnrrnnn CCCCCCCCCCCCCCC注： 若 12 mm 1212 m =mm +mn nn CC则或 。 -可编辑修改 - 四 处理排列组合应用题 1.明确要完成的是一件什么事 （审题）有序还是无序 分步还是分类。 2解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：直接法； 间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解 决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时， 常分成若干类， 再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。 在处理排列组合问题时， 常常既要分类， 又要分步。其原则是先分类， 后分步。 （4）两种途径：元素分析法；位置分析法。 3排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与 其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法. 即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两 。 -可编辑修改 - 端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全 排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排， 再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个 位置放定序的元素， 若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有 1 种排法；若不要求， 则有 2 种排法； （6）“小团体”排列问题采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与 其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2 整除的数的特征：末位数是奇数。能 被 3 整除的数的特征：各位数字之和是3 的倍数； 能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是9 的倍数能被4 整除的数的特征：末两位是4 的倍数。 能被 5 整除的数的特征：末位数是0 或 5。 能被 25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。能被 6 整除的数的特征：各位 数字之和是 3 的倍数的偶数。 4组合应用题：（ 1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2） “含”与 “不含” 用间接排除法或分类法 : 。 -可编辑修改 - 3分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后 排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题 例 1. 电视台连续播放 6 个广告， 其中含 4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告， 要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A2 2种；中间 4 个为不同的商业广告有 A4 4 种，从而 应当填 A2 2·A 4 448. 从而应填 48 例 3.6 人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 6554 6554 7202 12024504AAAA 解二：（ 1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. (1) 甲排在最右端时 , 有 5 5 A种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有 1 4 A 种排法，乙有 1 4 A种排法，其他人有 4 4 A种排法，共有 1 4 A 1 4 A 4 4 A种排法，分类相加得共有 5 5 A+ 1 4 A 1 4 A 4 4 A=504种排法 例.有 4 个男生， 3 个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生 。 -可编辑修改 - 从矮到高排列，有多少种排法？ 分析一：先在 7 个位置上任取 4 个位置排男生，有A 4 7种排法. 剩余的 3 个位置排女生，因要 求“从矮到高”，只有1 种排法，故共有 A 4 7·1=840种. 1. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取3 台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台， 则不同的取法共有 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机， 故不同的取法共有 333 945 70CCC种,选.C 解析 2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有 2112 5454 70C CC C台,选C. 2从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛 （1）如果 4 人中男生和女生各选2 人，有种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内，有种选法； （4）如果 4 人中必须既有男生又有女生，有种选法 分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题. 由于选出的人没有地位的差异， 所以是 组合问题 . 解： （1） 先从男生中选 2 人，有 2 5 C种选法，再从女生中选 2 人， 有 2 4 C种选法，所以共有 22 54 C C=60 （种）； （2）除去甲、乙之外，其余 2 人可以从剩下的 7 人中任意选择， 所以共有 22 27 C C=21 （种）； （3） 在 9 人选 4 人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉， 得到符合条件的选法数： 44 97 CC=91 。 -可编辑修改 - （种）； 直接法，则可分为3 类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数 131322332 171727777 C CC CC CCCC=91（种）. （4）在 9 人选 4 人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数 444 954CCC=120（种）. 直接法：分别按照含男生1、2、3 人分类，得到符合条件的选法为 132231 545454 C CC CC C=120 （种）. 16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为( ) A40 B50 C60 D70 解析 先分组再排列，一组2 人一组 4 人有 C 2 615 种不同的分法；两组各3 人共有 C 3 6 A 2 210 种不同的分法，所以乘车方法数为25×250，故选 B. 2有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A36 种B48 种 C 72 种D96 种 解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插 空，从而共 A 3 3A 2 472 种排法，故选 C. 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数， 规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相 邻出现，这样的四位数有 ( ) A6 个B9 个 C18 个D36 个 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选 。 -可编辑修改 - 四个数字共有 C 1 33(种) 选法，即 1231,1232,1233 ，而每种选择有A 2 2×C 2 36( 种)排法，所以 共有 3×618(种)情况，即这样的四位数有18 个 4男女学生共有8 人，从男生中选取2 人，从女生中选取1 人，共有 30 种不同的选法，其 中女生有 ( ) A2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C3 人 D4 人 解析 设男生有n人，则女生有 (8 n)人，由题意可得 C 2 nC 1 8n30，解得n5 或n6，代 入验证，可知女生为2 人或 3 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定 从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有 ( ) A45 种B36 种 C28 种D25 种 解析 因为 10÷8 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有2 步，那么共有 C 2 828 种走法 6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不 能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共 有( ) A24 种B36 种 C 38 种D108 种 解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将3 名电脑编程人员分成两组，一组1 人另一组 2 人，共有 C 1 3种分法，然后 再分到两部门去共有C 1 3A 2 2种方法，第三步只需将其他3 人分成两组，一组1 人另一组 2 人即 可，由于是每个部门各4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C 1 3种方法， 。 -可编辑修改 - 由分步乘法计数原理共有2C 1 3A 2 2C 1 336(种) 7已知集合A5 ，B1,2 ，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间 直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A33 B34 C35 D36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C 1 2·A 3 312 个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C 1 2·A 3 3A 3 318 个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C 1 33 个 故共有符合条件的点的个数为1218333 个，故选 A. 8由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( ) A72 B96 C108 D144 解析 分两类：若 1 与 3 相邻，有 A 2 2·C 1 3A 2 2A 2 372(个) ，若 1 与 3 不相邻有 A 3 3·A 3 336(个) 故共有 7236108个 9如果在一周内 ( 周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所 学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( ) A50 种B60 种 C 120 种D210种 解析 先安排甲学校的参观时间， 一周内两天连排的方法一共有6 种： (1,2) 、 (2,3) 、 (3,4) 、 (4,5) 、(5,6) 、(6,7) ，甲任选一种为 C 1 6，然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所 学校参观，安排方法有 A 2 5种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C 1 6· A 2 5120 种， 故选 C. 10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不 。 -可编辑修改 - 能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有_种(用数字作答 ) 解析 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A 2 520(种)排法，其余 5 人再进行排列， 有 A 5 5 120(种)排法，所以共有20×1202400(种)安排方法 11 今有 2 个红球、 3 个黄球、4 个白球， 同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 _ 种不同的排法 (用数字作答 ) 解析 由题意可知，因同色球不加以区分， 实际上是一个组合问题， 共有 C 4 9· C 2 5· C 3 31260(种) 排法 12将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各2 人，另两个组各1 人，分赴世博会的四个不同 场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答 ) 解析 先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 C 2 6C 2 4 A 2 2 种分法，再将 4 组人员分到 4 个 不同场馆去，共有A 4 4种分法，故所有分配方案有： C 2 6·C 2 4 A 2 2 ·A 4 41 080 种 13要在如图所示的花圃中的5 个区域中种入 4 种颜色不同的花， 要求相邻区域不同色， 有_种不同的种法 (用数字作答 ) 解析 5 有 4 种种法， 1 有 3 种种法， 4 有 2 种种法若 1、3 同色， 2 有 2 种种法，若 1、 3 不同色， 2 有 1 种种法，有 4×3×2×(1 ×21×1) 72 种 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种（B）18 种（C ）36 种（D ）54 种 。 -可编辑修改 - 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两 个有种方法，共有种，故选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员 工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案 共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2AAA种方法 甲乙排中间 , 丙排 7 号或不排 7 号，共有 )(4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA种方法 故共有 1008种不同的排法 排列组合二项式定理 1，分类计数原理完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以 独立的完成这个事情） 分步计数原理完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （ m n）个元素的所有排列的个数 m n A 公式 m n A = ! ()! n nm 规定 0！=1 。 -可编辑修改 - 3，组合 组合定义从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素 的一个组合 组合数从 n 个不同元素中，任取m （m n）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n mnm 性质 m n C = n m n C 1 1 mmm nnn CCC 排列组合题型总结 一直接法 1 . 特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析： （1）个位和千位有 5 个数字可供选择 2 5 A，其余 2 位有四个可供选择 2 4 A，由乘法原理： 2 5 A 2 4 A=240 2特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有 3 5 A=60，1 不在千位时，千位有 1 4 A种选法，个位有 1 4 A种，余下的有 2 4 A，共有 1 4 A 1 4 A 2 4 A=192所以总共有 192+60=252 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 4 3 5 4 62AAA=252 例：有五张卡片，它的正反面分别写0 与 1，2与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起 组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析： ：任取三张卡片可以组成不同的三位数 3 3 33 5 2AC个，其中 0 在百位的有 22 4 2C 2 2 A个，这是不合题 。 -可编辑修改 - 意的。故共可组成不同的三位数 3 3 33 5 2AC- 22 4 2C 2 2 A=432 例： 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 二插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中， 临时插入两个歌唱节目， 且保持原节目顺序， 有多少中插入方法？ 分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为10 个，故有 1 10 1 9 AA=100中插入方法。 三捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（ 3 3 2 4 AC） ,2 ，某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较 多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园30 天内不同的安排方法有（ 19 28 1 29 AC） （注意连续参 观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 1 29 C其余的就是 19 所学校选 28 天进行 排列） 四阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配 方案共种 。 分析：此例的实质是 12个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额， 可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有 7 11 C种 。 -可编辑修改 - 3,52,4 五 平均分推问题 例：6 本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？ （1）平均分成三堆， （2）平均分给甲乙丙三人 （3）一堆一本，一堆两本，一对三本 （4）甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案） （5）一人的一本，一人的两本，一人的三本 分析：1，分出三堆书（ a1,a2）,(a3,a4) ， （a5,a6）由顺序不同可以有 3 3 A=6 种，而这 6 种分法只算一种分堆 方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC =15种 2，六本不同的书，平均分成三堆有x 种，平均分给甲乙丙三人 就有 x 3 3 A 种 222 642 C C C 3， 123 653 C C C 5 ， 3 3 A 123 653 C C C 五合并单元格解决染色问题 Eg 如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜 色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。 分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5 下面分情况讨论 : ()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4 个元 素的全排列数 A 4 4 （）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形 ()类似同理可得 A 4 4 种着色法 （）当2、4与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 2,4 。 -可编辑修改 - 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有 AC 3 3 3 4 种方法 由加法原理知：不同着色方法共有2 ACA 3 3 3 4 4 4 =48+24=72 （种） 练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物， 不同的种植方法共种（以数字作答）（72） 2某城市中心广场建造一个花圃，花圃6 分为个部分（如图3） ，现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答） （120） 图 3 图 4 3如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反 复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540） 4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人， 有四种不同颜色的服装， 每个单位的观众必须穿同种颜色的服装， 且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法 是种（84） 1 2 3 4 5 5 4 61 32 E D C B A 4 3 2 1 D B C E A 。 -可编辑修改 - 图 5 图 6 5将一四棱锥 ( 图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则 不同的染色方法共种（420） 。 -可编辑修改 - 欢迎您的下载， 资料仅供参考！ 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等 打造全网一站式需求
