人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(十九)3.1.3导数的几何意义探究导学课型Word版含答案.pdf

人教 A版高中数学选修1-1 课时提升作业（十九） 3.1.3 导数的几何意义探究导学课型 Word 版含答案 课时提升作业( 十九 ) 导数的几何意义 (25 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分) 1. 曲线 f(x)=3x+x 2 在点 (1,f(1)处的切线方程为( ) A.y=5x-1 B.y=-5x+1 C.y= x+1 D.y=-x-1 【解析】选A.k=5. f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即 y=5x-1. 2. 曲线 y=x 3-3x 在点 (2,2) 的切线斜率是 ( ) A.9 B.6 C.-3 D.-1 【解析】选A. y=(2+ x) 3-3(2+ x)-23+6=9x+6( x)2+( x)3, =9+6x+( x) 2, =(9+6 x+( x) 2)=9, 由导数的几何意义可知, 曲线 y=x 3-3x 在点 (2,2) 处的切线斜率是9. 3. 下面说法正确的是( ) A.若 f (x0) 不存在 , 则曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x 0) 处没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0) 处有切线 ,则 f (x0) 必存在 C.若 f (x0) 不存在 , 则曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x 0) 处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x 0) 处没有切线 , 则 f (x0) 有可能存在 【解析】 选 C.f (x0) 的几何意义是曲线y=f(x)在点 (x0,f(x0) 处切线的斜率 , 当切线垂直于 x 轴时 , 切线的斜率不存在, 但存在切线 . 【补偿训练】曲线y= x 3-2 在点 处切线的倾斜角为( ) A.30 °B.45°C.135°D.60° 【解析】选B. y= (-1+ x) 3-2- ×(-1) 3+2=x-( x)2+ ( x)3, =1- x+ ( x) 2, =1, 所以曲线y= x 3-2 在点 处切线的斜率是1, 倾斜角为45°. 4.(2019 ·武汉高二检测) 已知曲线y= 在点 P(1,4) 处的切线与直线l平行且距离为, 则直线l的方程为( ) A.4x-y+9=0 B.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 D.以上均不对 【解析】选C.y =-4, 所以 k=-4, 所以切线方程为y-4=-4(x-1),即 4x+y-8=0, 设l:4x+y+c=0(c -8), 由题意=, 所以 c=9 或-25. 5.(2019 ·丽水高二检测) 已知曲线y= x 2-2 上一点 P , 则在点 P 处的切线的倾斜角 为( ) A.30 °B.45°C.135°D.150° 【解析】选B.在点 P处的切线的斜率k=f (1) = =1. 设切线的倾斜角为, 则 tan =1, 又 0° 180°,所以 =45° . 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 15 分) 6. 若抛物线y=x 2 与直线 2x+y+m=0相切 , 则 m=_. 【解析】设切点为P(x0,y0), 易知 ,y =2x. 由得即 P(-1,1). 又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0上, 故 2×(-1)+1+m=0, 即 m=1. 答案 :1 7. 曲线 y=x 2-3x 的一条切线的斜率为 1, 则切点坐标为 _. 【解析】设f(x)=y=x 2-3x, 切点坐标为 (x 0,y0), f (x0)=2x0-3=1, 故 x0=2,y0=-3x0=4-6=-2, 故切点坐标为 (2,-2). 答案 :(2,-2) 8.(2019 ·惠州高二检测) 如图 , 函数 y=f(x)的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8, 则 f(5)+f(5)=_. 【解析】因为点P在切线上 , 所以 f(5)=-5+8=3, 又因为 f (5)=k=-1, 所以 f(5)+f(5)=3-1=2. 答案 :2 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 9. 在曲线 E:y=x 2 上求出满足下列条件的点P的坐标 . (1) 在点 P处与曲线E相切的直线平行于直线y=4x-5. (2) 在点 P处与曲线E相切的直线与x 轴成 135°的倾斜角 . 【解析】 f (x)= =2x, 设 P(x0,y0) 为所求的点 . (1) 因为切线与直线y=4x-5 平行 , 所以 2x0=4,x0=2,y0=4, 即 P(2,4). (2) 因为切线与x 轴成 135°的倾斜角 ,所以其斜率为-1, 即 2x0=-1, 得 x0=-, 即 y0= , 即 P. 10.(2019 ·天水高二检测) 已知曲线 C:y=经过点 P(2,-1),求 (1) 曲线在点P处的切线的斜率. (2) 曲线在点P处的切线的方程. (3) 过点 O(0,0) 的曲线 C的切线方程 . 【解析】 (1) 将 P(2,-1)代入 y=中得 t=1, 所以 y=. 所以=, 所以=, 所以曲线在点P(2,-1)处切线的斜率为k=1. (2) 曲线在点P处的切线方程为y+1=x-2, 即 x-y-3=0. (3) 因为点 O(0,0) 不在曲线C上, 设过点 O的曲线 C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0), 则切 线斜率 k=, 由于 y0=, 所以 x0= , 所以切点M, 切线斜率k=4, 切线方程为y-2=4, 即 y=4x. 【补偿训练】试求过点P(1,-3)且与曲线y=x 2 相切的直线的斜率. 【解析】设切点坐标为(x0,y0), 则有 y0=. 因为 y =了=2x. 所以 k=2x0. 所以切线方程为y-=2x0(x-x 0), 将点 (1,-3)代入 , 得:-3-=2x0-2, 所以-2x0-3=0, 所以 x0=-1 或 x0=3. 当 x0=-1 时,k=-2;当 x0=3时,k=6. 所以所求直线的斜率为-2 或 6. (20 分钟40 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 1. 设 f(x) 为可导函数且满足=-1, 则过曲线y=f(x)上点 (1,f(1)处的切 线斜率为 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 【解析】选B. = =f (1)=-1. 【补偿训练】 (2019 · 聊城高二检测 ) 设函数 f(x) 满足=-1, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)处的切线的斜率是( ) A.2 B.-1 C.D.-2 【解析】选 B.因为=f (1)=k=-1,所以 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的 斜率是 -1. 2.(2019 ·贵阳高二检测) 已知函数y=f(x)的图象如图,f (xA) 与 f (xB) 的大小关系是 ( ) A.0f (xA)f (xB) B.f (xA)f (xB)0 【解析】选B.f (xA) 和 f (xB) 分别表示函数图象在点A,B 处的切 线斜率 , 故 f (xA)f (xB) B.f (xA)=f (xB) C.f (xA)kB, 根据导数的几何意义 有:f (xA) f (xB). 二、填空题 ( 每小题 5 分, 共 10 分) 3. 函数 y=f(x)=在 x=1 处的切线方程为_. 【解析】 f(1)=1,f (1)=-1, 则切线方程为y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. 答案 :x+y-2=0 4.(2019 ·南京高二检测) 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的导数为 f (x), f (0)0, 对于任意实数x, 有 f(x)0, 则的最小值为 _. 【解题指南】由导数的定义, 先求出 f (0) 的值 , 从而求出的表达式 , 再利用“对于任意 实数 x, 有 f(x)0”这一条件 , 借助不等式的知识即可求解. 【解析】由导数的定义, 得 f (0)= =b. 又因为对于任意实数x, 有 f(x) 0, 则所以 ac, 所以 c0. 所以=2. 答案 :2 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 ) 5. 直线l:y=x+a(a 0) 和曲线 C:y=x 3-x2+1 相切 . (1) 求切点的坐标. (2) 求 a 的值 . 【解析】 (1) 设直线l与曲线 C相切于点P(x0,y0) 点,则 f (x)= = =3x 2-2x. 由题意知 ,k=1, 即 3-2x0=1, 解得 x0=-或 x0=1. 于是切点的坐标为或(1,1). (2) 当切点为时,=-+a,a=; 当切点为 (1,1) 时,1=1+a,a=0( 舍去 ). 所以 a 的值为. 【补偿训练】设函数f(x)=x 3+ax2-9x-1(a0). 若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行 , 求 a 的值 . 【解析】因为 y=f(x0+x)-f(x0) =(x0+x) 3+a(x 0+x) 2-9(x 0+ x)-1-(+a-9x0-1) =(3+2ax0-9) x+(3x0+a)( x) 2+( x)3, 所以=3+2ax0-9+(3x0+a) x+( x) 2. 当 x 无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9, 即 f(x0)=3+2ax0-9, 所以 f (x0)=3-9-. 当 x0=- 时,f (x0) 取最小值 -9-. 因为斜率最小的切线与12x+y=6 平行 , 所以该切线斜率为 -12, 所以 -9-=-12. 解得 a=±3. 又 a0, 所以 a=-3. 6.(2019 ·厦门高二检测) 试求过点M(1,1) 且与曲线y=x 3+1 相切的直线方程 . 【解析】= =3xx+3x 2+ x2. =3x 2, 因此 y=3x2, 设过 (1,1) 点的切线与 y=x 3+1 相切于点 P(x 0,+1), 据导数的几 何意义 , 函数在点P处的切线的斜率为k=3, 过(1,1)点的切线的斜率k=, 所以 3=, 解得 x0=0 或 x0= , 所以 k=0 或 k=, 因此 y=x 3+1 过点 M(1,1) 的切线方程有 两个 , 分别为 y-1=(x-1)和 y=1, 即 27x-4y-23=0或 y=1. 【误区警示】 本题易错将点 (1,1)当成了曲线y=x 3+1 上的点 . 因此在求过某点的切线时 , 一定 要先判断点是否在曲线上, 再据不同情况求解. 【补偿训练】若抛物线y=4x 2 上的点 P到直线 y=4x-5 的距离最短 , 求点 P的坐标 . 【解题指南】 抛物线上到直线y=4x-5 的距离最短的点, 是平移该直线与抛物线相切时的切点. 解答本题可先求导函数, 再求 P点的坐标 . 【解析】由点P到直线 y=4x-5 的距离最短知, 过点 P的切线方程与直线y=4x-5 平行 . 设 P(x0,y0), 则 y = =(8x+4 x)=8x, 由得 故所求的P点坐标为. 【拓展延伸】求最值问题的两种方法 (1) 目标函数法 : 通过设变量构造目标函数, 利用函数求最值. (2) 数形结合法 : 根据问题的几何意义, 利用图形的特殊位置求最值. 关闭 Word 文档返回原板块