人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十七)2.3.2.2探究导学课型Word版含答案.pdf

人教 A版高中数学选修1-1 课时提升作业（十七） 2.3.2.2 探究导学课型 Word 版含答案 课时提升作业( 十七 ) 抛物线方程及性质的应用 (25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1. (2019·全国卷 ) 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C： y 2=8x 的焦点重合，点 A，B是 C的准线与E的两个交点，则= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【解析】 选 B.设椭圆 E的方程为+=1(ab0) ，右焦点为 (c ，0)，依题意得解 得 a=4，由 b 2=a2-c2=16-4=12，所以椭圆 E的方程为+=1，因为抛物线C：y 2=8x 的准线 为 x=-2 ，将 x=-2 代入到+=1，解得 A(-2 ，3) ， B(-2 ，-3) ，故=6. 2. 过抛物线y 2=4x 的焦点， 作一条直线与抛物线交于 A，B两点， 它们的横坐标之和等于5， 则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条B.有且仅有两条 C.有无穷多条D.不存在 【解析】选B.由定义 |AB|=5+2=7 ， 因为 |AB|min=4，所以这样的直线有两条. 【补偿训练】 过点 M(3， 2) 作直线l与抛物线y 2=8x 只有一个交点， 这样的直线共有 ( ) A.0 条B.1 条C.2 条D.3 条 【解析】选B.因为点 M(3，2) 在抛物线y 2=8x 的内部，所以过点 M平行 x 轴的直线 y=2 适合 题意，因此只有一条. 3. 已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C： y 2=8x 相交于 A， B两点， F为 C的焦点 . 若|FA|=2|FB| ， 则 k= ( ) A.B.C.D. 【解析】选D.设 A，B两点坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2) ， 由 消去 y 得， k 2x2+4x(k2-2)+4k2=0， 所以 x1+x2=，x1x2=4. 由抛物线定义得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2， 又因为 |AF|=2|BF|，所以 x1+2=2x2+4， 所以 x1=2x2+2 代入 x1x2=4，得+x2-2=0， 所以 x2=1 或-2( 舍去 ) ，所以 x1=4， 所以=5，所以 k 2= ， 因为 k0，所以 k=. 4.(2019 ·商丘高二检测) 已知抛物线x 2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB ，则 AB的中点到x 轴 的最短距离为( ) A.B.C.1 D.2 【解析】选D.由题意知，抛物线的准线l：y=-1 ，过 A作 AA1l于 A1，过 B作 BB1l于 B1， 设弦 AB的中点为M ，过 M作 MM1l于 M1，则|MM1|=.|AB| |AF|+|BF|(F为抛 物线的焦点 ) ，即 |AF|+|BF|6，|AA1|+|BB1| 6， 2|MM1| 6，|MM1| 3，故 M到 x 轴的距离d2. 【拓展延伸】 “两看两想”的应用 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关. “看到准线想焦点，看 到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 【补偿训练】已知点P是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点 P到点 (0，2) 的距离与点P到该 抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.B.3 C.D. 【解析】 选 A.抛物线 y 2=2x 的焦点为 F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点 F 的距离等于它到准线l的距离， 因此要求点P到点 (0 ，2) 的距离与点P到抛物线的准线的距 离之和的最小值， 可以转化为求点P到点 (0 ， 2) 的距离与点P到焦点 F 的距离之和的最小值， 不 难 得 出 相 应 的 最 小 值 就 等 于 焦 点F 到 点 (0 ， 2) 的 距 离 . 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于 =. 5.(2019 ·青岛高二检测) 在平面直角坐标系内，点P到点 A(1，0)，B(a，4) 及到直线x=-1 的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a= ( ) A.1 B.2 C.2 或-2 D.1 或-1 【解题指南】满足条件的点P恰好只有一个，可以从点P满足的方程有唯一解入手. 【解析】选D.依题意得，一方面，点P应位于以点A(1，0) 为焦点、直线x=-1 为准线的抛 物线 y 2=4x 上；另一方面，点 P应位于线段AB的中垂线 y-2=-(x-) 上. 由于要使这样的点P是唯一的， 因此要求方程组有唯一的实数解. 结合选项进行检验即可. 当 a=1 时，抛物线y 2=4x 与线段 AB的中垂线有唯一的公共点，适合 题意；当a=-1 时，线段AB的中垂线方程是y= x+2，易知方程组有唯一 实数解 . 综上所述， a=1 或 a=-1. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 15 分 ) 6. 已知点 F为抛物线y 2=-8x 的焦点， O为原点， 点 P是抛物线准线上一动点， A在抛物线上， 且|AF|=4 ，则 |PA|+|PO| 的最小值是 _. 【解析】由 |AF|=4 及抛物线定义得A到准线的距离为4. 所以 A点横坐标为 -2， 所以 A(-2 ，4) 或 A(-2 ，-4). 又原点关于准线的对称点的坐标为B(4，0) ， 所以 |PA|+|PO| 的最小值为 |AB|= =2. 答案： 2 7.(2019 ·延安高二检测) 过抛物线y 2=2px(p0) 的焦点 F且倾斜角为 60°的直线l与抛物线 分别交于A，B两点，则的值是 _. 【解析】设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，且 x1x2，易知直线AB的方程为 y=x-p，代入抛物 线方程y 2=2px，可得 3x 2-5px+ p 2=0，所以 x1+x2= p，x1x2=，可得x1= p，x2= ，可得 =3. 答案： 3 8.(2019 ·黄石高二检测) 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线l与抛物 线 C相交于 A，B两点 . 若 AB的中点为 (2 ， 2) ，则直线l的方程为 _. 【解析】容易求得抛物线方程为y 2 =4x. 设 A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则=4x1，=4x2，两式 相减得-=4(x2-x1). 整理得=，由于 kAB=，而 AB中点为 (2 ，2) ， 所以 y2+y1=4，于是 kAB= =1，因此直线方程为y-2=x-2 ，即 y=x. 答案： y=x 三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 9. 已知抛物线y 2=-x 与直线 y=k(x+1) 相交于 A,B 两点 . (1) 求证 :OAOB. (2) 当 OAB的面积等于时, 求 k 的值 . 【解析】 (1) 如图所示 , 由 消去 x 得,ky 2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x 2,y2), 由根与系数的关系得y1· y2=-1,y1+y2=-. 因为 A,B 在抛物线y 2=-x 上, 所以=-x1,=-x2, 所以·=x1x2. 因为 kOA·kOB=·=-1, 所以 OA OB. (2) 设直线与x 轴交于点N,显然 k0. 令 y=0, 得 x=-1, 即 N(-1,0). 因为=+ = |ON|y 1|+|ON|y2|=|ON|·|y1-y2|, 所以= ·1· =. 因为=, 所以=, 解得 k=±. 10.(2019 ·大连高二检测) 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1， 2)， A(x1，y1) ，B(x2， y2) 均在抛物线上 . (1) 写出该抛物线的方程及其准线方程. (2) 当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率 . 【解题指南】 (1) 利用点 P(1，2) 在抛物线上可求方程. (2) 倾斜角互补意味着斜率互为相反数，然后利用点差法求解. 【解析】 (1) 由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px(p0). 因为点 P(1，2) 在抛物线上，所以2 2=2p×1，解得 p=2. 故所求抛物线的方程是y 2=4x，准线方程是 x=-1. (2) 设直线 PA的斜率为kPA，直线 PB的斜率为kPB， 则 kPA=(x11) ，kPB=(x21) ， 因为 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA=-kPB. 由 A(x1，y1) ， B(x2，y2) 均在抛物线上，得 所以=-， 所以 =-， 所以 y1+2=-(y2+2). 所以 y1+y2=-4. 由 - 得，-=4(x1-x2) ， 所以 kAB=-1(x1x2). (20 分钟40 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 1.(2019 ·银川高二检测) 已知抛物线y 2=2px(p0) ，过点 E(m，0)(m0) 的直线交抛物线于 点 M ，N，交 y 轴于点 P，若=，=，则 += ( ) A.1 B.-C.-1 D.-2 【解析】选C. 由题意设过点E 的直线方程为y=k(x-m).代入抛物线方程，整理可得 k 2x2+(-2mk2-2p)x+m2k2=0. 设 M(x 1，y1) ，N(x2，y2) ， 则 x1+x2=， x1x2=m 2. 由可得 则 +=+= =-1. 【补偿训练】设双曲线-=1(a0 ，b0) 的渐近线与抛物线y=x 2+1 相切，则该双曲线的 离心率等于( ) A.B.2 C.D. 【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=±x. 因为渐近线与y=x 2+1 相切， 所以 x 2+ x+1=0 有两相等根， 所以 =-4=0 ，所以 b 2=4a2， 所以 e= =. 2.(2014 ·四川高考 ) 已知 F 为抛物线y 2=x 的焦点， 点 A，B在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， ·=2( 其中 O为坐标原点 ) ，则 ABO与 AFO面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.D. 【解析】选B.可设直线AB的方程为： x=ty+m，点 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，则直线AB与 x 轴 的交点 M(m ， 0) ， 由? y 2-ty-m=0 ， 所以 y 1y2=-m， 又·=2? x1x2+y1y2=2 ? (y 1y2) 2+y 1y2-2=0 ，因为点A，B在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y1y2=-2，故 m=2 ， 又 F，于是SABO+SAFO= × 2×|y1-y2|+××|y1|=|y 1+|+|y1|=|y1|+ 2=3，当且仅当|y1|=，即 |y1|=时取“ =” ， 所以 ABO与 AFO面积之和的最小值是3. 【补偿训练】 (2019 · 龙岩模拟 ) 已知 P是抛物线y 2=4x 上的一个动点， Q是圆 (x-3)2+(y-1)2=1 上的一个动点，N(1，0) 是一个定点，则|PQ|+|PN| 的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.+1 【解析】选A.N 恰好为抛物线的焦点，|PN| 等于 P到准线的距离，要想|PQ|+|PN| 最小，过 圆心 (3 ，1)作抛物线y 2=4x 的准线 x=-1 的垂线交抛物线于点 P，交圆于 Q，最小值等于圆心 (3， 1) 到准线 x=-1 的距离减去半径，即4-1=3. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 3.(2019 ·南通高二检测) 过抛物线y 2=2px(p0) 的焦点 F的直线 l与抛物线在第一象限的交 点为 A， 直线l与抛物线的准线的交点为B， 点 A在抛物线的准线上的射影为C， 若=， ·=36，则抛物线的方程为_. 【解题指南】利用向量的数量积构造关于常数p 的方程求解 . 【解析】由=知 F 为 AB的中点，设准线与x 轴的交点为D，则 |DF|=|AC|=p ，所以 |AC|=2p=|AF|=|FB|，|AB|=4p ，所以 ABC=30 °， |BC|=2p，·=|BA|BC| ·cos 30° =4p×2p×=36，解得 p=，所以 y 2=2 x. 答案： y 2=2 x 4. 已知抛物线y 2=2x, 点 A 的坐标为 ,P 为抛物线上的点, 当|PA| 最小时 ,P 的坐标为 _; 当 P到直线 x-y+3=0 的距离最短时, 最短距离是 _. 【解析】 (1) 设 P(x,y),则|PA| 2 =+y 2 =+2x=+ . 因为 x0且在此区间上函数单调递增, 故当 x=0 时,|PA| 有最小值, 离 A点最近的点P(0,0). (2) 设点 P(x0,y0) 是抛物线y 2=2x 上任一点 , 则 P到直线 x-y+3=0 的距离为 d= =, 所以当 y0=1,d 有最小值. 答案 :(0,0) 【误区警示】本题易忽略抛物线的范围而出错. 【补偿训练】设圆C位于抛物线y 2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域 ( 包含边界 ) 内，则圆C 的半径能取到的最大值为_. 【解析】依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位 于 x 轴上且与x=3 相切时才有可能，可设圆心坐标是(a ，0)(00) 的焦点为 F, 直线 y=4 与 y 轴的交点为 P, 与 C的交点为 Q,且|QF|=|PQ|. (1) 求 C的方程 . (2) 过 F的直线l与 C相交于 A,B 两点 , 若 AB的垂直平分线l与 C相交于 M,N两点 , 且 A,M,B,N 四点在同一圆上, 求l的方程 . 【解题指南】 (1) 设点 Q的坐标为 (x0,4),把点 Q的坐标代入抛物线C的方程 , 求得 x0= , 根据 |QF|=|PQ| 求得 p 的值 , 可得 C的方程 . (2) 设l的方程为x=my+1(m0), 代入抛物线方程化简, 利用根与系数的关系、中点公式、弦 长公式求得弦长|AB|, 把直线l的方程线代入抛物线方程化简, 利用根与系数的关系、弦长 公式求得 |MN|, 由于 MN 垂直平分线段AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|, 求得 m的值 , 可得直线l的方程 . 【解析】 (1) 设点 Q的坐标为 (x0,4),把点 Q的坐标代入抛物线C:y 2=2px(p0), 可得 x0= , 因为点 P(0,4),所以 |PQ|=. 又|QF|=x0+ = + ,|QF|=|PQ|, 所以+ = ×,求得 p=2, 或 p=-2( 舍去 ). 故 C的方程为 y 2=4x. (2) 由题意可得 , 直线l和坐标轴不垂直,设l的方程为x=my+1(m 0), 代入抛物线方程可得y 2-4my-4=0, 设 A(x 1,y1),B(x2,y2), 显然判别式 =16m 2+160,y 1+y2=4m,y1·y2=-4, 所以 AB的中点坐标为D(2m 2+1,2m), 弦长 |AB|= ·|y1-y2|=4(m 2+1). 又直线l的斜率为 -m, 所以直线l的方程为x=-y+2m 2+3. 把直线l的方程代入抛物线方程可得y 2+ y-4(2m 2+3)=0, 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 所以 y3+y4=,y3·y4=-4(2m 2+3). 故线段 MN 的中点 E的坐标为 (+2m 2 +3,), 所以 |MN|=|y3-y4| =, 因为 MN垂直平分线段AB,故 A,M,B,N 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|, 所以·|AB| 2+|DE|2= |MN|2, 所以 4(m 2+1)2+(2m+ ) 2+( +2) 2= ,化简可得m 2-1=0, 所以 m= ±1, 所以直线l的方程为x-y-1=0,或 x+y-1=0. 关闭 Word 文档返回原板块