陕西渭南市合阳县合阳中学2014-2015学年高二上学期10月月考数学试题.pdf

陕西渭南市合阳县合阳中学2014-2015 学年高二 10 月月考数学 试题 第卷（选择题，共 50分） 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分） 1已知数列 an为等比数列， S n是它的前 n 项和，若 a2? a3=2a1，且 a4 与 2a 7的等差中项为 ，则 S 5=（ ） A35 B33 C31 D29 2在 ABC 中，若 b2+c 2bc=a2，则 A=（ ） A150°B120°C60°D30° 3已知 9，a1，a 2，1 四个实数成等差数列， 9，b1，b2，b3， 1 五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=（） A8B8 C±8D 4在ABC中， o 60A，4 3a，4 2b，则B等于 （） A. o 45B. o 135C. o 45或 o 135D. 以上答案都 不对 5ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等 比数列，且 c=2a，则 cosB=（） ABCD 6一艘轮船按照北偏西50°的方向，以 15浬每小时的速度航行， 一 个灯塔 M 原在轮船的北偏东10°方向上经过 40分钟，轮船与灯塔 的距离是浬，则灯塔和轮船原的距离为（） A2浬B3 浬C4 浬D5 浬 7有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购 进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购 粮 10000 千克，乙每次购粮食10000 元，在两次统计中，购粮的 平均价格较低的是（） A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 8在ABC 中，内角 A，B， C的对边分别是 a， b，c， 若 a 2b2= bc， sinC=2sinB，则 A=（） A30°B60°C120°D150° 9 在等比数列 n a中， 9101920 (0),aaa aaab， 则 99100 aa（） A 10 9 b a B 9 ( ) b a C 9 8 b a D 10 () b a 10在有穷数列 an中，Sn是an的前 n 项和，若把称 为数列 an的“优化和”，现有一个共 2009项的数列 an： a1， a2， a3， ， a2009，若其“优化和”为2010 ，则有 2010项的数列 1，a1，a2，a3， a2009的“优化和”为（） A2008 B2009 C2010 D2011 第卷（ 非选择题，共 100分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分） 11已知 a、b、c 分别是 ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边若 a=ccosB ，且 b=csinA，那么 ABC 的形状是 12 已知 n a的前项之和21 n n S， 则此数列的通项公式为 _ 13 若不等式 02 2 bxax的解集是 3 1 , 2 1 ， 则ba的值为 _。 14.已知数列 a n 满足条件 a1 = 2 , a n + 1 =2 + n n a1 a2 , 则 a 5 = 15五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为1第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； 若报出的是为3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第 30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 三、解答题（本大题共6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤） 16等差数列 an中，a4=10 且 a3，a6，a10成等比数列，求数列 an前 20项的和 S 20 17如图，在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°， 向山顶前进 100m后，又从点 B 测得斜度为 45°，假设建筑物高 50m，设山对于地平面的斜度，求cos 的值 18若 Sn是公差不为 0 的等差数列 n a的前 n 项和，且 124 ,S S S成等比 数列。 (1)求等比数列 124 ,S S S的公比； (2)若 2 4S，求 n a的通项公式； （3）设 1 3 nn n aa b， n T是数列 n b的前 n 项和，求使得 20 n m T对所 有nN都成立的最小正整数m。 19若不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成立，试确定实数 a的 取值范围 20已知ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC 1 2 cb. (1)求角A的大小； (2)若a1，求ABC的周长l的取值范围 21 已知二次函数 2 ( )f xaxbx满足条件 (0)(1)ff; ( )f x的最小值为 1 8 . ( ) 求函数( )fx的解析式 ; ( ) 设数列 n a的前n项积为 n T, 且 () 4 5 fn n T, 求数列 n a的通项公 式; ( ) 在(2)的条件下 , 若5 () n f a是 n b与 n a的等差中项 , 试问数列 n b中 第几项的值最小 ? 求出这个最小值 . 合阳中学 2013级（高二） 第一次月考数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题 1已知数列 an为等比数列， Sn是它的前 n 项和，若 a2?a3=2a1，且 a4与 2a7的等差中项为，则 S5=（） A35 B33 C31 D29 解：a2?a3=a1q?a1q 2=2a 1a4=2 a4+2a7=a4+2a4q 3=23 q= ，a1=16 故 S5=31故选 C 2在 ABC中，若 b 2+c2bc=a2，则 A= （ ） A150°B120°C60°D30° 解： b 2+c2bc=a2，bc=b2+c2a2 由余弦定理的推论得： = 又A为三角形内角 A=60 °故选 C 3已知 9，a1，a2，1 四个实数成等差数列， 9，b1，b2，b3， 1 五个实数成等比数列，则b2（a2a1）=（） A8B8 C±8D 解：由题得， 又因为 b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2= 3 b2（a2a1）=8故选 B 4在 ABC中， o 60A，4 3a，4 2b，则B等于 （） A. o 45B. o 135C. o 45或 o 135D. 以上答案都 不对 解选 A 5ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比 数列，且 c=2a，则 cosB=（） ABCD 解： ABC中，a、b、c 成等比数列，且 c=2a， 则 b=a，=，故选 B 6一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15 浬每小时的速度航行， 一个灯塔 M原在轮船的北偏东10°方向上经过 40 分钟，轮船与灯 塔的距离是浬，则灯塔和轮船原的距离为（） A2浬B3 浬C4 浬D5 浬 解：由题意，设灯塔和轮船原的距离 为 x 浬 如图，在 OAB 中，OA=10 浬， AB=浬， AOB=60 °，由余弦定理可得 （） 2=102+x223103x3cos60°， 即 x 210x+25=0，x=5 故选 D 7有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购 进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购 粮 10000 千克，乙每次购粮食10000 元，在两次统计中，购粮的 平均价格较低的是（） A.甲 B.乙 C.一样低 D.不确定 答案 B 8在ABC中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a 2b2= bc， sinC=2sinB，则 A=（） A30°B60°C120°D150° 解： sinC=2sinB，c=2b，a 2b2= bc， cosA=A 是三 角 形的 内角 A=30 °故选 A 9 在等比数列 n a中，9 101920 (0),aaa aaab， 则 99100 aa（） A 10 9 b a B 9 () b a C 9 8 b a D 10 () b a 解答 10 1920 910 aab q aaa ， 901099 99100 910 ()() aab qq aaa ， 9 9 991009108 () () bb aaaa aa 故选 C 10在有穷数列 an中，Sn是an 的前 n 项和，若把称 为数列 an的“优化和”，现有一个共2009 项的数列 an：a1，a2， a3，, ， a2009，若其“优化和”为2010，则有 2010 项的数列 1，a1， a2，a3，, ， a2009的“优化和”为（） A2008 B2009 C2010 D2011 解：S1+S2+S3+,+S2009=200932010 ， S1=a1， S2=a1+a2， ,S2009=a1+a2+a3+,a2009所求的优化和 =1+ （1+a1） +（1+a1+a2）+,+（ 1+a1+,+a2008）+（1+a1+,+a2009） ÷2010 =1+（ 1+S1）+（1+S2）+,+（ 1+S2008）+（1+S2009） ÷2010 =201031+ （S1+S2+,+S2009） ÷2010=2010+200932010÷2010 =1+2009=2010 故选 C 二、填空题 11 已知 a、 b、 c 分别是 ABC的三个内角 A、 B、 C所对的边若 a=ccosB， 且 b=csinA，那么 ABC的形状是 解：由余弦定理得： a=c? a 2+b2 =c 2，所以C=90 °， 在 RtABC中，sinA= ，所以 b=c? =a，所以 ABC是等腰直角 三角形； 12 已知 n a的前项之和21 n n S， 则此数列的通项公式为 _ 解 ： 当n=1时 ， 1 11 213aS当n 2时 ， 11 1 (21)(21)2 nnn nnn aSS 2 1-1 =1 3 ， 1 3(1 ) 2(2 ) n n n a n 13 若不等式02 2 bxax的解集是 3 1 , 2 1 ， 则ba的值为 _。 答案：14 14. 已知数列 a n 满足条件 a1 = 2 , a n + 1 =2 + n n a1 a2 , 则 a 5 = 答案： 10 7 15五位同学围成一圈依序循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为1第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； 若报出的是为3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第 30 个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 解：这个数列的变化规律是： 从第三个数开始递增， 且是前两项之和， 那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、 377、610、987, 分别除以3 得余数分别是 1、1、2、0、2、2、 1、0、1、1、2、0、2、2、1、0, 由此可见余数的变化规律是 按 1、1、2、0、2、2、1、0 循环，周期是8在这一个周期内 第四个数和第八个数都是3 的倍数，所以在三个周期内共有6 个 报出的数是三的倍数，后面6 个报出的数中余数是1、1、2、0、 2、2，只有一个是 3 的倍数，故 3 的倍数总共有 7 个，也就是说 拍手的总次数为7 次 三、解答题 16等差数列 an 中，a4=10 且 a3，a6，a10成等比数列，求数列 an 前 20 项的和 S20 解：设数列 an的公差为 d，则 a3=a4d=10d，a6=a4+2d=10+2d ， a10=a4+6d=10+6d 由 a3，a6，a10成等比数列得 a3a10=a6 2， 即（10d） （10+6d）=（10+2d） 2，整理得 10d 210d=0，解得 d=0 或 d=1 当 d=0时，S20=20a4=200当 d=1时，a1=a43d=10331=7， 于是=2037+190=330 17如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进 100m后，又从点 B测得斜度为 45°， 假设建筑物高 50m ， 设山对于地平面的斜度， 求 cos 的值 解： 在ABC中， AB=100m ， CAB=15 °，ACB=45 °15°=30°， 由正弦定理得：=， 解得：BC=200sin15°（ m ） ， 在DBC 中，CD=50m ，CBD=45 °，CDB=90 °+ ， sin15 °=sin （45°30°） =33=， 由正弦定理得：=， 解得： sin （90°+ ）=cos=1 18若 Sn是公差不为 0 的等差数列 n a的前 n 项和，且 124 ,S S S成等 比数列。 (1) 求等比数列 124 ,S S S的公比； (2) 若 2 4S， 求 n a的通项公式； （3）设 1 3 nn n aa b， n T是数列 n b的前 n 项和，求使得 20 n m T对所有 nN都成立的最小正整数m 。 解：数列 an 为等差数列， 112141 ,2,46Sa Sad Sad， S1，S2，S4成等比数列， S12 S4 =S2 2 2 111 (46 )(2)aadad， 2 1 2a dd公差 d 不等于 0， 1 2da （1） 21 11 4 4 Sa q Sa （2）S2=4， 1 24ad，又 1 2da， 1 1,2ad， 21 n an。 （3） 3311 () (21)(21)2 2121 n b nnnn 3111 (1)() 2335 n T, 11 () 2121nn 313 (1) 2212n 要使 20 n m T对所有 nN*恒成立， 3 202 m ，30m， m N*， m的最小值为 30。 19若不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成立，试确定实数 a的取值范围 解： 当2a时，原不等式变形为04，恒成立， 即 2a满足条件； 当2a时，要使不等式04)2(2)2( 2 xaxa对一切Rx恒成 立， 必须02a 0)2(44)2(4 2 aa 2a 22a，解得，22a综上所述， a的取值范围是 22a 20已知ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC 1 2 cb. (1) 求角A的大小； (2) 若a1，求ABC的周长l的取值范围 解： (1) 由acosC 1 2c b和正弦定理得， sinAcosC 1 2sin C sinB， 又sinB sin(AC) sinAcosC cosAsinC， 1 2 sinC cosAsinC， sinC0，cosA 1 2，0 A，A 3 . (2) 由正弦定理得，b asinB sinA 2 3sin B，c asinC sinA 2 3sin C， 则labc1 2 3(sin BsinC) 1 2 3sin Bsin(A B) 12( 3 2 sinB1 2cosB ) 12sin(B 6 ) A 3 ，B(0，2 3 ) ，B 6 ( 6 ，5 6 )，sin(B 6 ) ( 1 2 ，1 ， ABC的周长l的取值范围为 (2,3 21 已知二次函数 2 ( )f xaxbx满足条件 (0)(1)ff; ( )f x的最小值为 1 8 . () 求函数( )f x的解析式 ; () 设数列 n a的前n项积为 n T, 且 () 4 5 fn n T, 求数列 n a的通项 公式; () 在(2) 的条件下 , 若5 () n f a是 n b与 n a的等差中项 , 试问数列 n b 中第几项的值最小 ? 求出这个最小值 . 解 ()题知 2 0 0 1 48 ab a b a , 解得 1 2 1 2 a b , 故 211 ( ) 22 f xxx. () 2 2 12 4 5 nn nn Ta aa , 2 (1)(1) 2 1121 4 (2) 5 nn nn Ta aan, 1 1 4 (2) 5 n n n n T an T , 又 11 1aT满足上式 . 所以 1 4 () 5 n n anN. (3) 若5 () n f a是 n b与 n a的等差中项 , 则2 5 () nnn f aba, 从而 211 10() 22 nnnn aaba, 得 2239 565() 55 nnnn baaa. 因为 1 4 () 5 n n anN是n的减函数 , 所以 当 3 5 n a, 即3()nnN时, n b随n的增大而减小 , 此时最小值为 3 b; 当 3 5 n a, 即4()nnN时, n b随n的增大而增大 , 此时最小值为 4 b. 又 34 33 55 aa, 所以 34 bb, 即数列 n b中 3 b最小, 且 2 22 3 44224 56 55125 b.