高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何3.1.5Word版含答案.pdf

学业分层测评 (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1如图 3-1-36，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ABBC2，AA1 2，E，F 分别是平面 A1B1C1D1、平面 BCC1B1的中心，则 E，F 两 点间的距离为 () 图 3-1-36 A1 B. 5 2 C. 6 2 D. 3 2 【解析】以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E(1，1，2)，F 2，1， 2 2 ，所以 |EF| （21）2（11） 22 2 2 2 6 2 ，故选 C. 【答案】C 2设 A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则 AB 的中点 M 到 点 C 的距离 |CM|的值为() A. 53 4 B. 53 2 C. 53 2 D. 13 2 【解析】AB 的中点 M 2，3 2，3 ，CM 2， 1 2，3 ，故|CM| |CM |22 1 2 232 53 2 . 【答案】C 3已知向量 a(2，3)，b(k，1)，若 a2b 与 ab平行，则 k 的值是() A6 B 2 3 C. 2 3 D14 【解析】由题意得 a2b(22k，5)，且 ab(2k，2)，又 因为 a2b和 ab平行，则 2(22k)5(2k)0，解得 k 2 3. 【答案】C 4已知 a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则 b() A(2，4，2)B(2，4，2) C(2，0，2) D(2，1，3) 【解析】ba(1，2，1)(1，2，1)(1，2，1) (2，4，2) 【答案】A 5已知 a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是 () A. 5 5 B. 55 5 C.3 5 5 D. 11 5 【解析】ba(1t，2t1，0)， |ba|2(1t)2(2t1)202 5t 22t25 t1 5 2 9 5. |ba|2 min9 5. |ba|min3 5 5 . 【答案】C 二、填空题 6已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)， 点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取得最小值时，点Q 的坐标为 _ 【解析】设OQ OP ( ，2)，故 Q( ，2)，故QA (1 ，2 ，32 )，QB (2 ，1 ，22 )则QA ·QB 6 2 16 1064 3 2 2 3，当QA ·QB 取最小值时，4 3，此时 Q 点 的坐标为 4 3， 4 3 ， 8 3 . 【答案】 4 3， 4 3， 8 3 7若AB (4，6，1)，AC (4，3，2)，|a|1，且 aAB ， aAC ，则 a_ 【解析】设 a(x，y，z)，由题意有 a· AB 0， a· AC 0， |a|1， 代入坐标可解 得 x 3 13， y 4 13， z 12 13 或 x 3 13， y 4 13， z 12 13. 【答案】 3 13， 4 13， 12 13 或 3 13， 4 13， 12 13 8若 A(m1，n1，3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3，9) 三点共线，则 mn_ 【解析】因为 AB (m1，1，m2n3)，AC (2，2，6)， 由题意得 AB AC ，则m1 2 1 2 m2n3 6 ，所以 m0，n0，m n0. 【答案】0 三、解答题 9已知向量 a(1，3，2)，b(2，1，1)，点 A(3，1， 4)，B(2，2，2) (1)求|2ab|; 【导学号： 18490101】 (2)在直线 AB 上，是否存在一点E，使得 OE b？(O 为原点) 【解】(1)2ab(2，6，4)(2，1，1) (0，5，5)， 故|2ab|02（5） 2525 2. (2)OE OA AE OA tAB (3，1，4)t(1，1，2)( 3t， 1t，42t)， 若OE b，则OE ·b0， 所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t9 5， 因此存在点 E，使得OE b，E 点坐标为 6 5， 14 5 ， 2 5 . 10在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 是棱 DD1的中点， O 是正方 形 ABCD 的中心 求证：OA1 AM . 【证明】建立空间直角坐标系， 如图所示， 设正方形的棱长为1 个单位，则 A(1，0，0)，A1(1，0，1)，M 0，0，1 2 ，O 1 2 ， 1 2，0 . OA1 1 2， 1 2，1 ，AM 1，0，1 2 . OA1 ·AM 1 2×(1) 1 2 ×01×1 20， OA1 AM . 能力提升 1已知向量 a(2，x，2)，b(2，1，2)，c(4，2，1)，若 a(bc)，则 x 的值为 () A2 B2 C3 D3 【解析】bc(2，3，1)，a· (bc)43x20，x 2. 【答案】A 2已知 a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向 量 ab与 ab的夹角是 () A90°B60° C45°D30° 【解析】ab(cos sin ，2，sin cos )，ab (cos sin ，0，sin cos )，(ab)·(ab)0， (ab)(ab) 【答案】A 3已知 a(3，2，3)，b(1，x1，1)，且 a 与 b 的夹角 为钝角，则 x 的取值范围是 _ 【解析】因为 a 与 b的夹角为钝角，所以a· b2.若 a 与 b的夹角为，则x 5 3， 所以 x 2， 5 3 5 3， . 【答案】2，5 3 5 3， 4在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 ABC和平面 A1B1C1为正三角 形，所有的棱长都是2，M 是 BC 边的中点，则在棱 CC1上是否存在点 N，使得异面直线AB1和 MN 所夹的角等于 45°？ 【导学号： 18490102】 【解】以 A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知 A(0， 0， 0)， C(0， 2， 0)， B( 3， 1， 0)， B1(3， 1， 2)， M 3 2 ，3 2 ，0 . 又点 N 在 CC1上，可设 N(0，2，m)(0m2)， 则AB1 ( 3，1，2)，MN 3 2 ，1 2，m ， 所以|AB1 |2 2，|MN |m 21，AB 1 ·MN 2m1. 如果异面直线 AB1和 MN 所夹的角等于 45°， 那么向量 AB1 和MN 的 夹角等于 45°或 135°. 又 cosAB1 ，MN AB1 ·MN |AB1 |MN | 2m1 2 2×m 21. 所以 2m1 2 2×m 21± 2 2 ，解得 m 3 4，这与 0m2 矛盾 所以在 CC1上不存在点 N，使得异面直线AB1和 MN 所夹的角等 于 45°.