人教版高中数学必修二检测：第一章空间几何体课后提升作业六1.3.2Word版含解析.pdf

温馨提示： 此套 题为 Word 版， 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴 ，调节 合 适的 观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板 块。 课后提升作业六 球的体积和表面积 (30 分钟60 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 40 分) 1.(2019 ·北京高考题 ) 将棱长为2 的正方体削成一个体积最大的球， 则这个球的体积为( ) A.B.C. D.4 【解析】 选 B.根据题意知，此球 为正方体的内切球，所以球的直径等 于正方体的棱 长，故 r=1，所以 V= r 3= . 2.(2019 ·杭州高二检测 )把球的表面积扩大到原来的2 倍，那么体积 扩大到原来的( ) A.2 倍B.2倍C.倍D. 倍 【解析】 选 B.设原球的半径为R，表面积扩大2 倍，则半径扩大 倍，体积扩大 2倍. 3. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3 倍，则圆锥的侧面 积和球的表面积之比为( ) A.43 B.31 C.32 D.94 【解析】 选 C.作圆锥 的轴截面，如 图，设球半径 为 R，则圆锥 的高 h=3R ，圆锥底面半径 r=R， 则 l=2R， 所以= . 【延伸探究】 本题条件不变，求圆锥的体积与表面积之比. 【解析】 设球的半径 为 R，则圆锥 的高为 h=3R ， 圆锥底面半径 r=R， 所以= . 4.(2019 ·北京高考题 ) 已知某球的大圆周长为c，则这个球的表面积是 ( ) A.B.C.D.2c 2 【解析】 选 C.设球的半径 为 r ，则 2r=c ，所以 r=，所以球的表 面积为 S=4r 2=4· =. 5.(2019 ·全国卷 ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组 成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几 何体的表面积为16+20，则 r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】 选 B.由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个 圆柱的组 合体， 圆柱的底面半径与球的半径都为 r ，圆柱的高 为 2r ，其表面 积 为 ×4r 2+r×2r+r2+2r×2r=5r2+4r2=16+20 ，解得 r=2. 6.(2019 ·北京高考题 ) 把半径分别为6cm ，8cm ，10cm的三个铁球熔成 一个大铁球，这个大铁球的半径为( ) A.3cm B.6cm C.8cm D.12cm 【解析】 选 D.由 R 3= · 63+ · 83+ · 103， 得 R 3=1728，检验知 R=12. 7.(2019 ·上饶高二检测 ) 空间几何体的外接球，理解为能将几何体包 围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个 几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( ) A.B.C. D. 【解析】 选 A.该几何体是一个 圆柱和一个正方体的 组合体，作出 该几 何体与其外接球的 轴截面如 图所示： 则 R 2=x2+1=(2-x)2+ ， 解得： x= ，R 2=x2+1= ， 故该几何体的外接球的表面 积 S=4R 2= . 8.(2019 ·湖南高考 ) 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该 石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解 题提示】 先由三 视图画出直 观图 ，判断 这个几何体是底面是边长 为 6，8，10 的直角三角形，高 为 12 的水平放置的直三棱柱，底面的 内切圆的半径就是得到的最大球的半径. 【解析】 选 B.由三视图画出直 观图如图，判断 这个几何体是底面 边长 为 6，8，10 的直角三角形，高 为 12 的水平放置的直三棱柱，直角三 角形的内切 圆的半径为 r=2，这就是得到的最大球的半 径. 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分) 9.(2019 ·广州高一检测 )已知高与底面直径之比为21 的圆柱内接于 球，且圆柱的体积为500，则球的体积为 _. 【解析】 设圆 柱的底面半径 为 r ，则高为 4r ，由 题意知 r 2· 4r=500 ，则 r=5，设球的半径 为 R，则 R 2=r2+4r2=125，所以 R=5 ，故 V球= ×(5) 3= 答案： 10.(2019 ·北京高考题 )已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为，则 该三棱锥的外接球的表面积为_. 【解析】 如图，构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥 A-BCD的所有棱 长 都为，所以正方体ANDM-FBEC 的棱长为 1. 所以该正方体的外接 球的半径 为. 易知三棱 锥 A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC 的外接球，所以三 棱锥 A-BCD的外接球的半径 为.所以三棱 锥 A-BCD的外接球的表面 积为 S球=4=3. 答案： 3 三、解答题 11.(10 分)某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端 均为半球形，若图中r=1，l=3，试求该组合体的表面积和体积. 【解析】 两半球的表面 积为 S1=4r 2 =4， 圆柱的侧面积为 S2=2r l=2×1×3=6， 故该组合体表面 积为 4+6=10， 两半球的体 积为 V1= r 3= ， 圆柱的体 积为 V2=r 2· l=×12×3=3， 故该几何体的体 积为 V1+V2= +3=. 【补偿训练】 1. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个 球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点， 若正方体的棱长为a，求这三个球的表面积 . 【解析】 (1) 正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面( 正 方形)的中心， 经过四个切点及球心作截面，如图(1) ，所以有2r1=a， r1= ， 所以 S1=4=a 2. (2) 球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的 对角面 得截面，如 图(2) ，所以有 2r 2= a，r2=a，所以 S 2=4 =2 a 2. (3) 正方体的各个 顶点在球面上， 过球心作正方体的 对角面得截面，如 图(3) ，所以有 2r3=a，r 3= a， 所以 S3=4=3a 2. 2. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一 个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取 出，求这时容器中水的深度. 【解析】 由题意知， 圆锥的轴截面 为正三角形，如 图所示为圆锥 的轴 截面. 根据切 线性质知，当球在容器内 时，水深 为 3r，水面的半径 为 r，则容器内水的体 积为 V=V圆锥-V 球= · ( r) 2· 3r- r 3= r3， 而将球取出后， 设容器内水的深度 为 h，则水面圆的半径为h， 从而容器内水的体 积是 V= ·· h= h 3，由 V=V ， 得 h=r ，即容器中水的深度 为r. 关闭 Word 文档返回原板 块