全国1卷高考数学试卷ⅰ(文).pdf

高考数学全国卷 （文） 一、选择题（共12 小题，每小题 5分，满分 60 分） 1 （5 分）设直线l 过点（ 2，0） ，且与圆 x2+y2=1 相切，则 l 的斜率是（） A± 1 B CD 2 （5 分）设 I 为全集，S1、S2、S3是 I 的三个非空子集，且 S1 S2S3=I，则下面论断正确的是（） A?IS1 （S2 S3）=? B S1? （?IS2 ?IS3） C?IS1 ?IS2 ?IS3=? DS1? （?IS2?IS3） 3 （5 分）用与球心距离为1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（） A BCD 4 （5 分）函数 f（x）=x 3+ax2+3x9， 已知 f（x）在 x=3 时取得极值，则 a=（） A2B3C4D5 5 （5 分）如图，在多面体ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为1 的正方形，且 ADE 、BCF 均为正三角 形，EFAB ，EF=2，则该多面体的体积为（） A BCD 6 （5 分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（） A BCD 7 （5 分）当 0x时，函数的最小值为（） A2BC4D 8 （5 分）反函数是（） ABCD 9 （5 分）设 0a1，函数 f（x）=loga（a2x 2ax2） ， 则使 f（x） 0 的 x 的取值范围是（） A（ ，0）B（0，+）C（，loga3） D（loga3，+） 10 （5 分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（） AB CD3 11 （5 分）在 ABC 中，已知 tan=sinC，给出以下四个论断： tanA?cotB=1， 1 sinA+sinB ， sin 2A+cos2B=1， cos 2A+cos2B=sin2 C， 其中正确的是（） A B C D 12（5 分）点 O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足，则点 O 是ABC 的 （） A三 个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的交点 C三 条中线的交点D三条高的交点 二、填空题（共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13 （4 分）若正整数m 满足 10 m1251210m， 则 m=_ （lg2 0.3010） 14 （4 分） （x） 4 的展开式中的常数项为_ 15（4 分） 从 6 名男生和4 名女生中，选出 3 名代表，要求至少包含1 名女生，则不同的选法共有_ 种 16 （4 分）在正方体ABCD A B C D 中，过对角线BD 的一个平面交AA 于 E，交 CC 于 F，则： 四边形 BFD E 一定是平行四边形； 四边形 BFD E 有可能是正方形； 四边形 BFD E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形； 平面 BFD E 有可能垂直于平面BBD 以上结论正确的为_ （写出所有正确结论的编号） 三、解答题（共6 小题，满分 74 分） 17 （12 分）设函数f（x）=sin（2x+ ） （ 0） ，y=f（x）图象的一条对称轴是直线 （）求 ，并指出 y=f （x）由 y=sin2x 作怎样变换所得 （）求函数y=f（x）的单调增区间； （）画出函数y=f（x）在区间 0， 上的图象 18 （12 分）已知四棱锥PABCD 的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90 ° ，PA底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=1 ，AB=2 ，M 是 PB 的中点 （）证明：面PAD面 PCD； （）求 AC 与 PB 所成的角； （）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 19 （12 分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式 f（x） 2x 的解集为（ 1，3） （）若方程f（x）+6a=0 有两个相等的根，求 f（x）的解析式； （）若 f（x）的最大值为正数，求 a 的取值范围 20 （12 分） 9 粒种子分种在甲、乙、丙3 个坑内，每坑 3 粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少 有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种 （）求甲坑不需要补种的概率； （）求有坑需要补种的概率（精确到0.001） 21 （12 分）设正项等比数列an的首项，前 n 项和为 Sn，且 210S30（ 210+1）S20+S10=0 （）求 an 的通项； （）求 nSn的前 n 项和 Tn 22 （14 分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、 B 两点，与=（3， 1）共线 （）求椭圆的离心率； （）设 M 为椭圆上任意一点，且，证明 2+2 为定值 高考数学全国卷 （文） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12 小题，每小题 5分，满分 60 分） 1 （5 分） 考点 ： 直线与圆的位置关系；直线的斜率 专题 ： 计算题；压轴题 分析：首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解 出斜率即可 解答：解： 直线 l 过点（ 2，0） ，且与圆 x2+y 2=1 相切 由圆得：圆心为（0，0） ，半径为 1 构成的三角形的三边为：， 解得直线与x 轴夹角为30° 的角 x 的倾斜角为30° 或 150° k= 故选 C 点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l 的斜率，属于基础题 2 （5 分） 考点 ： 交、并、补集的混合运算 分析：根据公式CU（A B）=（CUA） （CUB） ， CU（AB）=（CUA） （CUB） ，容易判断 解答：解： S1S2S3=I， CIS1CIS2 CIS3）=CI（ S1S2S3）=CII=? 故答案选C 点评：本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式 CU（ A B）= （CUA） （ CUB） ， CU（ A B）=（CUA） （CUB）是一个重要公式，应熟记 3 （5 分） 考点 ： 球的体积和表面积 专题 ： 计算题 分析：做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可 解答：解：截面面积为 ? 截面圆半径为1，又与球心距离为1? 球的半径是， 所以根据球的体积公式知， 故选 B 点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题 4 （5 分） 考点 ： 利用导数研究函数的极值 专题 ： 计算题 分析：因为 f（ x）在 x=3 是取极值，则求出 f （x）得到 f（ 3）=0 解出求出a即可 解答：解： f（ x）=3x2+2ax+3， 又 f（x）在 x=3 时取得极值 f （ 3）=306a=0 则 a=5 故选 D 点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力 5 （5 分） 考点 ： 组合几何体的面积、体积问题 专题 ： 计算题 分析：该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积 解答： 解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：， 其体积为：； 割去的四棱锥体积为：， 所以，几何体的体积为：， 故选 A 点评：本题考查学生的空间想象能力，几何体的添补，是基础题 6 （5 分） 考点 ： 双曲线的简单性质 专题 ： 计算题 分析： 由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离 心率 解答： 解：由题意可知，解得 a2=3， 或（舍去） ， ， 故选 D 点评：本题考查双曲线的离心率，解题时注意审题 7 （5 分） 考点 ： 三角函数的最值 专题 ： 计算题 分析：利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx 的函数解析式，进而利用x 的范围确定tanx 0，最后利用均值不等式求得函数的最小值 解答： 解：= 0x， tanx 0 当时，f（x）min=4 故选 C 点评：本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值考查了学生知识的迁移能力，综合运用基 础知识的能力 8 （5 分） 考点 ： 反函数 专题 ： 常规题型 分析： 从条件中函数式中反解出x，再将 x，y 互换即得到反函数 解答： 解：在定义域为x|1 x 2，原函数的值域为 y|0 y 1 ， ， y 2=2x x2， 解得 x=1±， 1 x 2， x=1+， y=1+（0 x 1） ， 故选 B 点评：本题主要考查反函数的知识点，首先由已知解析式y=f （x）反求出x= （y） ，然后交换x、y 的位置， 最后求出原函数的值域，也就是反函数的定义域 9 （5 分） 考点 ： 对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性 专题 ： 计算题 分析：结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当 0a1，loga（a2x2ax2）0 时，有 a2x2ax 21， 解可得答案 解答：解：设 0a1，函数 f（x）=loga（a2x2a x2） ， 若 f（x） 0 则 loga（a2x2ax2） 0，a2x2ax21 （a x3） （ax+1） 0ax30， xloga3， 故选 C 点评：解题中要注意0a1 时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误 10 （5 分） 考点 ： 二元一次不等式（组）与平面区域 专题 ： 计算题；数形结合 分析： 先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域， 再利用三角形的面积公式计算即可 解答： 解：原不等式组可化为： 或 画出它们表示的可行域，如图所示 可解得 A（，） ，C（ 1，2） ，B（0，1） 原不等式组表示的平面区域是一个三角形， 其面积 SABC=× （ 2× 1+2× ）=， 故选 C 点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 借 助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想 11 （5 分） 考点 ： 三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得 A+B=90 ° 进而求 得 tanA?cotB=tanA ?tanA 等式不一定成立，排除； 利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求 得其范围符合， 正确； sin2A+cos 2B=2sin2A 不一定等于 1，排除 ； 利用同角三角函数的基本关系可知 cos2A+cos 2B=cos2A+sin2A=1， 进而根据C=90° 可知 sinC=1，进而可知二者相等 正确 解答： 解： tan=sinC =2sincos 整理求得cos（A+B ）=0 A+B=90 ° tanA?cotB=tanA ?tanA 不一定等于1， 不正确 sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45 ° ） 45° A+45 ° 135° ， sin（A+45° ） 1， 1sinA+sinB ， 所以 正确 cos2A+cos 2B=cos2A+sin2A=1， sin 2C=sin290° =1， 所以 cos2A+cos 2B=sin2C 所以 正确 sin 2A+cos2B=sin2A+sin2 A=2sin 2A=1 不一定成立， 故 不正确 综上知 正确 故选 B 点评：本题主要考查了三角函数的化简求值考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力 12 （5 分） 考点 ： 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用 专题 ： 计算题；压轴题 分析： 由得到，从而所以 OBAC，同理得到OA BC，所 以点 O 是ABC 的三条高的交点 解答： 解； ； ； OBAC ， 同理由得到 OA BC 点 O 是ABC 的三条高的交点 故选 D 点评：本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求 二、填空题（共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13 （4 分） 考点 ： 指数函数的单调性与特殊点；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异 专题 ： 计算题 分析：利用题中提示lg2 0.3010，把不等式同时取以10 为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于 m 的不等式求解即可 解答：解： 10m 1251210m， 取以 10 为底的对数得lg10 m1lg2512lg10m， 即 m1 512× lg2m 又 lg2 0.3010 m 1154.112m， 因为 m 是正整数，所以m=155 故答案为155 点评：本题考查了利用指数形式和对数形式的互化熟练掌握对数的性质对数的运算性质是解决本题的关键 14 （4 分） 考点 ： 二项式定理 专题 ： 计算题 分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项 解答： 解：的通项为=（ 1） rC4rx42r 令 4 2r=0 得 r=2 展开式的常数项为T3=C42=6 故答案为6 点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 15 （4 分） 考点 ： 排列、组合的实际应用 专题 ： 计算题；压轴题 分析：根据题意，选用间接法，首先计算从6 名男生和 4 名女生共 10 人中，任取 3 名代表的选法数目，再 计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案 解答：解：根据题意，从 6 名男生和4 名女生共 10 人中，任取 3 人作代表，有 C103=120 种， 其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20 种， 故至少包含1 名女生的同的选法共有12020=100 种； 故答案为100 点评：本题考查组合的运用，对于 “ 至少或至多有一个” 一类的问题，一般用间接法 16 （4 分） 考点 ： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 专题 ： 压轴题 分析：由平行平面的性质可得 是正确的，当 E、F 为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故 正确， 错误 解答：解： ：平面 AB 平面 DC，平面 BFD E 平面 AB =EB，平面 BFD E 平面 DC=D F，EBDF， 同理可证： DEFB，故四边形BFD E 一定是平行四边形，即 正确； ：当 E、F 为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故 错误； ：四边形BFD E 在底面 ABCD 内的投影为四边形ABCD ，所以一定是正方形，即 正确； ：当 E、F 为棱中点时，EF平面 BBD，又 EF? 平面 BFD E，此时：平面 BFD E平面 BB D， 即 正确 故答案为： 点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面 之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力 三、解答题（共6 小题，满分 74 分） 17 （12 分） 考点 ： 由 y=Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；五点法作函数y=Asin （ x+ ）的图象； 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换 专题 ： 计算题；作图题；数形结合 分析： （ I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的 ?，根据平移法则 判断平移量及平移方向 （ II）令，解 x 的范围即为所要找的单调增区间 （ III ）利用 “ 五点作图法 ” 做出函数的图象 解答： 解： （）x=是函数 y=f（x）的图象的对称轴， ， ，k Z 由 y=sin2x 向右平移得到 （ 4分） （ ）由（ ）知 ? =，因此 y= 由题意得，k Z 所以函数的单调增区间为，k Z （3 分） （ ）由知 故函数 y=f （x）在区间 0， 上图象是 （4 分） 点评：本题主要考查了三角函数yAsin （wx+?）的对称性：在对称轴处取得函数的最值，图象的平移法则：“ 左 加右减 ” ，单调性、五点作图法的运用 18 （12 分） 考点 ： 平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题 专题 ： 证明题；综合题；转化思想 分析：法一：（）证明面 PAD面 PCD，只需证明面PCD 内的直线CD，垂直平面 PAD 内的两条相交直线 AD 、PD 即可； （ ）过点 B 作 BE CA，且 BE=CA ，PBE 是 AC 与 PB 所成的角，解直角三角形PEB 求 AC 与 PB 所成的角； （ ）作 AN CM，垂足为 N，连接 BN，说明 ANB 为所求二面角的平面角，在三角形AMC 中，用余弦定理求面AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 法二：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系， （ ）求出，计算，推出 APDC ，然后证明CD 垂直平面PAD，即可证明 面 PAD面 PCD； （ ），计算即可求得结果 （ ）在 MC 上取一点N（x，y，z） ，则存在使，说明 ANB 为所求二面角的平面角求 出，计算 即可取得结果 解答：法一：（）证明： PA面 ABCD ，CDAD ， 由三垂线定理得：CDPD 因而，CD 与面 PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， CD面 PAD 又 CD? 面 PCD， 面 PAD面 PCD （ ）解：过点B 作 BECA，且 BE=CA ， 则 PBE 是 AC 与 PB 所成的角 连接 AE，可知 AC=CB=BE=AE=，又 AB=2 ， 所以四边形ACBE 为正方形由PA面 ABCD 得 PEB=90° 在 RtPEB 中 BE=a2=3b 2， PB=， AC 与 PB 所成的角为 （ ）解：作AN CM ，垂足为 N，连接 BN 在 RtPAB 中，AM=MB ，又 AC=CB ， AMC BMC ， BNCM，故 ANB 为所求二面角的平面角 CBAC ，由三垂线定理，得 CBPC， 在 RtPCB 中，CM=MB ，所以 CM=AM 在等腰三角形AMC 中，AN ?MC=， AB=2 ， 故所求的二面角为 法二：因为PAPD，PAAB ，AD AB，以 A 为坐标原点AD 长为单位长度， 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0） ，C（1，1，0） ， D（1，0，0） ，P（0，0，1） ，M （ ）证明：因为， 故，所以 APDC 又由题设知AD DC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD 又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD面 PCD （ ）解：因， 故=， 所以 由此得 AC 与 PB 所成的角为 （ ）解：在MC 上取一点 N（ x，y，z） ， 则存在使， x=1 ，y=1，z= 要使 AN MC，只需即， 解得可知当时，N 点坐标为，能使 ， 有由得 AN MC ，BN MC 所以 ANB 为所求二面角的平面角 ， 故所求的二面角为arccos 点评：本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能 力，转化思想，是中档题 19 （12 分） 考点 ： 函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用 专题 ： 计算题；压轴题 分析：（ ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x） 2x 变形为 f（x）+2x0 因为它的解集 为（ 1，3） ，则可设 f（x）+2x=a（x1） （x3）且 a 0，解出 f（ x） ；又因为方程f（x）+6a=0 有 两个相等的根，利用根的判别式解出a 的值得出f（x）即可； （ ）因为 f（x）为开口向下的抛物线，利 用公式当x=时，最大值为=和 a0 联立组成不等式组，求出解集即可 解答：解： （）f（x）+2x0 的解集为（ 1，3） f（x）+2x=a（x1） （x3） ，且 a0因而 f（x）=a （ x1） （ x3） 2x=ax 2（ 2+4a）x+3a 由方程 f（x）+6a=0 得 ax2（ 2+4a）x+9a=0 因为方程 有两个相等的根，所以 = （ 2+4a） 24a?9a=0， 即 5a2 4a1=0解得 a=1 或 a= 由于 a 0，a=，舍去，故 a= 将 a=代入 得 f（x）的解析式 （ ）由 及 a0，可得 f（x）的最大值为就 由解得 a 2或 2+a 0 故当 f（ x）的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是 点评：考查学生函数与方程的综合运用能力 20 （12 分） 考点 ： n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 专题 ： 计算题 分析：（ ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立 重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3 粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到 结果 （ ）有坑需要补种包括3 个坑中恰有1 个坑需要补种；恰有2 个坑需要补种； 3 个坑都需要补种，这三 种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果 解答：解： （）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的， 得到本题是一个独立重复试验， 甲坑内的 3 粒种子都不发芽的概率为， 甲坑不需要补种的概率为 （ ）有坑需要补种包括3 个坑中恰有1 个坑需要补种；恰有2 个坑需要补种；3 个坑都需要补种， 这三种情况之间是互斥的， 3 个坑中恰有1 个坑需要补种的概率为， 恰有 2 个坑需要补种的概率为， 3 个坑都需要补种的概率为 有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330 点评： 本题的第二问还可以这样来解：因为3 个坑都不需要补种的概率为，所以有坑需要补种的概率 为利用对立事件的概率公式来解 22 （14 分） 考点 ： 平行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 专题 ： 压轴题 分析：（ ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B 两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c 的关系，从而求得椭圆的离心率 （ ）用向量运算将 用坐标表示，再用坐标的关系求出 2+2 的值 解答： 解： （1）设椭圆方程为 则直线 AB 的方程为y=xc，代入， 化简得（ a 2+b2）x22a2cx+a2c2a2b2=0 令 A（x1， y1） ，B（x2，y2） ， 则 与共线， 3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又 y1=x1c，y2=x2c， 3（x1+x22c）+（x1+x2）=0， 即， 所以 a2=3b 2 ， 故离心率 （ II）证明：由（ 1）知 a2=3b2， 所以椭圆可化为 x 2+3y2=3b2 设 M（x，y） ， 由已知得（ x，y）= （x1， y1）+ （x2，y2） ， M（x，y）在椭圆上， （ x1+ x2）2+3（ y1+ y2） 2=3b2 即 2（x 12+3y1 2）+2（x 22+3y22）+2（x1x2+3y1y2）=3b2 由（ 1）知 ， x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1c） （x2c）=4x1x23（x1+x2）c+3c2=0 又 x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2， 代入 得 2+2=1 故 2 + 2 为定值，定值为 1 点评：考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程 联立用韦达定理 是高考常见题型且是解答题 21 （12 分） 考点 ： 等比数列的通项公式；数列的求和 专题 ： 计算题；压轴题 分析：（ ）由 210S30（ 210+1）S20+S10=0 得 210（S30S20）=S20S10， 由此可推出 （ ）由题设知数列 nSn的前 n 项和 ，由此可知答 案 解答：解： （）由 210S30（ 210+1）S20+S10=0 得 210（S30S20） =S20S10， 即 210（a21+a22+ +a30）=a11+a12+ +a20， 可得 210?q10（a11+a12+ +a20） =a11+a12+ +a20 因为 an0， 所以 2 10q10=1， 解得，因而 （ ）由题意知 则数列 nSn 的前 n 项和 ， 前两式相减，得=即 点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件