全国卷3高考试题及答案-理科数学.pdf

绝密启封并使用完毕前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）设集合S=(x2)(x3)0 ,T0Sxx xP，则 SIT= (A) 2 ，3 (B) （-，2U3,+） (C) 3,+）(D) （0，2U3,+） （2）若 z=1+2i，则 4 1 i zz (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量 12 (,) 22 BA uu v , 3 1 (,), 22 BC uu u v 则ABC= (A)30 0 (B) 450(C) 60 0 (D)120 0 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最 低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最 低气温约为50C。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5 个 （5）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin 2 (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 （6）已知 4 3 2a， 3 4 4b， 1 3 25c，则 （A）bac（B）abc（C）bca（D）cab （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （8）在ABC中， 4 B =，BC 边上的高等于 1 3 BC ,则 cos A = （A） 3 10 10 （ B） 10 10 （C） 10 10 -（D） 3 10 10 - (9)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多 面体的表面积为 （A）18365 （B）54185 （C）90 （D）81 (10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若 ABBC， AB=6， BC=8， AA1=3，则 V 的最大值是 （A）4 （B） 9 2 （C） 6 （D） 32 3 （11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点，A，B 分 别为 C 的左，右顶点 .P 为 C 上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 （12）定义 “ 规范 01 数列 ”an如下： an共有 2m 项， 其中 m 项为 0，m 项为 1，且 对任意2km， 12 , k a aaL中 0 的个数不少于1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范01 数列”共有 （A）18 个（B）16 个（C）14 个（D） 12 个 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第( 13)题 第( 21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第( 22) 题第 ( 24) 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分 （13）若 x，y 满足约束条件 x -y + 1 0 x -2y ? 0 x + 2y - 2 ? 0 则 z=x+y 的最大值为 _. （ 14）函数 y = sin x - 3 cosx的图像可由函数 y = sin x + 3 cos x的图像至少向右平移 _个单位长度得到。 （15）已知 f(x) 为偶函数，当x 0时，f(x) = ln(-x ) + 3x，则曲线 y=f(x) ，在带你 （1，-3）处的切线方程是_。 （16）已知直线 l: mx + y + 3m - 3 = 0与圆 x2+ y 2 = 12交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与x 轴交于 C，D 两点，若|AB| = 2 3，则|CD| = _. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分12 分） 已知数列 an的前 n 项和 Sn= 1 + a， Sn= 1 +an，其中0 （I）证明 an是等比数列， 并求其通项公式 （II ）若 S5= 31 32 ，求 （18） （本小题满分12 分） 下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （II ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处 理量。 （19） （本小题满分12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面 ABCD， ADBC， AB=AD=AC =3， PA=BC =4， M 为线段 AD 上一点，AM= 2MD，N 为 PC 的中点 . （I）证明 MN平面 PAB; （II ）求直线AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. （20） （本小题满分12 分） 已知抛物线C： 2 2yx 的焦点为F，平行于 x 轴的两条直线 12 ,l l分别交 C 于 A，B 两 点，交 C 的准线于P，Q 两点 . （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ； （II ）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. （21） （本小题满分12 分） 设函数 f（x） =acos2x+（a-1） （cosx+1） ，其中 a0，记|? （? ）|的最大值为A. （）求f（x） ； （）求 A； （）证明 |?（? ）| 2A. 请考生在 22、23、24题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号 后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图，O 中 ? AB 的中点为P，弦 PC， PD 分别交 AB 于 E，F 两点 . （I）若 PFB=2PCD，求 PCD 的大小； （II ）若 EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明 OGCD. 23.（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线 1 C的参数方程为 3 cos () sin x y 为参数 ，以坐标原点为极 点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 sin()2 2 4 . （I）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （II ）设点 P 在 1 C上，点 Q 在 2 C上，求 |PQ|的最小值及此时P 的直角坐标 . 24.（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 已知函数( )| 2|f xxaa （I）当 a=2 时，求不等式( )6f x的解集； （II ）设函数( )|21|,g xx当 xR 时，f（x） +g（x） 3 ，求 a 的取值范围 . 绝密启封并使用完毕前 试题类型：新课标 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）D （2）C （3）A （ 4）D （ 5）A （6）A （7）B （8）C （ 9）B （ 10）B （11）A （12）C 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题 第（21）题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分 （13） 3 2 （14） 3 （15）21yx （16）4 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分12 分） 解： （）由题意得 111 1aSa，故1， 1 1 1 a，0 1 a. 由 nn aS1， 11 1 nn aS得 nnn aaa 11 ，即 nn aa)1( 1 . 由0 1 a， 0得0 n a，所以 1 1 n n a a . 因此 n a是首项为 1 1 ，公比为 1 的等比数列，于是 1 ) 1 ( 1 1n n a （）由 （）得 n n S) 1 (1 ，由 32 31 5 S得 32 31 ) 1 (1 5 ，即 5 ) 1 ( 32 1 ， 解得1 （18） （本小题满分12 分） 解： （）由折线图这数据和附注中参考数据得 4t，28)( 7 1 2 i i tt，55.0)( 7 1 2 i i yy， 89.232.9417.40)( 7 1 7 1 7 1ii iii i ii ytytyytt， 99.0 646.2255.0 89.2 r. 因为y与t的相关系数近似为0.99 ，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回 归模型拟合y与t的关系 . （）由331.1 7 32.9 y及（）得103.0 28 89.2 )( )( ? 7 1 2 7 1 i i i ii tt yytt b， 92. 04103. 0331. 1 ? ?tbya. 所以，y关于t的回归方程为：ty10.092.0?. 将 2016 年对应的9t代入回归方程得：82.1910.092.0?y. 所以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨 . （19） （本小题满分12 分） 解： （） 由已知得2 3 2 ADAM，取BP的中点T，连接TNAT ,，由N为PC 中点知BCTN /，2 2 1 BCTN. 又BCAD /，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是 ATMN /. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB. （）取BC的中点E，连结AE，由ACAB得BCAE，从而ADAE，且 5) 2 ( 2222 BC ABBEABAE. 以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA， 由题意知， )4,0 ,0(P，)0 ,2,0(M，)0, 2,5(C，)2, 1 , 2 5 (N， )4,2,0(PM，)2, 1 , 2 5 (PN，)2, 1 , 2 5 (AN. 设),(zyxn为平面PMN的法向量，则 0 0 PNn PMn ，即 02 2 5 042 zyx zx ，可 取) 1 ,2,0(n， 于是 25 58 | | |,cos| ANn ANn ANn. （20）解：由题设)0 , 2 1 (F. 设bylayl:,: 21 ，则0ab，且 ) 2 , 2 1 (), 2 1 (), 2 1 (), 2 (),0, 2 ( 22 ba RbQaPb b B a A. 记过BA,两点的直线为l，则l的方程为0)(2abybax. .3分 （）由于F在线段AB上，故01ab. 记AR的斜率为 1 k，FQ的斜率为 2 k，则 2 22 1 1 1 kb a ab aaba ba a ba k. 所以FQAR. 5分 （）设l与x轴的交点为)0,( 1 xD ， 则 2 , 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF . 由题设可得 22 1 2 1 1 ba xab，所以0 1 x（舍去），1 1 x. 设满足条件的AB的中点为),(yxE. 当AB与x轴不垂直时，由 DEAB kk可得) 1( 1 2 x x y ba . 而y ba 2 ，所以) 1(1 2 xxy. 当AB与x轴垂直时，E与D重合 . 所以，所求轨迹方程为1 2 xy. 12分 （21） （本小题满分12 分） 解： （） ' ( )2 sin 2(1)sinfxaxax （）当1a时， ' |( ) | |sin 2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f 因此，32Aa 4 分 当01a时，将( )f x变形为 2 ( )2 cos(1)cos1f xaxax 令 2 ( )2(1)1g tatat，则A是|( ) |g t在 1,1上 的 最 大 值 ，( 1)ga， (1)32ga，且 当 1 4 a t a 时 ，( )g t取 得 极 小 值 ，极 小 值 为 22 1(1)61 ()1 488 aaaa g aaa 令 1 11 4 a a ，解得 1 3 a（舍去）， 1 5 a （）当 1 0 5 a时，( )g t在( 1,1)内无极值点，|( 1)|ga，|(1)| 23ga， |( 1)| |(1)|gg，所以23Aa （）当 1 1 5 a时，由( 1)(1)2(1)0gga，知 1 ( 1)(1)() 4 a ggg a 又 1(1)(17 ) |() |( 1)|0 48 aaa gg aa ，所以 2 161 |() | 48 aaa Ag aa 综上， 2 1 23 ,0 5 61 1 ,1 85 32,1 aa aa Aa a aa 9 分 （）由（）得 ' |( ) | | 2 sin 2(1)sin| 2|1|fxaxaxaa. 当 1 0 5 a时， ' |( ) | 1242(23 )2fxaaaA. 当 1 1 5 a时， 13 1 884 a A a ，所以 ' |( ) | 12fxaA. 当1a时， ' |( )|31642fxaaA，所以 ' |( )|2fxA. 请考生在 22 、23 、24 题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题 号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 23. （本小题满分10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 解： （） 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y， 2 C的直角坐标方程为40xy. 5 分 （）由题意，可设点P的直角坐标为(3 cos ,sin)，因为 2 C是直线，所以|PQ 的最小值， 即为P到 2 C的距离()d的最小值， |3cossin4| ()2 |sin()2| 32 d. 8 分 当且仅当2() 6 kkZ时，()d取得最小值，最小值为2，此时P的直 角坐标为 3 1 (,) 2 2 . 10 分 24. （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 解： （）当2a时，( )|22 | 2f xx. 解不等式|22 | 26x，得13x. 因此，( )6fx的解集为| 13xx. 5 分 （）当xR时，( )( )|2|12 |f xg xxaax | 212 |xaxa |1|aa， 当 1 2 x时等号成立， 所以当xR时，( )( )3f xg x等价于|1|3aa. 7 分 当1a时，等价于13aa，无解 . 当1a时，等价于13aa，解得2a. 所以a的取值范围是2,). 10 分 22. （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 解： （）连结BCPB,，则BCDPCBPCDBPDPBABFD,. 因为 BPAP ，所以PCBPBA，又BCDBPD，所以PCDBFD. 又PCDPFBBFDPFD2,180，所 以1803 PCD ，因 此 60PCD. （）因为BFDPCD，所以 180EFDPCD，由此知EFDC,四点 共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过 EFDC,四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，因此CDOG.