2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案).pdf

2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷） 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题( 第 1 题第 20 题，共 20 题 ) 。本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题， 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 锥体的体积 1 3 VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合0,1,2,8A， 1,1,6,8B，那么 AB 2若复数z 满足i12iz，其中 i 是虚数单位，则z 的实部为 3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 5函数 2( )log1f xx的定义域为 6某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 7已知函数sin(2)() 22 yx的图象关于直线 3 x对称，则的值是 8在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点( ,0)F c到一条渐近线的距离为 3 2 c ，则其离心率的值是 9函数( )f x 满足(4)( )()fxf x xR ，且在区间 ( 2,2 上， cos,02, 2 ( ) 1 |, 20, 2 x x f x xx- 则(15)ff的值为 10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11若函数 32 ( )21()f xxaxaR 在 (0,) 内有且只有一个零点，则( )f x 在 1,1 上的最大值与最小值 的和为 12在平面直角坐标系xOy 中，A为直线:2lyx 上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB为直径的圆C与直 线l交于另一点D若0AB CD，则点A的横坐标为 13 在 ABC 中，角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ， 120ABC ， ABC的平分线交AC于点D， 且1BD ， 则4ac的最小值为 14已知集合 * |21,Ax xnnN， * |2 , n Bx xnN将 AB 的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列 n a记 n S 为数列 n a的前n项和，则使得 1 12 nn Sa成立的n的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 15 （本小题满分14 分） 在平行六面体 1111 ABCDAB C D 中， 1111 ,AAAB ABBC 求证： （ 1） 11 ABAB C平面； （2） 111 ABB AABC平面平面 16 （本小题满分14 分） 已知,为锐角， 4 tan 3 ， 5 cos() 5 （1）求cos2的值； （2）求 tan() 的值 17 （本小题满分14 分） 某农场有一块农田， 如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧 MPN（P为此圆弧的中点） 和线段MN构成 已 知圆O的半径为40 米，点P到MN的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的 地块形状为矩形ABCD， 大棚内的地块形状为CDP， 要求,A B 均在线段MN上， ,C D 均在圆弧上 设 OC与MN所成的角为 （1） 用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的 取值范围； （2） 若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时， 能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 18 （本小题满分16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点 1 ( 3,) 2 ，焦点 12 (3,0),( 3,0)FF，圆O的直径为 12 F F （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P 若直线l与椭圆 C有且只有一个公共点，求点P的坐标； 直线l与椭圆C交于,A B两点若OAB的面积为 2 6 7 ， 求直线l的方程 19 （本小题满分16 分） 记( ),( )fxg x 分别为函数( ),( )f xg x 的导函数若存在 0 xR ，满足 00 ()()f xg x且 00 ()()fxgx，则 称 0 x 为函数( )f x 与( )g x 的一个“ S点” （1）证明：函数( )f xx 与 2 ( )22g xxx不存在“S点”； （2）若函数 2 ( )1f xax与( )lng xx 存在“S点”，求实数a的值； （3）已知函数 2 ( )f xx a ， e ( ) x b g x x 对任意0a，判断是否存在0b，使函数( )f x 与( )g x 在 区间 (0, ) 内存在“S点”，并说明理由 20 （本小题满分16 分） 设 na 是首项为 1a ，公差为 d的等差数列， nb 是首项为 1b ，公比为 q的等比数列 （1）设 11 0,1,2abq，若 1 | nn ab b 对 1,2,3,4n均成立，求d的取值范围； （2）若 * 11 0,(1, 2 m abmqN，证明：存在dR，使得 1 | nn ab b 对 2,3,1nm均成立， 并求d的取值范围（用 1, ,b m q 表示） 数学试题参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5 分，共计70 分 11 ，8 22 3 90 48 52 ，+）6 3 10 7 6 82 9 2 2 10 4 3 11 3 123 13 9 1427 二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证 能力满分14 分 证明： （ 1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB平面A1B1C （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1A1B 又因为AB1B1C1，BCB1C1， 所以AB1BC 又因为A1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1平面A1BC 因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1平面A1BC 16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分14 分 解： （1）因为 4 tan 3 ， sin tan cos ，所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1，所以 29 cos 25 ， 因此， 27 cos22cos1 25 （2）因为,为锐角，所以(0, ) 又因为 5 cos() 5 ，所以 22 5 sin()1cos () 5 ， 因此 tan()2 因为 4 tan 3 ，所以 2 2tan24 tan 2 1tan7 ， 因此， tan2tan()2 tan()tan2() 1+tan2tan()11 17本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知 识分析和解决实际问题的能力满分14 分 解： （1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10 过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=， 故OE=40cos ，EC=40sin ， 则矩形ABCD的面积为2×40cos （40sin +10） =800（4sin cos+cos CDP的面积为 1 2 ×2×40cos（ 4040sin ）=1600（cossin cos） 过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 令GOK=0，则 sin 0= 1 4 ，0（ 0， 6 ） 当 0， 2 ）时，才能作出满足条件的矩形ABCD， 所以 sin 的取值范围是 1 4 ，1） 答：矩形ABCD的面积为800（4sin cos+cos）平方米，CDP的面积为 1600（cossin cos） ， sin 的取值范围是 1 4 ， 1） （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43， 设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0） ， 则年总产值为4k×800（ 4sin cos+cos）+3k×1600（ cossin cos） =8000k（sin cos+cos） ， 0， 2 ） 设f（）= sin cos+cos， 0， 2 ） ， 则 222 ( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令( )=0f，得 = 6 ， 当 （ 0， 6 ）时，( )0f，所以f（ ）为增函数； 当 （ 6 ， 2 ）时，( )0，设 32 ( )3h xxxax a 因为(0)0(1)1320hahaa，且h（x）的图象是不间断的， 所以存在 0x （ 0， 1） ，使得0()0h x，令 0 3 0 0 2 e (1) x x b x ，则b0 函数 2e ( )( ) x b f xxag x x ， 则 2 e (1) ( )2( ) x bx fxxg x x ， 由f（x）与g（x）且f（x）与g（x） ，得 2 2 e e (1) 2 x x b xa x bx x x ，即 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2e e (1) 2e (1) 2 e (1) x x x x x xa xx xx x xx （ * ） 此时， 0 x 满足方程组（* ） ，即 0 x 是函数f（x）与g（x）在区间（ 0，1）内的一个“ S点” 因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（ 0，+）内存在“S点” 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16 分 解： （ 1）由条件知： 1 12(,) n nn and b 因为 1 | nn ab b 对 n=1，2，3， 4 均成立， 即 1 12|()1| n nd对n=1，2，3，4 均成立， 即 11，1d3， 32d5，73d9，得 75 32 d 因此，d的取值范围为 7 5 , 3 2 （2）由条件知： 1 11 (1) , n nn abnd bbq 若存在d，使得 1 | nn ab b （ n=2，3，···，m+1）成立， 即 1 111 |1|2,3,(1() n bndb qb nm， 即当2,3,1nm时，d满足 11 11 2 11 nn qq bdb nn 因为(1, 2 m q，则 1 12 nm qq， 从而 1 1 2 0 1 n q b n ， 1 1 0 1 n q b n ，对2,3,1nm均成立 因此，取d=0 时， 1 | nn ab b 对 2,3,1nm均成立 下面讨论数列 1 2 1 n q n 的最大值和数列 1 1 n q n 的最小值（2,3,1nm） 当2nm时， 111 2222 111 () ()() nnnnnnnn qqnqqnqn qqq nnn nn n ， 当 1 12 m q时，有2 nm qq，从而 1 () 20 nnn n qqq 因此，当21nm时，数列 1 2 1 n q n 单调递增， 故数列 1 2 1 n q n 的最大值为 2 m q m 设( )()21 x f xx ，当x0 时，ln 21(0(n)l 2 2) x fxx， 所以( )f x 单调递减，从而( )f x f（ 0）=1 当2nm时， 1 1 111 211 1 () ()() n n n q q n n f qnnn n ， 因此，当21nm时，数列 1 1 n q n 单调递减， 故数列 1 1 n q n 的最小值为 m q m 因此，d的取值范围为 11 (2) , mm b qbq mm 数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 41：几何证明选讲( 本小题满分10 分) 如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点， 过P作圆O的切线，切点为C若2 3PC，求 BC的长 B 选修 42：矩阵与变换 ( 本小题满分10 分) 已知矩阵 23 12 A （1）求A的逆矩阵 1 A； （2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点P的坐标 C 选修 44：坐标系与参数方程( 本小题满分10 分) 在极坐标系中，直线l的方程为 sin()2 6 ，曲线C的方程为4cos，求直线l被曲线C截得 的弦长 D 选修 45：不等式选讲 ( 本小题满分10 分) 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求 222 xyz 的最小值 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分10 分） 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC 的中点 （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC 1所成角的正弦值 23 ( 本小题满分10 分) 设 * nN ，对 1，2，···，n的一个排列 1 2n i ii ，如果当st时， 有 stii ，则称 ( , )stii是排列1 2ni ii 的一个逆序，排列1 2ni ii 的所有逆序的总个数称为其逆序数例如： 对 1，2， 3 的一个排列231，只有两个逆序(2 ，1) ，(3 ，1)，则排列231 的逆序数为2记( ) n fk 为 1， 2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数 （1）求 34 (2),(2)ff的值； （2）求(2)(5) n fn的表达式 ( 用n表示 ) 数学 ( 附加题 ) 参考答案 21 【选做题】 A 选修 41：几何证明选讲 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10 分 证明： 连结OC因为PC与圆O相切，所以OCPC 又因为PC=2 3 ，OC=2， 所以OP= 22 PCOC=4 又因为OB=2，从而B为 RtOCP斜边的中点，所以BC=2 B 选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10 分 解： （1）因为 23 12 A， det( )221 310A，所以A可逆， 从而 1 A 23 12 （2）设P(x，y) ，则 233 121 x y ，所以 1 33 11 x y A， 因此，点P的坐标为 (3 ， 1) C 选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10 分 解： 因为曲线C的极坐标方程为=4cos， 所以曲线C的圆心为（ 2，0） ，直径为4 的圆 因为直线l的极坐标方程为 sin()2 6 ， 则直线l过A（4，0） ，倾斜角为 6 ， 所以A为直线l与圆C的一个交点 设另一个交点为B，则OAB= 6 连结OB，因为OA为直径，从而OBA= 2 ， 所以 4cos2 3 6 AB 因此，直线l被曲线C截得的弦长为2 3 D 选修 45：不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10 分 证明： 由柯西不等式，得 2222222 ()(122 )(22 )xyzxyz 因为22 =6xyz，所以 222 4xyz， 当且仅当 122 xyz 时，不等式取等号，此时 244 333 xyz， 所以 222 xyz 的最小值为4 22 【必做题】 本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问 题的能力满分10 分 解： 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB， 以 1 ,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O-xyz 因为AB=AA1=2， 所以 111 0, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC （1）因为P为A1B1的中点，所以 31 (,2) 22 P， 从而 1 31 (,2)(0,2,2 22 ),BPAC， 故 1 1 1 |14|3 10 |cos,| 20| |522 BP AC BP AC BPAC 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为 3 10 20 （2）因为Q为BC的中点，所以 3 1 (,0) 22 Q， 因此 3 3 (,0) 22 AQ，11(0,2,2),(0,0,2)ACCC 设n=（x，y，z）为平面AQC 1的一个法向量， 则 1 0, 0, AQ AC n n 即 33 0, 22 220. xy yz 不妨取(3, 1,1)n， 设直线CC1与平面AQC 1所成角为， 则 1 1 1 |25 sin|cos|, | |552 CC CC CC| n n n ， 所以直线CC1与平面AQC 1所成角的正弦值为 5 5 23 【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分10 分 解： （1）记()abc 为排列abc的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有 (123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3， 所以 333 (0)1(1)(2)2fff， 对 1，2，3，4 的排列，利用已有的1， 2，3 的排列，将数字4 添加进去， 4 在新排列中的位置只能是 最后三个位置 因此， 4333 (2)(2)(1)(0)5ffff （2）对一般的n（n4）的情形，逆序数为0 的排列只有一个： 12n，所以(0)1 n f 逆序数为1 的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1 n fn 为计算 1(2)n f，当 1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位 置只能是最后三个位置 因此， 1(2) (2)(1)(0)(2) nnnnn fffff n 当n5 时， 112544 (2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2) nnnnn ffffffff 2 4 2 (1)(2)4(2) 2 nn nnf， 因此，n5 时，(2) n f 2 2 2 nn