高考一轮复习数学教案：9.2-直线与平面平行.pdf

9.2 直线与平面平行 知识梳理 1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线 在平面内 . 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这 条直线与这个平面平行. 3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已 知平面相交，那么这条直线与交线平行. 点击双基 1.设有平面、和直线 m、n，则 m的一个充分条件是 A.且 mB.=n 且 mn C.m n 且 nD.且 m 答案： D 2.（ 2004 年北京，3）设 m、n 是两条不同的直线，、是三个不同的平面. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是 若 m，n，则 mn若，m，则 m 若 m，n，则 mn 若，则 A.B.C.D. 解析：显然正确 .中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点，与可以相 交. 答案： A 3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系 是 A.异面B.相交C.平行D.不能确定 解析：设=l，a，a， 过直线 a 作与、都相交的平面， 记=b，=c， 则 ab 且 ac， bc. 又 b，=l，bl.al. a b c l 答案： C 4.（文）设平面平面，A、C，B、D，直线 AB 与 CD 交于点 S， 且 AS=8，BS=9，CD=34，当 S在、之间时，SC=_，当 S 不在、之间时，SC=_. 解析： ACBD， SAC SBD，SC=16，SC=272. 答案： 16 272 （理）设 D 是线段 BC 上的点，BC平面，从平面外一定点 A（A 与 BC 分居 平面两侧）作AB、AD、AC 分别交平面于 E、F、G 三点，BC=a，AD=b，DF =c， 则 EG=_. 解析：解法类同于上题. 答案： b acab 5.在四面体ABCD 中，M、N 分别是面 ACD、 BCD 的重心，则四面体的四个面 中与 MN 平行的是 _. A B C D M N . . 解析：连结AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交CD 于 F，由重心性质 可知，E、F 重合为一点，且该点为CD 的中点 E，由 MA EM = NB EN = 2 1 得 MNAB， 因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD. 答案：平面ABC、平面 ABD 典例剖析 【例 1】 如下图，两个全等的正方形ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB，M AC， NFB 且 AM=FN，求证： MN平面 BCE. Q A B C D M P F E N 证法一：过M 作 MPBC，NQBE，P、Q 为垂足（如上图） ，连结 PQ. MPAB，NQAB，MP NQ. 又 NQ= 2 2 BN= 2 2 CM=MP，MPQN 是平行四边形 . MN PQ，PQ平面 BCE. 而 MN平面 BCE， MN平面 BCE. 证法二：过M 作 MGBC，交 AB 于点 G（如下图），连结 NG. G A B C D M F E N MG BC，BC平面 BCE， MG平面 BCE， MG平面 BCE. 又 GA BG = MA CM = NF BN ， GNAFBE，同样可证明GN平面 BCE. 又面 MGNG=G， 平面 MNG 平面 BCE.又 MN平面 MNG .MN平面 BCE. 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理， 通过“线线”平行，证得“线面”平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面” 平行，证得“线面”平行. 【例 2】 如下图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， 侧面对角线AB1、BC1上分别有两 点 E、 F，且 B1E=C1F.求证： EF平面 ABCD. A A D B C B C D 1 1 1 1 E F G M N 证法一：分别过E、F 作 EMAB 于点 M，FNBC 于点 N，连结 MN. BB1平面 ABCD ， BB1 AB， BB1BC. EMBB1， FNBB1.EMFN. 又 B1E=C1F， EM=FN . 故四边形 MNFE 是平行四边形. EFMN.又 MN 在平面 ABCD 中， EF平面 ABCD . 证法二：过E 作 EGAB 交 BB1于点 G， 连结 GF，则 AB EB 1 1 = BB GB 1 1 . B1E=C1F， B1A=C1B， BC FC 1 1 = BB GB 1 1 . FGB1C1BC. 又 EGFG=G，ABBC=B， 平面 EFG 平面 ABCD.而 EF 在平面 EFG 中， EF平面 ABCD . 评述： 证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在 的平面与已知平面平行. 【例 3】 已知正四棱锥P ABCD 的底面边长及侧棱长均为13，M、N 分别是 PA、 BD 上的点，且 PMMA=BNND=58. AB C D E O M N P （1）求证：直线MN平面 PBC； （2）求直线MN 与平面 ABCD 所成的角 . （1）证明： PABCD 是正四棱锥，ABCD 是正方形 .连结 AN 并延长交BC 于点 E，连结 PE. ADBC，ENAN=BNND. 又 BN ND=PM MA， ENAN=PMMA. MN PE. 又 PE 在平面 PBC 内，MN平面 PBC. （2）解：由（ 1）知 MNPE，MN 与平面 ABCD 所成的角就是PE 与平面 ABCD 所成的角 . 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为O，连结 OE，则 PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成 的角 . 由正棱锥的性质知PO= 22 OBPB= 2 213 . 由（ 1）知，BE AD=BNND=58， BE= 8 65 . 在 PEB 中，PBE=60°，PB=13，BE= 8 65 ， 根据余弦定理，得 PE= 8 91 . 在 RtPOE 中，PO= 2 213 ，PE= 8 91 ， sinPEO= PE PO = 7 24 . 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为arcsin 7 24 . 思考讨论 证线面平行，一般是转化为证线线平行.求直线与平面所成的角一般用构造法，作 出线与面所成的角.本题若直接求MN 与平面 ABCD 所成的角，计算困难，而平移转化 为 PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易.可见平移是求线线角、线面角的重要方法. 闯关训练 夯实基础 1.两条直线a、b 满足 ab，b，则 a 与平面的关系是 A.aB.a 与相交C.a与不相交D.a 答案： C 2.a、b 是两条异面直线，A 是不在 a、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过 A 有且只有一个平面平行于a、b B.过 A 至少有一个平面平行于a、b C.过 A 有无数个平面平行于a、b D.过 A 且平行 a、 b的平面可能不存在 解析：过点A 可作直线 a a，b b， 则 a b =A. a、 b可确定一个平面，记为. 如果 a，b，则 a，b. 由于平面可能过直线a、b 之一，因此，过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在. 答案： D 3.（ 2004 年全国，16）已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、 b 在上的射影有可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条 直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是_.（写出所有正确结论的编号） 解析： A1D 与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相平行； AB1与 BC1在平面 ABCD 上的射影互相垂直； DD1与 BC1在平面 ABCD 上的射影是一条直线及其外一点. A A B C D B C D 1 1 1 1 答案： 4.已知 RtABC 的直角顶点C 在平面内，斜边 AB，AB=26，AC、BC 分别和平面成 45°和 30°角，则 AB 到平面的距离为 _. 解析：分别过A、 B 向平面引垂线 AA、 BB，垂足分别为A、 B. A AB B C '' 设 AA =BB=x， 则 AC2=（ 45sin x ） 2=2x2， BC2=（ 30sin x ）2=4x2. 又 AC2+BC2=AB2，6x2=（ 26）2，x=2. 答案： 2 5.如下图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD， 侧面 PBC 内有 BEPC 于 E，且 BE= 3 6 a，试在 AB 上找一点F，使 EF平面 PAD. A B C D E P G F 解：在面 PCD 内作 EGPD 于 G，连结 AG. P A平面 ABCD ，CDAD， CDPD .CDEG. 又 AB CD， EGAB. 若有 EF平面 PAD，则 EFAG， 四边形 AFEG 为平行四边形，得 EG=AF. CE= 22 ) 3 6 (aa= 3 3 a，PBC 为直角三角形，BC2=CE·CPCP=3a， AB AF = CD EG = PC PE = a aa 3 3 3 3 = 3 2 . 故得 AFFB=21 时，EF平面 P AD . 6.如下图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别为 AB、PD 上的点， 且 MB AM = NP DN ，求证：直线MN平面 PBC. AB C D M N P Q R 分析：要证直线MN平面 PBC，只需证明MN平面 PBC 内的一条直线或MN 所在 的某个平面平面PBC. 证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R， 连结 RB， 依题意得 NR NRDC = NP DN = MB AM = MB MBAB = MB MBDC NR=MB.NRDCAB，四边形MNRB 是平行四边形.MN RB.又 RB平面 PBC，直线 MN平面 PBC. 证法二： 过 N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连结 QM， MB AM = NP DN = QP AQ ，QM PB.又 NQADBC，平面 MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC. 证法三：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连结 RB，依题意有 AB BM = PD PN = DC NR ， NR=MB，BR=BM+MN+ NR=MN.MN RB.又 RB平面 PBC，直线 MN 平面 PBC. 培养能力 8.如下图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1= 2 1 AB，点 E、M 分别为 A1B、 C1C 的中点，过点 A1、B、M 三点的平面A1BMN 交 C1D1于点 N. A A D D B B C C 1 1 1 1 M N E （1）求证： EM平面 A1B1C1D1； （2）求二面角BA1NB1的正切值； （3）设截面A1BMN 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为 V1、V2（ V1V2） ， 求 V1V2的值 . （1）证明：设A1B1的中点为 F，连结 EF、FC1. E 为 A1B 的中点， EF 2 1 B1B. A AB B C C D D E F N M P H 1 1 1 1 又 C1M 2 1 B1B，EFMC1. 四边形 EMC1F 为平行四边形 . EMFC1.EM 平面 A1B1C1D1， FC1平面 A1B1C1D1， EM平面 A1B1C1D1. （2）解：作B1HA1N 于 H， 连结 BH. BB1平面 A1B1C1D1， BHA1N. BHB1为二面角 BA1NB1的平面角 . EM平面 A1B1C1D1， EM平面 A1BMN，平面 A1BMN平面 A1B1C1D1=A1N， EMA1N. 又 EMFC1， A1NFC1. 又 A1FNC1， 四边形A1FC1N 是平行四边形.NC1=A1F. 设 AA1=a， 则 A1B1=2a，D1N=a. 在 RtA1D1N 中， A1N= 2 1 2 11 NDDA=5a， sinA1ND1= NA DA 1 11 = 5 2 . 在 RtA1B1H 中， B1H=A1B1sinHA1B1=2a· 5 2 = 5 4 a. 在 RtBB1H 中， tanBHB1= HB BB 1 1 = a a 5 4 = 4 5 . （3）解：延长A1N 与 B1C1交于 P， 则 P平面 A1BMN，且 P平面 BB1C1C. 又平面 A1BMN平面 BB1C1C=BM， P BM，即直线 A1N、B1C1、 BM 交于一点 P. 又平面 MNC1平面 BA1B1， 几何体 MNC1BA1B1为棱台 .（没有以上这段证明， 不扣分） S 11BBA = 2 1 ·2a·a=a2， S 1 MNC = 2 1 ·a· 2 1 a= 4 1 a2， 棱台 MNC1BA1B1的高为 B1C1=2a， V1= 3 1 · 2a· （ a2+ 22 4 1 aa+ 4 1 a2）= 6 7 a3， V2=2a· 2a·a 6 7 a3= 6 17 a3. 2 1 V V = 17 7 . 7.已知 l 是过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD 所在平面的 交线，（1）求证： D1B1l； （2）若 AB=a， 求 l 与 D1间的距离 . A A D B C B C D 1 1 1 1 l （1）证明： A A D C B B C D G 1 1 1 1 l D1B1BD， D1B1平面 ABCD . 又平面 ABCD平面 AD1B1=l， D1B1l. （2）解： D1D平面 ABCD， 在平面 ABCD 内，由 D 作 DGl 于 G，连结 D1G， 则 D1Gl，D1G 的长即等 于点 D1与 l 间的距离 . lD1B1BD， DAG=45° . DG= 2 2 a，D1G= 2 1 2 DDDG= 22 2 1 aa= 2 6 a. 探究创新 思悟小结 1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行， 后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线（面） 是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往 往需要作辅助线（面）. 教师下载中心 教学点睛 1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及 性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法. 2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线 平行 . 拓展题例 【例 1】 如下图，设 a、b 是异面直线，AB 是 a、b 的公垂线，过 AB 的中点 O 作平面与 a、b 分别平行，M、N 分别是 a、b 上的任意两点，MN 与交于点 P，求 证： P 是 MN 的中点 . A B M N Q P a b O 证明：连结AN，交平面于点 Q，连结 PQ. b，b平面 ABN，平面 ABN=OQ， bOQ.又 O 为 AB 的中点， Q 为 AN 的中点 . a，a平面 AMN 且平面 AMN=PQ， aPQ.P 为 MN 的中点 . 评述：本题重点考查直线与平面平行的性质. 【例 2】 在直三棱柱ABCA1B1C1中， AB1BC1，AB=CC1=a，BC=b. A AC B B C E G F 1 1 1 （1）设 E、F 分别为 AB1、BC1的中点， 求证： EF平面 ABC； （2）求证： A1C1AB； （3）求点 B1到平面 ABC1的距离 . （1）证明： E、F 分别为 AB1、 BC1的中点， EFA1C1.A1C1AC， EFAC. EF平面 ABC. （2）证明： AB=CC1， AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱，四边形ABB1A1为正 方形 .连结 A1B， 则 A1BAB1. 又 AB1BC1， AB1平面 A1BC1. AB1 A1C1. 又 A1C1AA1， A1C1平面 A1ABB1. A1C1AB. （3）解： A1B1AB， A1B1平面 ABC1. A1到平面 ABC1的距离等于 B1到平面 ABC1的距离 . 过 A1作 A1GAC1于点 G， AB平面 ACC1A1， ABA1G.从而 A1G平面 ABC1， 故 A1G 即为所求的距离， 即 A1G= b a 22 ab. 评述：本题（3）也可用等体积变换法求解.