1、9.5.1 三角函数系的正交性三角函数系的正交性9.5 傅里叶级数傅里叶级数9.5.2 将函数展开成将函数展开成傅里叶级数傅里叶级数9.5.3 正弦正弦级数与余弦级数级数与余弦级数9.5 傅里叶级数傅里叶级数 9.5.1 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 1三角级数三角级数 简谐振动：简谐振动：y=Asin(t+)A为振幅，为振幅，为角频，为角频，为初相。为初相。其中其中A0,An,n为常数。为常数。由三角公式，我们有由三角公式，我们有Ansin(nt+n n)=Ansin n n cosnt+A ncos n n sinnt则则(1)式右端变型为式右端变型为 形如形如(2)(2)式的级数
2、叫做式的级数叫做三角级数三角级数，其中，其中a0、an、bn 为常数。为常数。an=Ansin n，bn=Ancos n,t=x，2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系9.5.2 将函数展开成傅里叶级数将函数展开成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?傅里叶系数傅里叶系数 设设f(x)是周期是周期T=2的周期函数，且能展开成的周期函数，且能展开成三角级数：三角级数：傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数问题问题:9.5.1(收敛定理收敛定理,注意注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件
3、比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.狄利克雷狄利克雷(DirichletDirichlet)充分条件充分条件)题目类型：题目类型：(1)(1)将定义在将定义在（，）上的）上的 以以2 2 为周期的为周期的函数函数 展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。方法：方法：(i)先求傅里叶系数先求傅里叶系数(ii)写出对应的傅里叶级数写出对应的傅里叶级数(iii)根据收敛定理把上式写成等式根据收敛定理把上式写成等式解解例例1所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.方法方法:(i)对对f(x)作周期为作周期为2 的周期延拓得定义在的周期
4、延拓得定义在 (，)上的周期函数上的周期函数F(x).(2)将定义在将定义在-，上的上的 函数函数f(x)展开成傅立展开成傅立叶级数。叶级数。(iii)限制在限制在-，再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的傅的傅立立 叶级数展开式。叶级数展开式。(ii)F(x)的傅立叶级数与的傅立叶级数与 f(x)的傅立叶级数相同的傅立叶级数相同.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .例例2所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和9.5.3 正弦级数和
5、余弦级数正弦级数和余弦级数 1.1.奇函数和偶函数的傅里叶级数奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.证明证明奇函数奇函数同理可证同理可证(2)定义定义偶函数偶函数定理证毕定理证毕.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.例例32 2、函数展开成正弦级数或余弦级数、函数展开成正弦级数或余弦级数做法：奇延拓做法：奇延拓偶延拓偶延拓解解(1)(1)求
6、正弦级数求正弦级数.例例4(2)(2)求余弦级数求余弦级数.总结：将总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：展开傅立叶级数有以下三种情况：(1)将定义在将定义在（，）上的）上的 以以2 为为周期的函周期的函数数f(x)展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。方法：应对方法：应对f(x)作周期为作周期为2 的周期延拓得定义在的周期延拓得定义在（，）上的周期函数）上的周期函数F(x),将将F(x)的傅立叶级的傅立叶级数限制在数限制在-，再用收敛定理得到再用收敛定理得到f(x)的傅立叶的傅立叶级数展开式。级数展开式。方法：计算方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级
7、的傅立叶级数，再用收敛定理得到数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。的傅立叶级数展开式。(2)将定义在将定义在-，上的上的 函数函数f(x)展开成傅立展开成傅立叶级数。叶级数。方法：应对方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义作奇延拓（或偶延拓），得到定义在在(-,上的函数上的函数F(x),F(x)的傅立叶级数即为的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在正弦级数（或余弦级数），限制在0 再用收敛再用收敛定理得到定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。的正弦级数（或余弦级数）展开式。(3)将定义在将定义在0，上的上的 函数函数f(x)展开成正弦展开成正弦（余弦）级数。（余弦）级数。
