人教A版选修1-1教案：3.2立体几何中的向量方法第4课时(含答案).pdf
人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A版选修 1-1 教案：3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 坐标法中解方程组求向量的有关问题 学校： 班级： 教师： 日期： 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识, 前面已经学习了直线的方 向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一 些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。 【教学目标】： （1）知识与技能： a 能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量； b 对某个向量能用解方程组的方法求其坐标. （2）过程与方法： 在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。 （3）情感态度与价值观： 体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。 【教学重点】： 解方程组求向量的的坐标. 【教学难点】： 解方程组求向量的的坐标 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引 入 1, 坐标法。 2, 单位向量，平面的法向量 （ 1）单位向量模为1 的向量。 （2）平面的法向量垂直于平面的向量 为探索新知识做准 备. 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 二、探究与 练习 一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” 学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得 出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的 点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之 间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题） 二、例题 例 1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1， 求证：平面 A1BC1 的法向量为直线DB1的方向向量 . D1 C1 D' B1 A1 C D A B 分析： （1）建立空间坐标系； （2）用坐标表示向量 （3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系 列方程组求x,y,z. （4）证明向量n/ （解略） 思考： 有更简单的方法吗？ 向量与BA1、 1 BC的数量积为零即可。 例 2， ABCD 是一个直角梯形，角ABC是直角， SA垂直于平面ABCD ， SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面 SCD与平面 SBA所成二面角的余弦。 D B C S A 分析： 求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。 所以本题关键是求平面的法向量。 让学生通过回顾寻 找将立体几何问题 转化为向量问题的 步骤。 例 1 在建立坐标系 后，比较简单，容 易把握。分析中的 方法是为配合本次 课 的 课 题 而 设 计 的。 由学生回答本例的 简便解法。 例 2 是一个典型的 通过解方程组求法 向量的问题，这类 问题可以不用作出 二面角的平面角就 求出结果。 11,BCBA 0, 0 11 BCnBAn 1 DB 1 DB 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 解： 以 A 为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别 为 A（0，0，0） 、C（ 1， 1，0） 、 D（0，0.5 、0） 、S（0，0，1） 。 设平面 分析：建立坐标系， 将向量坐标化， 然后进行坐标形式下的向量运算。 为简化运算， 可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一 条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。 取 y2，因为只要 向量的方向。 例 3 是数学与物理 的综合应用问题， 求合力转化为向量 的加法。 帮助学生理解如何 建立坐标系。 F1 F2 F3 A C O 500kg B 1 1 (0,0) 2 SBAnAD易知面的法向量 2 ( , , ),SCDnx y z的法向量 22 ,nCD nSD由得： 0 2 0 2 y x y z 2 2 y x y z 2 (1,2,1)n任取 12 12 12 6 cos, 3| n n n n nn 6 3 即所求二面角得余弦值是 ？时，才能提起这块钢板 少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运 这块钢板在这些，且是 角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三 力，在它的顶点处分别受质量为 角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例 .20060 ,500 3 321 321 kgFFF FFFkg ).0, 2 1 , 2 3 (),0,1 ,0(),0,0,0( , CBA Axyz yAByAB xAyABCA 坐标分别为 则正三角形的顶点建立空间直角坐标系 轴的单位长度为轴正方向，方向为平面， 坐标为为原点，平面解：如图，以点 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 探究： 不建立坐标系，如何解决这个问题？ 求每个力向上的分力。 单位向量的模为1。 开拓学生思维。 三、训练与 提高 1，课本 P113 第 11 题。 答案： 3/8. 学生进行提高训练 应用 . 四、小结 1 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通 过向量解决问题。 2 个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。 反思归纳 五、作业 课本 P112 ，第 6 题 和 P113第 10 题。 练习与测试： （基础题） ),0, 1 ,0(),( 2 1 60cos 60, ),( 1 1 zyx ACABF zyxF 的数量积运算，得 ，利用向量的夹角均为与由于 为方向上的单位向量坐标设力 ),0, 2 1 , 2 3 (),( 2 1 60coszyx . 2 1 , 12 1 yx解得 3 2 ,1 222 zzyx因此又因为 ) 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 1F所以 ) 3 2 ,0, 3 1 (200 ) 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 3 2 F F 类似地 )6,0 ,0(200 ) 3 2 ,0 , 3 1 () 3 2 , 2 1 , 12 1 () 3 2 , 2 1 , 12 1 (200 321 FFF它们的合力 所以钢板仍静止不动。 由于 作用点为大小为 的合力方向向上， 这说明，作用在钢板上 ,5006200 .,6200Okg 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 1，已知 S是ABC所在平面外一点，D是 SC的中点，若，则 xyz 答： 0 2，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，点A到BC的距离是（） AaB 6 2 a C 3 3 a D 15 4 a 答： D 3，若a=(2x,1,3),b=(1, 2y,9),如果a与b为共线向量，则 A.x=1,y=1 B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y= 解析：因为a=(2x,1,3) 与b=(1, 2y,9) 共线，故有=, x=,y=, 应选 C. 答案： C 4，若空间三点A(1，5， 2) 、B(2 ，4，1) 、C(p,3,q+2)共线，则p=_,q=_. 解析：A、B、C三点共线，则=, 即(1 ， 1，3)=(p1, 2,q+4)， =，代入得p=3,q=2. 答案： 3 2 （中等题） 5，棱长为a的正方体 OABC O1A1B1C1中，E、F 分别为棱 AB、BC 上的动点， 且 AE=BF=x（0xa）. 如图，以 O 为原点，直线OA、 OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 求证： A1FC1E； 当 BEF 的面积取得最大值时，求二面角B1EFB 的正切值 . 证明：（1）A1（a，0a） ，F（a-x，a，0） ，C1（0，a，a） ， E（a，x，0） 所以),(),( 11 aaxaECaaxFA，由此得ECFA 11 =0， A1FC1E （ 2）当 BEF 的面积取得最大值时，E、F 应分别为相应边的中点，可求得二面角B1EFB 的正切 值22. C B A O C1 B1 O1 A1 E F y x z 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 人教 A 版选修 1-1 教案： 3.2 立体几何中的向量方法第4 课时（含答案） 6，如图，在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C 1D1中，点 E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点 . 试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F； 解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系. 设DF=x，则A(0 ，0，0) ，B(1 ，0，0) ，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1), E(1,0),F(x,1,0). =(1 ， 1) ，=(1，0， 1) ， =(x,1,0). ·=11=0，即D1EAB1. 于是D1E平面AB1FD1EAF·=0x=0，即x=. 故当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.
