【市级联考】陕西省咸阳市2019届高三模拟检测(一)数学(文)试题(解析版).pdf

咸阳市 2019 年高考模拟检测（一） 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 . 1.复数 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据复数乘法运算，进行计算和化简，由此得出正确选项. 【详解】依题意，故选 C. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查，属于基础题. 2.已知集合， ，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 解指数不等式求得集合的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】对于集合A，由解得，故.所以选 D. 【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查指数不等式的解法，属于基础题. 3.设等差数列的前项和为 ，若，则 A. 20 B. 23 C. 24 D. 28 【答案】 D 【解析】 【分析】 将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选 D. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和 . 基本元的思想是 在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式， 结合已知条件列出方程组， 通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值. 4.若向量， 满足 ，且，则 与 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据，利用两个向量数量积为零列方程，解方程求得与 两个向量的夹角的余弦值，由此求得两个 向量的夹角 . 【详解】由于，故，解得，所以与 两个向量的 夹角为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查两个向量垂直则数量积为零，考查向量数量积的运算，考查向量夹角的计算，属 于基础题 .如果两个向量垂直，那么它们的数量积.如果两个非零向量平行，则存在非零实数， 使得.要计算两个向量所成的夹角，则先计算出两个向量夹角的余弦值，由此求得两个向量的夹角. 5.某校高三（ 1）班 50 名学生参加体能测试，其中 23 人成绩为，其余人成绩都是 或. 从这 50 名 学生中任抽 1人，若抽得 的概率是 0.4 ，则抽得的概率是 A. 0.14B. 0.20C. 0.40D. 0.60 【答案】 A 【解析】 【分析】 用 减去抽到A 或 B 的概率，由此求得抽到C 的概率 . 【详解】由于A 为人，故抽到C 的概率为. 【点睛】本小题主要考查概率之和为，考查互斥事件概率计算，属于基础题. 6.已知函数 （，）的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心 是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据图像所给位置，结合对称性，求得对称零点为，由此得出正确选项. 【详解】 设关于直线的对称点是， 则，解得，故函数的一个对称中心为， 故选 B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的图像的对称性，考查三角函数的对称轴和对称中心的知识，属于基础 题. 7.双曲线：与 轴的一个交点是，则该双曲线的渐近线方程为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 双曲线过点，则：，据此可得：， 则双曲线方程为：， 双曲线的渐近线满足：， 据此整理可得双曲线的渐近线为：. 本题选择 D 选项. 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方 程为 (即 )，应注意其区别与联系 . 8.地铁某换乘站设有编号为，的五个安全出口. 若同时开放如下表两个安全出口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号， 疏散乘客时间（）120 220 160 140 200 则疏散乘客最慢的一个安全出口的编号是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 设出个出口疏散的时间，利用表格所给数据列方程组，解方程组求得每个出口所用的时间，由此确定最慢 的安全出口 . 【详解】设 个出口的疏散时间分别为， 依题意， 解得，故最慢的是出口，故选C. 【点睛】本小题主要考查实际问题的理解，考查方程的思想，属于基础题. 9.能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数， 称为圆的“ 等分函数 ” ，下列函 数不是圆的“等分函数 ”的是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据函数奇函数和偶函数图像的对称性可知，选项中的奇函数是“等分函数”，偶函数不是“等分函数”. 对选项逐一分析奇偶性，由此得出正确选项. 【详解】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，故选项中的奇函数是“等分函数”，偶 函数不是“等分函数” .对于 A 选项， 为奇函数，对于 B 选项， 为偶函数，对于C 选项，由解得函数的定义域为，且，为奇函 数.对于 D 选项，为奇函数 .综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数奇函数和偶函数图像的对称性，考查阅读理解能力，属 于中档题 . 10.我国古代数学家祖暅提出的祖暅原理：“ 幂势既同，则积不容异” （“ 幂” 是截面积， “ 势” 是几何体的高） ， 意思是两个同高的几何体，若在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等 . 已知某几何体与三视图（如 图所示）所表示的几何体满足 “幂势既同”，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据三视图得到原图的结构，由圆柱和圆锥的体积公式计算得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体为圆柱挖掉一个圆锥所得，故体积为. 根据“幂 势既同”可知，所求几何体的体积为，故选 C. 【点睛】本小题主要考查三视图，考查组合体体积的计算，考查中国古代数学文化.属于基础题 . 11.四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，则球 的表面积为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 通过证得三角形和三角形为有公共斜边的直角三角形，确定球心的位置为的中点，由此计算得 球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】由于平面，故，而故平面，所以，所以三角 形和三角形为有公共斜边的直角三角形，设斜边的中点为，则有，即为 外接球的球心，为球的直径 .，所以球的表面积为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积 的求法，考查空间想象能力，属于基础题. 12.设函数 ， .若 存在两个零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 令，转化为两个函数图像的交点来研究的零点，由此求得的取值范围 . 【详解】 令，得，画出函数和的图像如下图所示，由图可知， 当直线 过时，当直线过时，即当时，两个函数图像有个交点，即有 个零点. 【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性 质，考查函数零点问题的求解策略，考查一次函数的图像是直线，考查数形结合的数学思想方法，考查化 归与转化的数学思想方法，考查动态分析的观点，属于中档题.对于函数零点问题，可以令函数为零，然后 转化为两个函数的图像交点来研究. 二、填空题（每题 5分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13.曲线 在点处的切线方程为_ 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数求得函数在处切线的斜率，根据点斜式求得切线方程. 【详解】，故，由点斜式得，即切线方程为. 【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查利用导数求曲线切线方程的求法，属于基础题. 14.若实数， 满足 ，则的最小值是 _ 【答案】 1 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影，再将目标函数z xy 对应的直线进行平移，可得当x 0，y1 时， z xy 取得最小值 【详解】作出实数x，y 满足条件表示的平面区域， 得到如图的阴影， 设 zxy，将直线 l：z xy 进行平移， 当 l 经过点 A（0， 1）时，目标函数z达到最小值 z最小值 1 故答案为 -1 【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 15.已知点为抛物线：上任意一点，点，则的最小值为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 设出抛物线上任意一点的坐标，利用两点间的距离公式表示，根据二次函数的最小值，求得的最小 值. 【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，由两点间的距离公式得，当 ，即时，取得最小值为. 【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到定点的距离的最小值的求法，考查两点间的距离公式，考查二次 函数最小值的求法，属于中档题.由于抛物线上的点是动点，故要设抛物线上任意一点的坐标，在设坐标的 时候，利用抛物线的方程，可以只设一个坐标，得到另一个坐标的表达式，减少设的未知数. 16.正项等比数列中，存在两项， ，使得，且，则的最小值是 _ 【答案】 4 【解析】 【分析】 根据求得的值，由求得的一个等式，利用基本不等式求得的最小值 . 【详解】由于数列是正项等比数列，由得，解得（负根舍去）.由， 得 .故 .即 最小值为. 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求解表达式的最小值，考查化归与 转化的数学思想方法，属于中档题 .题目涉及等比数列的问题，主要根据已知条件计算出的值，然后求得 的一个等式，通过这个等式，利用基本不等式来求得最小值. 三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 .第22、23 题为选考题，考生根据要求作答 . 17.在中，角，所对的边分别为， ， ，. （1）求 的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简，求得，进而得到 .（2）利用余弦定理求得 的值，利 用二倍角公式求得的值 . 【详解】（1）在中，由正弦定理得， ，又， 得到，即. （2）由（ 1）知，且，所以， . 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数二倍角公式， 属于中档题 . 18.为了调查某地区70 岁以上老人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样的方法从该地区调查了100 位 70 岁以上老人，结果如下： 男女 需要18 5 不需要 32 45 （1）估计该地区70 岁以上老人中，男、女需要志愿者提供帮助的比例各是多少？ （2）能否有的把握认为该地区70 岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关； （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区70 岁以上老人中，需要志愿者提供帮助的 老人的比例？说明理由. 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ， . 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用题目所给表格中的数据，计算出男、女需要志愿者提供帮助的比例.（2）完成列联表，计算 , 故有的把握认为该地区70 岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. （3） 根据（ 2）老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，故按男、女分层抽样更好. 【详解】（1）需要志愿者提供帮助的男的比例为，女的比例为 . （2）完成列联表： 男女合计 需要 18 5 23 不需要 32 45 77 合计50 50 100 . 有的把握认为该地区70 岁以上的老人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. （3）由（2）的结论知，该地区70 岁以上的老人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区 70 岁以上男性老人与女性老人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时， 先确定该地区70 岁以上老人 中男、女的比例，再把老人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样办法更好. 【点睛】本小题主要考查列联表分析及独立性检验，考查阅读理解能力，属于中档题. 19.如图，在四棱锥中，底面 是菱形，. （1）求证：平面； （2）若，求点到平面的距离 . 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1） 利用等腰三角形的性质，证得， 由此证得平面.（2） 先计算出 的长度，在三棱锥中，利用等体积法列方程，解方程求得点到平面的距离 . 【详解】（1）证明：四边形是菱形，为，的中点， 又，所以， ，且、平面， 平面 . （2）且， 为等边三角形，则 . ，四边形为菱形，. 由（ 1）平面，得到， ， .平面， 设到平面的距离为，由， 得，解得 . 【点睛】本小题主要考查空间线面垂直的证明，考查利用等体积法计算点到面的距离，属于中档题. 20.已知椭圆的上顶点为，右顶点为，直线与圆相切 . （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线 与椭圆交于，两点，求证： . 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得直线的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得的值，由此求得椭圆 方程 . （2） 设出直线的方程，联立直线方程和椭圆的方程，写出韦达定理， 通过计算， 证得. 【详解】（1）由题意知：，则直线方程为：， 直线与圆相切，则，求得， 所求椭圆的方程为 . （2）设直线的方程为， 联立 . ，又， ， 则 . 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查利 用向量数量积为零证明两直线垂直.直线和圆相切，主要的解题方法就是圆心到直线的距离等于半径，通过 这个距离，可求得一个位置的参数.两条直线垂直时，代表直线的方向向量的数量积为零. 21.设函数 ，. （1）当时，求的单调区间； （2）求证：当时， . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）当时，先求得函数的导数，求得导函数的零点，然后求得函数的单调区间.（2）根据（ 1）的结 论可知，当时，函数在处取得最大值为，由此得到.将所要证明的不等式转化为证 明，构造函数，利用导数求得函数的单调性，由此证得. 【详解】（1）当时，令，则 . 当时，；当时， 函数的单调递增区间是；单调递减区间是. （2）由（ 1）知，当时， 当时，即， 当时，要证，只需证， 令， ， 由可得， 则时，恒成立，即在上单调递增， . 即，. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间，考查利用函数的最值得到不等式，考查利用导数 证明不等式成立问题，属于中档题 .要证明不等式成立，首先可以将不等式进行转化，然后构造函数，利用 导数对所构造的函数的单调性进行研究，由此证得不等式成立. 22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数），以坐标原点为极点，轴正 半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线的极坐标方程； （2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值 . 【答案】（1）； （ 2）4 【解析】 【分析】 （1）利用消掉参数，求得曲线的直角坐标方程，在利用极坐标和直角坐标相互转化的公 式，求得曲线的极坐标 .（2）设出两点的极坐标，写出三角形面积的表达式，并利用三角函数性质求 得面积的最大值. 【详解】（1）可知曲线的普通方程为， 所以曲线的极坐标方程为， 即. （2）由（ 1）不妨设， ， 所以面积的最大值为 4. 【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程相互转化，考查利用极坐标求解三角形 面积的最大值问题.属于中档题 . 23.已知使不等式成立 . （1）求满足条件的实数的集合； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围 . 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值不等式求得的取值范围，由此求得的取值范围，根据存在性问题求 得 的取值范围 .（2）由（ 1）知需要，利用基本不等式可求得的取值范围 . 【详解】（1）， . 使不等式成立，则， （2），不等式恒成立，即 ，所以， ，当且仅当时取等号 . 则 . 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查存在性问题的求解策略，考查利用基本不等式求范围. 属于中档题 .