高一数学人教A版必修四教案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含答案.pdf

平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、教学分析 我们在前面已经学过,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨 论一些几何元素的位置关系. 既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能 ,运 算结果应该是什么呢?另外 ,距离和角是刻画几何元素(点、线、面 )之间度量关系的基本量.我 们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知 ,向量概念的引入 与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F 的作用下产生位移s(如 图 1),那么力 F所做的功 图 1 W=| F|s|cos 功 W 是一个数量 ,其中既涉及 “ 长度 ”,也涉及 “ 角 ”,而且只与向量F,s 有关 .熟悉的数的运算 启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a· b=| a| |b|cos . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；掌握平面向量的数量积及其几何意义；了解 用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。 2、过程与方法： 通过物理中 “功”等实例， 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的 数量积与向量投影的关系。 3、情感态度与价值观： 通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。 三、重点难点 教学重点 :平面向量数量积的定义. 教学难点 :平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 四、教学设想 （一）导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等 概念 ,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向 量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理 许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使 我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些 物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中 ,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力 F 所做的 功 W 可由下式计算: W=| F|s|cos 其中 是 F与 s 的夹角 .我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量 ). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一 个向量 .我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零 )运算 ,就自然地会想到, 任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ （二）推进新课、新知探究、提出问题 a· b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么? 由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运 算,它是否满足实数的乘法运算律？ 我们知道 ,对任意a,bR,恒有 (a+b) 2=a2+2ab+b2 ,(a+b)(a-b)=a 2-b2.对任意向量 a、b,是否 也有下面类似的结论? (1)(a+b) 2 =a 2+2a· b+b2; (2)(a+b) ·(a-b)=a 2-b2. 活动 :已知两个非零向量a 与 b,我们把数量 | a| b|cos 叫做 a 与 b的数量积 (或内积 ),记作 a· b, 即 a· b=| a| b|cos (0 ). 其中 是 a 与 b 的夹角 ,|a|cos (| b|cos )叫做向量 a 在 b 方向上 (b 在 a 方向上 )的投影 .如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0° 180°. 图 2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的 余弦的乘积 ; (2)零向量与任一向量的数量积为0,即 a· 0=0; (3)符号 “·”在向量运算中不是乘号,既不能省略 ,也不能用 “×”代替 ; (4)当 00, 从而 a· b0;当 2 时,cos 0,从而 a· b0.与学生共同探究并证 明数量积的运算律. 已知 a,b,c和实数 , 则向量的数量积满足下列运算律: a· b=b· a(交换律 ); ( a) ·b=( a· b)=a·( b)(数乘结合律 ); (a+b) ·c=a· c+b· c(分配律 ). 特别是 :(1)当 a 0 时,由 a· b=0 不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向 量 b,都有 a· b=0. 图 3 (2)已知实数a、b、 c(b 0),则 ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a· b=b· c 不能推出a=c.由图 3 很容易看出 ,虽然 a· b=b· c,但 a c. (3)对于实数a、 b、 c 有(a ·b)c=a(b ·c);但对于向量a、 b、 c,(a· b)c=a(b· c)不成立 .这是因为 (a· b)c 表示一个与c 共线的向量 ,而 a(b· c)表示一个与a 共线的向量 ,而 c 与 a 不一定共线 ,所以 (a· b)c=a(b· c)不成立 . 讨论结果 :是数量 ,叫数量积 . 数量积满足a· b=b· a(交换律 ); ( a) ·b=(a· b)=a· ( b)(数乘结合律 ); (a+b) ·c=a· c+b·c(分配律 ). (1)(a+b)2=(a+b) · (a+b) =a·b+a· b+b· a+b·b=a 2+2a· b+b2; (2)(a+b) ·(a-b)=a· a-a· b+b·a-b·b=a 2-b2. 提出问题 如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ 能用 “ 投影 ” 来解释数量积的几何意义吗？ 活动 :教师引导学生来总结投影的概念,可以结合 “ 探究 ”,让学生用平面向量的数量积的定义, 从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点 “ 投影 ” 的概念 , 如图 4. 图 4 定义 :| b|cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1° 投影也是一个数量,不是向量 ; 2° 当 为锐角时投影为正值;当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为0;当 =0°时投影为 | b|; 当 =180°时投影为 -| b|. 教师结合学生对“ 投影 ” 的理解 ,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos 的乘积 . 让学生思考 :这个投影值可正、可负 ,也可为零 ,所以我们说向量的数量积的结果是一个实 数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1° e· a=a· e=| a|cos . 2° aba· b=0. 3° 当 a 与 b同向时 ,a· b=| a| b|; 当 a 与 b 反向时 ,a· b=-| a| b|. 特别地 a· a=| a| 2 或| a|=aa. 4° cos = |ba ba . 5° | a· b| |a| b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程 中理解并记忆这些性质. 讨论结果 :略 (见活动 ). 向量的数量积的几何意义为数量积a· b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 | b|cos 的 乘积 . （三）应用示例 思路 1 例1 已 知 平 面 上 三 点A 、 B 、 C满 足 |AB|=2,|BC|=1, |CA|=3, 求 AB·BC+BC·CA+CAAB的值 . 活动 :教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需 条件 .因为已知AB、BC、CA的长度 ,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹 角.结合勾股定理可以注意到 ABC是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知 ,|BC| 2+| CA| 2=| AB| 2,所以 ABC是直角三角形 .而且 ACB=90° , 从而 sinABC= 2 3 ,sinBAC= 2 1 . ABC=60 ° ,BAC=30 ° . AB与BC的夹角为120° ,BC与CA的夹角为90° ,CA与AB的夹角为150° . 故AB·BC+BC·CA+CA·AB =2× 1× cos120 °+1×3cos90 °+3× 2cos150 ° =-4. 点评 :确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单 地看成两条线段的夹角,如例题中AB与BC的夹角是120° ,而不是 变式训练 已知 | a|=6,| b|=4, a 与 b 的夹角为60° ,求(a+2b) ·(a-3b 解:(a+2b) ·(a-3b)=a· a-a· b-6b· b =| a| 2-a· b-6| b|2 =| a| 2-| a| b|cos -6| b|2 =6 2-6 × 4× cos60 ° -6 ×4 2 =-72. 例 2 已知 | a|=3,| b|=4, 且 a 与 b 不共线 ,当 k 为何值时 ,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直 ? 解:a+kb 与 a-kb互相垂直的条件是(a+kb) ·(a-kb)=0, 即 a2-k2b2=0. a2=32=9,b2=42=16, 9-16k2=0. k=± 4 3 . 也就是说 ,当 k=± 4 3 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直 . 点评 :本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练 已知向量a、b 满足 :a2=9,a· b=-12,求| b| 的取值范围 . 解:| a| 2=a2 =9, | a|=3. 又 a· b=-12, | a· b|=12. | a· b| |a| b|, 123|b|,| b| 4. 故| b| 的取值范围是4,+). 思路 2 例 1 已知在四边形ABCD 中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且 a· b=c· d=b· c=d· a,试问四边形 ABCD的形状如何？ 解:AB+BC+CD+DA=0, 即 a+b+c+d=0, a+b=-(c+d). 由上可得 (a+b)2=(c+d)2, 即 a2+2a· b+b2=c 2+2c· d+d2. 又 a· b=c· d,故 a2+b2=c2+d 2. 同理可得 a2+d2=b 2+c2. 由上两式可得a 2 =c 2,且 b2=d2, 即| a|=| c|, 且| b|=| d|, 也即 AB=CD, 且 BC=DA, ABCD是平行四边形 . 故AB=CD,即 a=-c. 又 a· b=b· c=-a· b, 即 a· b=,ab,即ABBC. 综上所述 ,ABCD是矩形 . 点评 :本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合 四边形的特点进而判断四边形的形状. 例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且| a|-| b|=| a+b|, 求向量 b 与 a-b 的夹角 . 活动 :教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b 为邻边的ABCD,若 AB=a,CB=b,则CA=a+b,DB=a-b.由| a|-| b|=| a+b|, 可知 ABC=60° ,b 与DB所成角是150° . 我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与 a-b的夹角 ,为了巩固数量积的有关知识,我们采 用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由 cos b,a-b= | )( bab bab 作为 切入点 ,进行求解 . 解:| b|=| a+b|,| b|=| a|, b2=(a+b)2. | b| 2=| a|2+2a· b+| b|2. a· b=- 2 1 | b| 2. 而 b· (a-b)=b· a-b 2= 2 1 | b| 2-| b|2= 2 3 | b| 2, 由(a-b)2=a2-2a· b+b2=| b| 2-2 ×( 2 1 )| b| 2+| b|2=3| b|2, 而| a-b| 2=(a-b)2=3| b|2, | a-b|=3| b|. cosb,a-b=, | )( bab bab 代入 ,得 cos b,a-b=- 2 3 2 3 |3| | 2 bb b . 又 b,a-b 0, , b,a-b= 6 5 . 点评 :本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本 解法进行反思、总结、体会. 变式训练 设向量 c=ma+nb(m,nR),已知 | a|=22,| c|=4, ac,b· c=-4,且 b 与 c 的夹角为120° ,求 m,n 的 值. 解:ac,a· c=0. 又 c=ma+nb,c· c=(ma+nb) ·c, 即| c| 2=ma· c+nb· c.| c|2=nb· c. 由已知 | c| 2=16,b· c=-4, 16=-4n.n=-4. 从而 c=ma-4b. b· c=| b| c|cos120 ° =-4, | b| · 4· ( 2 1 )=-4.| b|=2. 由 c=ma-4b,得 a· c=ma2-4a· b, 8m-4a· b=0,即 a· b=2m. 再由 c=ma-4b,得 b· c=ma· b-4b2. ma· b-16=-4,即 ma· b=12. 联立得2m 2=12,即 m2=6. m= ±6.故 m= ±6,n=-4. （四）课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量 积的运算律 . 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思 想方法的同时 ,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. （五）作业