江苏省苏州市第一学期高三数学期中考试卷.pdf

苏州市 20072008学年第一学期期中考试试卷（高三数学） 一、填空题：2007 年 11 月 1、设全集UR，集合|0Mx x，|1 Nx x，则MN_ 2、函数 2 4yx的值域是 _ 3、已知命题 2 :,210pxRx，则p是_ 4、计算： 2 (12 ) 1 i i _ 5、已知函数 2 sin ( ) x f x x ，则'( )fx_ 6、等差数列 n a中，若 1815 3120aaa，则 910 2aa_ 7、不等式组 10 0 0 xy xy y 表示的平面区域的面积是_ 8、函数3sin(2)(0,) 6 yxx的减区间是 _ 9、椭圆 22 1 43 xy 的右焦点到直线3yx的距离是 _ 10、在ABC中，边, ,a b c所对角分别为,A B C，且 sincoscosABC abc ，则A_ 11、已知O为坐标原点，( 3,1),(0,5)OAOB，且/ACOB，BCAB，则点C的坐标为 _ 12、设函数 3 ( )2f xxax在区间(1,)上是增函数，则实数a的取值范围是_ 13、在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为 _米 14、方程 ln620xx 的解为x，则满足xx的最大整数解是_ 15、已知 n an，把数列 n a的各项排列成如下的三角形状： 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 记(, )A m n表示第m行的第n个数，则(10,12)A_ 16、已知函数 |sin1 ( )() | 1 xx f xxR x 的最大值为M，最小值为m，则Mm_ 二、解答题： 17、已知向量(5 3cos ,cos )axx，(sin ,2cos )bxx，函数 2 ( )f xa bb （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）当 62 x时，求函数( )f x的值域。 18、已知数列 n a的前n项和为 n S，且有 1 2a， 11 353 nnnn SaaS(2)n （1）求数列 n a的通项公式； （2）若(21) nn bna，求数列 n a的前n项的和 n T。 19、如图（ 1）一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60cm，,A C之间的距离是200m， ,B D间的距离为250m，,C D间距离为2000m，P点与A点间、Q点与B点间分别用直线式 桥索相连结， 立柱,PC QD间可以近似的看作是抛物线式钢索PEQ相连结，E为顶点， 与AB距 离为10m，现有一只江鸥从A点沿着钢索,AP PEQ QB走向B点，试写出从A点走到B点江鸥 距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。 王小明同学采用先建立直角坐标系，再求关系式的方法，他写道： A Q C BD P E 图（ 1） Q CBD P E 图（ 2） x y o 如图（ 2） ，以A点为原点，桥面AB所在直线为x轴，过A点且垂直与AB的直线为y轴，建立 直角坐标系， 则(0,0)A，(200,0)C，( )P，( )E，(2200,0)D，( )Q，(2450,0)B。 请你先把上面没有写全的坐标补全，然后在王小明同学已建立的直角坐标系下完整地解决本题。 20、设 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点 （1）若椭圆C上的点 3 (1, ) 2 A到 12 ,F F两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标； （2）设点P是（ 1）中所得椭圆上的动点， 1 (0,) 2 Q，求PQ的最大值； （3）已知椭圆具有性质：若,M N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点， 当直线,PMPN的斜率都存在，并记为 PM K、 PN K时，那么 PM K与 PN K之积是与点P位置无关 的定值。试对双曲线 22 22 1 xy ab 写出具有类似特性的性质，并加以证明。 21、设函数 3 ( ) 33 x x f x 上两点 111 (,)P x y、 222 (,)P xy，若 12 1 () 2 OPOPOP，且P点的横 坐标为 1 2 （1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值； （2）若 1 ( ) n n i i Sf n ，nN ，求 n S； （ 3）记 n T为数列 1 1 33 ()() 22 nn SS 的前n项和，若 2 3 () 2 nn TaS对一切nN都 成立，试求实数a的取值范围。 22、已知函数 2 ( ) mx f x x ()mR （1）若 1 3 log 8( )yf x在1,)上是单调减函数，求实数m的取值范围； （2）设( )( )lng xf xx，当2m时，求( )g x在 1 ,2 2 上的最大值。 参考答案： 一、填空题： 1、 R；2、0, 2；3、 2 ,210xRx；4、 71 22 i；5、 3 cos2sinxxx x ； 6、24；7、 1 4 ；8、 2 , 63 ；9、 3 2 ；10、90；11、 29 ( 3,) 4 ； 12、 3,)；13、 400 3 ；14、2；15、93；16、2 二、解答题： 17、 解： 2222 ( )5 3sincos2cos4cossin5 3sincos5cos1f xa bxxxxxxxx 5 31cos27 sin 2515sin(2) 2262 x xx，T 由 62 x，得 7 2 266 x， 1 sin(2)1 26 x， 717 15sin(2) 622 x 当 62 x时，函数( )f x的值域为 17 1, 2 18、解：由 11 335(2) nnnn SSaan， 1 2 nn aa，又 1 2a， 1 1 2 n n a a ， n a是以 2为首项， 1 2 为公比的等比数列， 122 11 2()()2 22 nnn n a 2 (21)2 n n bn， 1012 1 23252(21) 2 n n Tn（1） 01211 1 232(23) 2(21) 2 2 nn n Tnn（2） （1）（ 2）得 01211 22(222)(21) 2 2 nn n Tn 即： 11 11 1 121(2) 2(21) 26(23) 2 212 n nn n Tnn 2 1 2( 23) 2 n n Tn 19、解：(0,0),(200,0),(200,60),(1200,0),(2200,60,(2450,0)ACPEQB 设直线段PA满足关系式ykx，那么由60200k，得0.3k，即有0.3 ,0200yxx 设直线段QB满足关系式ylxb，那么由 02450 602200 lb lb ，解得0.24,588lb 即有0.24588,22002450yxx 设抛物线段PEQ满足关系式 2 (1200)10yr x，那么由 2 60(2001200)10r， 解得0.00005r， 2 0.0005(1200)10,2002200yxx 所以符合要求的函数是 2 0.30200 0.00005(1200)102002200 0.2458822002450 xx yxx xx 20、解： （ 1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到 12 ,F F两点的距离之和是4，得24a 即2a，又 3 (1, ) 2 A在椭圆上， 2 2 3 ( ) 1 2 1 2b ，解得 2 3b，于是 2 1c 所以椭圆C的方程是 22 1 43 xy ，焦点 12 ( 1,0),(1,0)FF 设( , )P x y，则 22 1 43 xy ， 22 4 4 3 xy 222222214111713 ()4()5 2343432 PQxyyyyyyy 又 33y ，当 3 2 y时， max 5PQ 类似的性质为：若,M N是双曲线 22 22 :1 xy C ab 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任 意一点，当直线,PM PN的斜率都存在，并记为, PMPN kk时，那么 PM k与 PN k之积是与点P位置 无关的定值。 设点(, )M m n，则点(,)Nmn，其中 22 22 1 mn ab ，设点( ,)P x y，则由 PM yn k xm ， PN yn k xm ，得 22 22 PMPN ynynyn kk xm xmxm ，将 22 222222 22 , bb yxbnmb aa 代入 上式得： 2 2 PMPN b kk a 21、解：设 1 (,) 2 p OPy，又 12 1 () 2 OPOPOP， 12 12 1, 2 p yy xxy， 又 12 12 12 33 1 3333 xx xx yy ， 12 1 22 p yy y 由 12 1xx，得 1212 33 ()()1, (1) 2 yyf xf xf 121 ( )()()() n nn Sffff nnnn ，又 121 ()() n nnn Sfff nnn 1 21 111 12 (1)23 n n Sfn 个 ，即 23 2 n n S 1 1 323314 , 2222(2)(3) 33 ()() 22 nn nn nn SS nn SS ， 从而 1114 4 3445(2)(3)33 n n T nnn ， 由 22 2 33881 (),0, 12 223 (3)(4)3 3 7 2 n nnn n Tn Ta SSa nn n S n 令 12 ( )g nn n ，易证( )g n在23,)上是增函数，在(0,23)上是减函数， 且(3)7,(4)7gg，( )g n的最大值为7，即 814 12 321 7n n ， 4 21 a 22、解： （ 1）因为函数 1 3 log 8( )yf x在1,)上是单调减函数，则根据复合函数的单调性 可得( )fx在1,)上是单调减函数，其导数在1,)上恒小于等于0，且满足( )8f x在 1,)上恒成立，所以 2 2 '( )0 xm fx x 恒成立，即 2 2 0 xm x 在1,)上恒成立，解得 1m 要使( )8fx在1,)上恒成立，只需要 max ( )8f x，又( )f x在1,)上单调减函数， (1)8f，解得9m，19m （2） 2 22 22 11 () 24 ( )ln ,'( ) xm mxxxm g xx g x xxx 当 1 0 4 m，即 1 4 m时，'( )0gx，( )g x在 1 ,2 2 上单调递减， max 11 ( )()2ln 2 22 g xgm 当 1 2 4 m时，由'( )0g x得 12 114114 , 22 mm xx， 显然 1212 1 111 1,2,2,2 2 222 xxxx，又 12 2 ()() '( ) xxxx gx x 当 2 1 2 xx时，'( )0gx，( )g x单调递增；（注意画草图，利用数形结合） 当 2 2xx时，'( )0gx，( )g x单调递减 max2 211 411411 4 ( )()ln14ln 222 114 mmmm g xg xm m 综上所述，（1）当 1 4 m时， max 1 ( )2ln 2 2 g xm； （2）当 1 2 4 m时， max 114 ( )14ln 2 m g xm