全国卷3高考文科数学试题及答案.pdf

绝密 启用前 普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 文科数学 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1已知集合A=1,2,3,4 ，B=2,4,6,8 ，则 AB 中元素的个数为 A1 B2 C3 D4 2复平面内表示复数z=i( 2+i)的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 A月接待游客逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平 稳 4已知 4 sincos 3 ，则sin 2= A 7 9 B 2 9 C 2 9 D 7 9 5设 x，y 满足约束条件 3260 0 0 xy x y ，则 z=x-y 的取值范围是 A 3,0 B 3,2 C0,2 D0,3 6函数 f(x)= 1 5 sin(x+ 3 )+cos(x- 6 )的最大值为 A 6 5 B1 C 3 5 D 1 5 7函数 y=1+x+ 2 sinx x 的部分图像大致为 AB C D 8执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A5 B4 C3 D2 9已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆 柱的体积为 AB 3 4 C 2 D 4 10在正方体 1111 ABCDA B C D中，E 为棱 CD 的中点，则 A 11 A EDCB 1 A EBDC 11 A EBCD 1 A EAC 11已知椭圆C： 22 22 1 xy ab ，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 12已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee有唯一零点，则 a= A 1 2 B 1 3 C 1 2 D1 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量( 2,3),(3,)abm，且 a b，则 m= . 14双曲线 22 2 1 9 xy a （a0）的一条渐近线方程为 3 5 yx，则 a= . 15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c。已知 C=60° ，b=6，c=3， 则 A=_。 16设函数 10 ( ) 20 x xx fx x ， ， 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的 x 的取值范围是 _。 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） 设数列 n a满足 12 3(21)2 n aananK. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前 n 项和 . 18 （12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需 求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表： 最高气温10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的 进货量为450 瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 19 （12 分） 如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD （1）证明： AC BD； （2）已知 ACD 是直角三角形，AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 20 （12 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线 y=x2+mx 2 与 x 轴交于 A， B 两点， 点 C 的坐标为 (0,1). 当 m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现ACBC 的情况？说明理由； （2）证明过A，B，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 21 （12 分） 已知函数( )f x=lnx+ax2+(2a+1)x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当 a 0 时，证明 3 ( )2 4 f x a （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，直线 l1的参数方程为 2+ , , xt ykt （t 为参数），直线 l2的参数 方程为 2, , xm m m y k （为参数）.设 l1与 l2的交点为 P， 当 k 变化时，P 的轨迹为曲线C （1）写出 C 的普通方程； （ 2） 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ，设l3： (cos +sin )-2 =0，M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 . 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( )f x=x+1 x2. （1）求不等式( )f x1的解集； （2）若不等式( )f x x2 x +m 的解集非空，求 m 的取值范围 . 绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题正式答案 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题 13. 2 14. 5 15. 75°16. (-错误 !未找到引用源。 ，错误 !未找到引用源。) 三、解答题 17.解: （1）因为 错误 !未找到引用源。+3 错误 !未找到引用源。+ （2n-1）错误 !未找到引用源。 =2n，故当 n2 时， 错误 !未找到引用源。+3 错误 !未找到引用源。+ （错误 !未找到引用源。-3） 错 误!未找到引用源。=2（n-1） 两式相减得（ 2n-1）错误 !未找到引用源。=2 所以 错误 !未找到引用源。=错误 !未找到引用源。(n2) 又因题设可得错误 !未找到引用源。=2. 从而 错误 !未找到引用源。 的通项公式为错误 !未找到引用源。=错误 !未找到引用源。. （2）记错误 !未找到引用源。的前 n 项和为错误!未找到引用源。， 由（ 1）知 错误 !未找到引用源。= 错误 !未找到引用源。= 错误 !未找到引用源。-错误 !未 找到引用源。. 则 错误 !未找到引用源。= 错误 !未找到引用源。- 错误 !未找到引用源。+错误 !未找到引用 源。 - 错误 !未找到引用源。+ 错误 !未找到引用源。- 错误 !未找到引用源。= 错误 ! 未找到引用源。. 18.解： （1）这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知， 最高气温低于25 的频率为 错误 !未找到引用源。 ，所以这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率估计值为0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为450 瓶时， 若最高气温不低于25，则 Y=6 错误 !未找到引用源。450-4 错误 !未找到引用源。450=900； 若最高气温位于区间20,25） ，则 Y=6 错误 !未找到引用源。300+2（ 450-300） -4 错误 !未 找到引用源。450=300； 若最高气温低于20，则 Y=6 错误 !未找到引用源。200+2（450-200）-4 错误 !未找到引用 源。 450= -100. 所以，Y的所有可能值为900,300，-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20 的频率为 错 误!未找到引用源。，因此 Y 大于零的概率的估计值为0.8. 19.解： （1）取 AC 的中点 O 连结 DO，BO. 因为 AD=CD，所以 ACDO. 又由于 ABC 是正三角形，所以 ACBO. 从而 AC平面 DOB，故 ACBD. （2）连结 EO. 由（ 1）及题设知 ADC=90° ，所以 DO=AO. 在 RtAOB 中，错误 !未找到引用源。. 又 AB=BD，所以 错误 !未找到引用源。 ，故 DOB=90° . 由题设知 AEC 为直角三角形，所以 错误 !未找到引用源。. 又ABC 是正三角形，且 AB=BD，所以 错误 !未找到引用源。. 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为D 到平面 ABC 的距离的 错误 !未找到引 用源。 ，四面体 ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的 错误 !未找到引用源。 ，即四面体 ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1. 20.解： （1）不能出现ACBC 的情况，理由如下： 设错误 !未找到引用源。,错误 !未找到引用源。 ,则错误 !未找到引用源。 满足 错误 !未找到引用 源。 所以 错误 !未找到引用源。. 又 C 的坐标为（ 0，1） ，故 AC 的斜率与BC 的斜率之积为 错误 !未找到引用源。 ，所 以不能出现ACBC 的情况 . （2）BC 的中点坐标为（错误 !未找到引用源。 ） ，可得 BC 的中垂线方程为错误 !未找到引 用源。 . 由（ 1）可得 错误 !未找到引用源。 ，所以 AB 的中垂线方程为错误 !未找到引用源。. 联立 错误 !未找到引用源。又错误 !未找到引用源。 ，可得 错误 !未找到引用源。 所以过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为（错误 !未找到引用源。 ） ，半径 错误 !未找到引用 源。 故圆在 y 轴上截得的弦长为错误 !未找到引用源。 ，即过 A、B、C 三点的圆在y 轴上的截 得的弦长为定值. 21.解： （1）f（ x）的定义域为（0，+错误 !未找到引用源。 ） ，错误 !未找到引用源。. 若 a0 ，则当 x（ 0，+错误 !未找到引用源。 ）时，错误 !未找到引用源。 ，故 f（ x） 在（ 0，+错误 !未找到引用源。 ）单调递增 . 若 a0，则当 x错误 !未找到引用源。时，错误 !未找到引用源。 ；当 x错误 !未找到 引用源。 时，错误 !未找到引用源。 .故 f（x）在错误 !未找到引用源。单调递增，在错误 ! 未找到引用源。单调递减 . （2）由（ 1）知，当 a0 时，f（ x）在 错误 !未找到引用源。取得最大值，最大值为 错误 !未找到引用源。. 所以 错误 !未找到引用源。等价于 错误 !未找到引用源。 ，即错误 !未找到引用源。 设 g（x）=lnx-x+1，则错误 !未找到引用源。 当 x（ 0,1）时，错误 !未找到引用源。 ；当 x（ 1，+错误 !未找到引用源。 ）时，错 误!未找到引用源。.所以 g（x）在（ 0,1）单调递增，在（ 1，+错误 !未找到引用源。 ）单 调递减 .故当 x=1 时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当 x0 时，g（ x） 0,. 从而当 a 0 时，错误 !未找到引用源。 ，即错误 !未找到引用源。. 23.解： （1）错误 !未找到引用源。 当 x-1 时，f（ x）1无解； 当错误 !未找到引用源。时，由 f（ x）1得，2x-11 ，解得 1 x2 ； 当错误 !未找到引用源。时，由 f（ x）1解得 x2. 所以 f（x）1的解集为 x|x1. （2）由 错误 !未找到引用源。得 m|x+1|-|x-2|-错误 !未找到引用源。.而 |x+1|-|x-2|-错误 !未找到引用源。 =错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 ， 且当 x=错误 !未找到引用源。时，|x+1|-|x-2|-错误 !未找到引用源。. 故 m 的取值范围为 (-错误 !未找到引用源。. 22.解： （1）消去参数t 得错误 !未找到引用源。的普通方程 错误 !未找到引用源。 ：错误 !未找到引用 源。 ; 消去参数m 得错误 !未找到引用源。的普通方程错误 !未找到引用源。 ：错误 !未找到 引用源。 +2). 设 P（ x,y） ，由题设得 错误 !未找到引用源。消去 k 得 错误 !未找到引用源。. 所以 C 的普通方程为 错误 !未找到引用源。. （2）C 的极坐标方程为错误 !未找到引用源。 联立 错误 !未找到引用源。得 错误 !未找到引用源。 故错误 !未找到引用源。，从而 错误 !未找到引用源。 ，错误 !未找到引用源。. 代入 错误 !未找到引用源。得错误 !未找到引用源。 =5，所以交点M 的极径为 错误 !未找到 引用源。.