【年必备】陕西省榆林市数学一模试卷(理科)及解析.pdf

陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=x| 1x2，xN ，集合 B= 2，3 ，则 AB等于（） A 2 B 1，2，3C 1，0，1，2，3 D 0，1，2，3 2 （5 分）若向量=（1，1） ， =（2，5） ， =（3，x）满足条件（ 8 ）? =30， 则 x=（） A6 B5 C 4 D3 3 （5 分）设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2=3，a6=11，则 S7等于（） A13 B35 C 49 D63 4 （5 分）按下面的流程图进行计算若输出的x=202，则输入的正实数x 值的 个数最多为（） A2 B3 C 4 D5 5 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P 在椭圆 C上， 线段 PF1的中点在 y轴上， 若PF1F2=30° ， 则椭圆 C的离心率为（） ABC D 6 （5 分）已知曲线，则下列说法正确的是 （） A把 C1上各点横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向右平移，得到 曲线 C2 B把 C1上各点横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向右平移，得到 曲线 C2 C把 C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 C2 D把 C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 C2 7 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈， 上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网 格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1 丈） ，那么该 刍甍的体积为（） A4 立方丈B5 立方丈C 6 立方丈D12 立方丈 8 （5 分）曲线 f（x）=x 3 （x0）上一动点 P（x0，f（x0） ）处的切线斜率的 最小值为（） AB3 C 2 D6 9 （5 分）已知直三棱柱ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4 ，ABAC ，AA1=12，则球 O 的直径为（） A13 BCD 10 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数的取值范围 m， n 恰好是函数 y=2sin x（ 0）的一个单调递增区间，则的值为（） ABC D 11 （5 分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点 M 在 以线段 F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A （2，+）B （，2）C （，） D （1，） 12 （5 分）对于函数 f（x）和 g（x） ，设 xR| f（x）=0， xR| g（x） =0，若存在 、 ，使得| | 1，则称 f（x）与 g （x）互为“ 零点关联函数 ” 若 函数 f（x）=e x1+x2 与 g（x）=x2axa+3 互为“ 零点关联函数 ” ，则实数 a 的 取值范围为（） A B C 2，3D 2，4 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若角 的终边经过点 P，则 sin tan 的值是 14 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走 访了四位歌手，甲说： “ 是乙或丙获奖 ” 乙说：“ 甲、丙都未获奖 ” 丙说：“ 我获 奖了 ” 丁说： “ 是乙获奖 ” 四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手 是 15 （5 分）设 l，m 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列命题正确的 是 若 lm，m ，则 l或 l 若 l ， ，则 l或 l? 若 l ，m ，则 lm 或 l 与 m 相交 若 l ， ，则 l或 l? 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知 P是函数 f（x）=e x（x0）的图象 上的动点，该图象在点P处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P作 l 的垂线交 y 轴于 点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17（12 分） 在ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 已知， （I）求角 A的大小； （II）若 a=2，求的面积 S的最大值 18 （12 分）数列 an 满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求 T2n 19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ABD=90 ° ， EB 平面 ABCD ，EF AB，AB=2 ，EB=，且 M 是 BD的中点 （1）求证： EM平面 ADF ； （2）求二面角 AFDB的余弦值的大小 20 （12 分）已知抛物线 E：y2=2px（p0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C： （x5） 2+y2=9 的两条切线，切点为 （1）求抛物线 E的方程； （2）若直线 AB是讲过定点 Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于 A，B 两 点，过定点 Q 作 AB的垂线与抛物线交于G，D 两点，求四边形AGBD面积的最 小值 21 （12 分）已知函数，记 F（x）=f（x）g（x） （1）求证： F（x）在区间（ 1，+）内有且仅有一个实根； （2）用 min a，b 表示 a，b 中的最小值，设函数m（x）=min f（x） ，g（x） ， 若方程 m（x）=c在区间（ 1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2） ，记 F（x）在（ 1，+）内的实根为 x0求证： 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建 立 极 坐 标 系 ， 点 A 的 极 坐 标 为， 直 线l 的 极 坐 标 方 程 为 ，且 l 过点 A，曲线 C1的参考方程为（为参数） （1）求曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值； （2） 过点 B （2， 2） 与直线 l 平行的直线 l1与曲 C1线交于 M， N两点， 求| BM| ?| BN| 的值 选修 4-5：不等式选讲 23设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a 2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 2018 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 A=x| 1x2，xN ，集合 B= 2，3 ，则 AB等于（） A 2 B 1，2，3C 1，0，1，2，3 D 0，1，2，3 【解答】 解： A= x| 1x2，xN= 0，1，2 ，集合 B= 2，3， AB= 0，1，2，3 ， 故选： D 2 （5 分）若向量=（1，1） ， =（2，5） ， =（3，x）满足条件（ 8 ）? =30， 则 x=（） A6 B5 C 4 D3 【解答】 解：向量=（1，1） ， =（2，5） ， x=4 故选 C 3 （5 分）设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2=3，a6=11，则 S7等于（） A13 B35 C 49 D63 【解答】 解：因为 a1+a7=a2+a6=3+11=14， 所以 故选 C 4 （5 分）按下面的流程图进行计算若输出的x=202，则输入的正实数x 值的 个数最多为（） A2 B3 C 4 D5 【解答】 解：程序框图的用途是数列求和，当x100 时结束循环，输出x 的值 为 202： 当 202=3x+1，解得 x=67；即输入 x=67时，输出结果 202 202=3（3x+1）+1，解得 x=22；即输入 x=22时，输出结果 202 202=3（3（3x+1）+1）+1即 201=3（3（3x+1）+1） ， 67=3（3x+1）+1，即 22=3x+1，解得 x=7，输入 x=7时，输出结果 202 202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1解得 x=2，输入 x=2时，输出结果 202 202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1解得 x= ，输入 x=时，输出结果 202 共有 5 个不同的 x 值， 故选 D 5 （5 分）设 F1，F2分别是椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点，点P 在椭圆 C上， 线段 PF1的中点在 y轴上， 若PF1F2=30° ， 则椭圆 C的离心率为（） ABC D 【解答】 解：线段 PF1的中点在 y 轴上 设 P的横坐标为 x，F1（c，0） ， c+x=0，x=c； P与 F2的横坐标相等， PF2x 轴， PF1F2=30° ， PF2=， PF1+PF2=2a，PF2=， tanPF1F2=， =，e= = 故选： A 6 （5 分）已知曲线，则下列说法正确的是 （） A把 C1上各点横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向右平移，得到 曲线 C2 B把 C1上各点横坐标伸长到原来的2 倍，再把得到的曲线向右平移，得到 曲线 C2 C把 C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 C2 D把 C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线 C2 【解答】 解：根据曲线=sin（x） ， 把 C1上各点横坐标伸长到原来的2 倍，可得 y=sin（x）的图象； 再把得到的曲线向右平移，得到曲线 C2：y=sin（x） 的图象， 故选： B 7 （5 分） 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈， 上袤二丈，无广，高一丈，问积几何刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网 格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1 丈） ，那么该 刍甍的体积为（） A4 立方丈B5 立方丈C 6 立方丈D12 立方丈 【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为 1 的等腰三角形三棱柱的高为2 三棱柱的体积 V= 两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2 和 3 的矩形的四棱锥，其高为1 体积 V=2 该刍甍的体积为： 3+2=5 故选： B 8 （5 分）曲线 f（x）=x 3 （x0）上一动点 P（x0，f（x0） ）处的切线斜率的 最小值为（） AB3 C 2 D6 【解答】 解：f（x）=x 3 （x0）的导数 f （x）=3x 2+ ， 在该曲线上点（ x0，f（x0） ）处切线斜率k=3x02+， 由函数的定义域知x00， k2=2，当且仅当 3x0 2= ，即 x0 2= 时，等号成立 k 的最小值为 2 故选： C 9 （5 分）已知直三棱柱ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3， AC=4 ，ABAC ，AA1=12，则球 O 的直径为（） A13 BCD 【解答】 解：因为直三棱柱中， AB=3 ，AC=4 ，AA1=12，ABAC ， 所以 BC=5 ，且 BC为过底面 ABC的截面圆的直径 取 BC中点 D，则 OD底面 ABC ，则 O 在侧面 BCC 1B1， 矩形 BCC 1B1的对角线长即为球直径，所以 2R=13 故选： A 10 （5 分）设 x，y 满足约束条件，若目标函数的取值范围 m， n 恰好是函数 y=2sin x（ 0）的一个单调递增区间，则的值为（） ABC D 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 z 的几何意义为区域内的点D（2，0）的斜率， 由图象知 DB的斜率最小， DA的斜率最大， 由，解得 A（1，2） ， 则 DA的斜率 kDA=2， 由，解得 B（1，2） ， 则 DB的斜率 kDB=2， 则2z2， 目标函数的取值范围 2，2 恰好是函数y=2sin x（ 0）的一个单调 递增区间， 可得 2=，解得 =， 故选： C 11 （5 分）已知F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左右焦点，过点 F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点 M 在 以线段 F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A （2，+）B （，2）C （，） D （1，） 【解答】 解：双曲线=1 的渐近线方程为 y=x， 不妨设过点 F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc） ， 与 y=x联立，可得交点 M（，） ， 点 M 在以线段 F1F2为直径的圆外， | OM| | OF 2| ，即有 +c2， 3，即 b 23a2， c 2a23a2，即 c2a 则 e=2 双曲线离心率的取值范围是（2，+） 故选 A 12 （5 分）对于函数 f（x）和 g（x） ，设 xR| f（x）=0， xR| g（x） =0，若存在 、 ，使得| | 1，则称 f（x）与 g （x）互为“ 零点关联函数 ” 若 函数 f（x）=e x1+x2 与 g（x）=x2axa+3 互为“ 零点关联函数 ” ，则实数 a 的 取值范围为（） A B C 2，3D 2，4 【解答】 解：函数 f（x）=e x1+x2 的零点为 x=1 设 g（x）=x 2axa+3 的零点为 ， 若函数 f（x）=e x1+x2 与 g（x）=x2axa+3 互为“ 零点关联函数 ” ， 根据零点关联函数，则 | 1 | 1， 0 2，如图 由于 g（x）=x 2axa+3 必过点 A（1，4） ， 故要使其零点在区间 0，2 上，则 g（0）×g（2）0 或， 解得 2a3， 故选 C 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若角 的终边经过点 P，则 sin tan 的值是 【解答】 解：OP=r=1，点 P在单位圆上， sin =，tan=，得 sin tan=（）×（）= 故答案为 14 （5 分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走 访了四位歌手，甲说： “ 是乙或丙获奖 ” 乙说：“ 甲、丙都未获奖 ” 丙说：“ 我获 奖了 ” 丁说： “ 是乙获奖 ” 四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 丙 【解答】 解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意 若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意 故答案为：丙 15 （5 分）设 l，m 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下列命题正确的 是 若 lm，m ，则 l或 l 若 l ， ，则 l或 l? 若 l ，m ，则 lm 或 l 与 m 相交 若 l ， ，则 l或 l? 【解答】 解：若 lm，m ，则 l? 或 l ，故错； 由面面垂直的性质定理知，若l ， ，则 l或 l? ，故对； 若 l ，m ，则 lm 或 l 与 m 相交，或 l 与 m 异面，故错； 若 l ， ，则 l或 l? 或 l或 l? ，或 l 与 相交故错 故答案为： 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，已知 P是函数 f（x）=e x（x0）的图象 上的动点，该图象在点P处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P作 l 的垂线交 y 轴于 点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是（e+e 1） 【解答】 解：设切点坐标为（ m，em） 该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 yem=em（xm） 令 x=0，解得 y=（1m）em 过点 P作 l 的垂线的切线方程为yem=e m（xm） 令 x=0，解得 y=em+me m 线段 MN 的中点的纵坐标为t= （2m）em+me m t'= em+（2m）em+e mmem ，令 t'=0 解得： m=1 当 m（0，1）时， t'0，当 m（1，+）时， t'0 当 m=1 时 t 取最大值（e+e 1） 故答案为：（e+e 1） 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17（12 分） 在ABC中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 已知， （I）求角 A的大小； （II）若 a=2，求的面积 S的最大值 【解答】 解： （I）已知， 正弦定理化简可得：， 即sinCcosA=sinAcosB +sinBcosA=sinC 0C ，sinC 0， cosA=1 即 cosA= A= （II）a=2，A= 余弦定理： a 2=b2+c22bccosA 可得： b2+c2=4+bc 4+bc2bc，当且仅当 b=c时取等号 解得： bc2（2+） 那么三角形面积 S= bcsinA= 18 （12 分）数列 an 满足 （1）证明：数列是等差数列； （2）若，求 T2n 【解答】 证明： （1）由已知可得， 即， 是以为首项， 1 为公差的等差数列 解： （2）由（ 1）得， ， ， T2n=a1a2+a3a4+ +a2n1a2n=1 222+3242+（2n1）2（2n）2， =（21） （2+1）+（43） （4+3）+ +（2n+2n1） （2n2n+1） ， =（3+7+ +2n1） ， =， =2n2n 19 （12 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， ABD=90 ° ， EB 平面 ABCD ，EF AB，AB=2 ，EB=，且 M 是 BD的中点 （1）求证： EM平面 ADF ； （2）求二面角 AFDB的余弦值的大小 【解答】 （1）证明：法一、取AD的中点 N，连接 MN，NF， 在 DAB中，M 是 BD的中点， N 是 AD的中点， ， 又， MNEF且 MN=EF 四边形 MNFE为平行四边形，则EMFN， 又FN? 平面 ADF ，EM?平面 ADF ，故 EM平面 ADF 法二、 EB 平面 ABD ，ABBD， 故以 B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz AB=2 ，EB=， B（0，0，0） ，D（3，0，0） ，A（0，0，2） ，E（0，0，） ，F（0，1，） ， M（，0，0） ， ， 设平面 ADF的一个法向量是 由，令 y=3，得 又， 又 EM?平面 ADF，故 EM平面 ADF （2）解：由（ 1）可知平面 ADF的一个法向量是 ， 设平面 BFD的一个法向量是， 由，令 z=1，得， cos =， 又二面角 AFDB为锐角， 故二面角 AFDB的余弦值大小为 20 （12 分）已知抛物线 E：y2=2px（p0）的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C： （x5） 2+y2=9 的两条切线，切点为 （1）求抛物线 E的方程； （2）若直线 AB是讲过定点 Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于 A，B 两 点，过定点 Q 作 AB的垂线与抛物线交于G，D 两点，求四边形AGBD面积的最 小值 【解答】 解：（ 1）根据题意，抛物线的E 的方程为y2=2px（p0） ，则 设 MN 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知， 于是，所以 CMR=30°，MCR=60°， 所以| CK | =6，所以 p=2故抛物线 E的方程为 y2=4x （2）设直线 AB的方程为 x=my+2，设 A=（x1，y1） ，B=（x2，y2） ， 联立得 y24my8=0，则 y1+y2=4m，y1y2=8 设 G=（x3，y3） ，D=（x4，y4） ， 同理得， 则四边形 AGBD的面积 = 令， 则是关于 的增函数， 故 Smin=48，当且仅当 m=±1 时取得最小值 48 21 （12 分）已知函数，记 F（x）=f（x）g（x） （1）求证： F（x）在区间（ 1，+）内有且仅有一个实根； （2）用 min a，b 表示 a，b 中的最小值，设函数m（x）=min f（x） ，g（x） ， 若方程 m（x）=c在区间（ 1，+）内有两个不相等的实根x1，x2（x1x2） ，记 F（x）在（ 1，+）内的实根为 x0求证： 【解答】 证明： （1），定义域为 x（0，+） ， ，当 x1 时，F'（x）0， F（x）在（ 1，+）上单调递增， 又， 而 F（x）在（ 1，+）上连续， 根据零点存在定理可得： F（x）在区间（ 1，+）有且仅有一个实根 （2）当 0x1 时，f（x）=xlnx0， 而，故此时有 f（x）g（x） ， 由（1）知， F（x）在（ 1，+）上单调递增， 有 x0为 F（x）在（ 1，+）内的实根， 所以 F（x0）=f（x0）g（x0）=0， 故当 1xx0时，F（x）0，即 f（x）g（x） ； 当 xx0时，F（x）0，即 f（x）g（x） 因而， 当 1xx0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx0， 因而 m（x）在（ 1，x0）上递增； 当 xx0时， 因而 m（x）在（ x0，+）上递减； 若方程 m（x）=c在（1，+）有两不等实根x1，x2， 则满足 x1（1，x0） ，x2（x0，+） 要证：，即证： x1+x22x0，即证： x22x0x1x0， 而 m（x）在（ x0，+）上递减， 即证： m（x2）m（2x0x1） ，又因为 m（x1）=m（x2） ， 即证： m（x1）m（2x0x1） ， 即证： 记， 由 F（x0）=0 得：， h（x0）=0， ， ，则，当 0x1 时，g'（x）0；当 x1 时，g'（x）0 故，所以当 x0时， 2x0x0， 因此， 即 h（x）在递增从而当1x1x0时， h（x）h（x0）=0，即， 故得证 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选 修 4-4：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建 立 极 坐 标 系 ， 点 A 的 极 坐 标 为， 直 线l 的 极 坐 标 方 程 为 ，且 l 过点 A，曲线 C1的参考方程为（为参数） （1）求曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值； （2） 过点 B （2， 2） 与直线 l 平行的直线 l1与曲 C1线交于 M， N两点， 求| BM| ?| BN| 的值 【解答】 解： （1）点A 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为 ，且 l 过点 A， 由直线 l 过点 A 可得，故， 直线 l 的极坐标方程为 sin +cos=8， 直线 l 的直角坐标方程为x+y8=0 曲线 C1的参考方程为（为参数） 根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线 l 的距离： ， （2）由（ 1）知直线 l 的倾斜角为， 则直线 l1的参数方程为（t 为参数） 又曲线 C1的普通方程为 把直线 l1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得： ， 依据参数 t 的几何意义可知 选修 4-5：不等式选讲 23设 a0，b0，且求证： （1）a+b2； （2）a 2+a2 与 b2+b2 不可能同时成立 【解答】 证明： （1）由，得 ab=1， 由基本不等式及 ab=1，有，即 a+b2 （2）假设 a2+a2 与 b2+b2 同时成立， 则 a2+a2 且 b2+b2，则 a2+a+b2+b4， 即： （a+b）2+a+b2ab4，由（ 1）知 ab=1因此（ a+b）2+a+b6 而 a+b2，因此（ a+b）2+a+b6，因此矛盾， 因此假设不成立，原结论成立