高三数学第一轮复习《双曲线》讲义.pdf

双曲线 要点梳理 1双曲线的概念 平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2| 2c0) 的距离之差的绝对值为常数2a(2a0，c0； (1) 当_ ac_时，P点不存在 这里要注意两点： (1) 距离之差的绝对值 (2)2a|F1F2| 时，动点轨迹不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a0，b0) y 2 a 2 x 2 b 21 (a0，b0) 图形 性 质 范围xa或xa，yRxR，ya或ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A1(a,0) ，A2(a,0)A1(0 ，a) ，A2(0 ，a) 渐近线 y± b ax y± a bx 离心率 e c a， e(1， ) ，其中ca 2b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| 2a；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴，它的长|B1B2| 2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的 半虚轴长 a、b、c 的关系 c 2 a 2b2 ( ca0，cb0) 1双曲线中a，b，c的关系 区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a 2 b 2 c 2，而在双曲线中 c 2a2 b 2 双曲线中有一个重要的RtOAB( 如右图 ) ， 它的三边长分别是a、b、c易见c 2 a 2 b 2， 若记AOB ，则e c a 1 cos 2渐近线与离心率 x 2 a 2y 2 b 21 (a0，b0)的一条渐近线的斜率为 b a b 2 a 2 c 2 a 2 a 2e 21可以看出，双 曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小 双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1) 3与渐近线有关的性质： 焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b 共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线 与双曲线 x 2 a 2y 2 b 21 共用渐近线的双曲线的方程可设为 x 2 a 2y 2 b 2t (t0) 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为 “0”就得到两渐近线方程，即方程 x 2 a 2 y 2 b 20 就是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的两条渐近线方程 双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0) 的渐近线方程是y± b ax， y 2 a 2 x 2 b 21 (a0，b0)的渐近线方程 是y± a b x 实轴长和虚轴长相等的双曲线为_等轴双曲线_，其渐近线方程为_ y±x _，离心率为 _ e2_ 4 直线与双曲线的位置关系： 直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如： 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双 曲线相交于一点， 但不是相切； 反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点 若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 基础自测 1双曲线2x 2 y 28 的实轴长是 ( ) A2 B 22 C4 D42 1C 2x 2 y 28， x 2 4 y 2 8 1，a2， 2a4. 2已知双曲线 x 2 2 y 2 b 21 (b0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为yx， 点P(3，y0) 在该双曲线上，则PF1 ·PF2 等于 ( ) A 12 B 2 C0 D4 3设直线l过双曲线C的一个焦点， 且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB| 为C的实轴长的2 倍，则C的离心率为 ( ) A.2 B.3 C 2 D3 3B 设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0) ，由于直线l过双曲线的焦点且与对称 轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入 x 2 a 2y 2 b 21 得y 2 b 2(c 2 a 21) b 4 a 2，y ± b 2 a，故 | AB| 2b 2 a ，依题意 2b 2 a 4a， b 2 a 22， c 2 a 2 a 2e 212， e3. 4已知点F1( 4,0) 和F2(4,0) ，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是 _x 2 9 y 2 7 1 (x3)_ _ 5 双曲线mx 2 y 21 的虚轴长是实轴长的 2 倍， 则m_ 1 4_ 6已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 _ 6 2 _ 7已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)和椭圆 x 2 16 y 2 9 1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_x 2 4 y 2 3 1_ 8若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 (a0，b0) 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心 率为 ( ) A 5 B 5 C 2 D2 9已知点 (m，n) 在双曲线8x 23y224 上，则 2m 4 的范围是 _ ( ， 423 4 23，) 10已知A(1,4) ，F是双曲线 x 2 4 y 2 121 的左焦点， P是双曲线右支上的动点，求|PF| |PA| 的最小值 解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知 |PF| 2a|PF1| 4|PF1| ， |PF| |PA| 4|PF1| |PA|. 当满足 |PF1| |PA| 最小时， |PF| |PA| 最小 由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足 |PF1| |PA| 最小，易求得最小值为|AF1| 5，故所求最小值为9. 双曲线标准方程的求法：(1) 定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满 足，求出相应的a、b、c，即可求得方程(2) 待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲 线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根 据题目条件确定相关的系数 题型一双曲线的标准方程 例 1 (1) 与双曲线 x 2 9 y 2 161 有共同的渐近线，且过点 ( 3,23) 求双曲线的标准方程； 解(1) 设所求双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 ( 0)， 将点 ( 3,23) 代入得 1 4，所求双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 1 4 ， 即x 2 9 4 y 2 4 1. (2) 已知双曲线与椭圆 x 2 9 y 2 251 的焦点相同， 且它们的离心率之和等于 14 5 ，则双曲线的方 程为 _ y 2 4 x 2 12 1 解析由于在椭圆 x 2 9 y 2 251 中， a 225， b 2 9，所以 c 216，c4，又椭圆的焦点在 y轴上，所以其焦点坐标为(0 ，±4)，离心率e 4 5. 根据题意知，双曲线的焦点也应在 y轴 上，坐标为 (0，±4)，且其离心率等于 14 5 4 52. 故设双曲线的方程为 y 2 a 2 x 2 b 21 (a0，b0) ， 且c4，所以a 1 2c2， a 2 4， b 2 c 2 a 212，于是双曲线的方程为 y 2 4 x 2 121. 探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e) 之 间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为ax±by0，可设双曲线 方程为a 2x2 b 2y2 ( 0) 变式训练 1 根据下列条件，求双曲线方程： (1) 若双曲线的渐近线方程为y±3x，它的一个焦点是(10，0)，求双曲线的方程； (1)x 2y 2 9 1 (2) 已知双曲线的渐近线方程为y± 4 3x，并且焦点都在圆 x 2 y 2100 上，求双曲线的方 程 (2) x 2 36 y 2 641 或 y 2 64 x 2 36 1 题型二双曲线的定义及应用 例 2已知定点A(0,7) ，B(0， 7) ，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一 焦点F的轨迹方程 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待 定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线的定 义时， 应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线 的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性 解设F(x，y) 为轨迹上的任意一点， 因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上， 所以 |FA| |CA| 2a，|FB| |CB| 2a ( 其中a表示椭圆的长半轴) 所以 |FA| |CA| |FB| |CB|. 所以 |FA| |FB| |CB| |CA| 12 292 12 2522. 所以 |FA| |FB| 2. 由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点， 2 为实轴长的双曲线的下半支上 所以点F的轨迹方程是y 2x 2 48 1 (y 1) 探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄 清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支若是一支， 是哪一支，以确保解答的正确 性 变式训练2 已知动圆M与圆C1：(x4) 2 y 2 2 外切，与圆 C2：(x4) 2 y 22 内切，求 动圆圆心M的轨迹方程 解设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1| r2， |MC 2| r2， |MC 1| |MC2| 22， 又C1( 4,0) ，C2(4,0) ， |C1C2| 8. 221 解(1) 由已知：c13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为 m、n，则 am4 7· 13 a 3· 13 m ，解得a7，m3. b 6，n2. 椭圆方程为 x 2 49 y 2 36 1，双曲线方程为 x 2 9 y 2 4 1. (2) 不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1| |PF2| 14， |PF1| |PF2| 6， 所以 |PF1| 10，|PF2| 4. 又|F1F2| 213， cosF1PF2 |PF1| 2 | PF2| 2 |F1F2| 2 2|PF1|PF2| 10 242 (2 13) 2 2×10×4 4 5. 变式训练3 (1)如图，已知F1、F2为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0) 的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P， 且PF1F230°，求： (1) 双曲线的离心率； (2) 双曲线的渐近线方程 (1)3 (2)y±2x (2) 已知点 P 是双曲线 22 2222 22 1(0,0) xy abxyab ab 和圆的一个交点，F1， F2是该双曲线的两个焦点，PF2F1=2PF1F2，则该双曲线的离心率为 A 1 2 B 31 2 C2 D 31 题型四直线与双曲线的位置关系 例 4 过双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐 标原点，F1为左焦点 (1) 求|AB| ； (2) 求AOB的面积； (3) 求证： |AF2| |BF2| |AF1| |BF1| (1) 解由双曲线的方程得a3，b6， ca 2b23， F1( 3,0) ，F2(3,0) 直线AB的方程为y 3 3 (x3) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，由 y 3 3 (x3) ， x 2 3 y 2 6 1， 得 5x 26x270. x1x2 6 5， x1x2 27 5 . |AB| 1k 2| x1x2| 1 3 3 2· (x1x2) 24x 1x2 4 3· 36 25 108 5 163 5 . (2) 解直线AB的方程变形为3x3y330. 原点O到直线AB的距离为d | 33| (3) 2(3)2 3 2. SAOB1 2| AB| ·d1 2× 163 5 × 3 2 123 5 . (3) 证明如图，由双曲线的定义得 |AF2| |AF1| 23， |BF1| |BF2| 23， |AF2| |AF1| |BF1| |BF2| ， 即|AF2| |BF2| |AF1| |BF1|. 探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系 解 决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方 程组，消元后转化成关于x( 或y) 的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想 解题 设直线与双曲线交于A(x1，y1) ，B(x2，y2) 两点， 直线的斜率为k，则|AB| 1k 2| x1 x2| 变式训练4 直线l：ykx1 与双曲线C：2x 2 y 21 的右支交于不同的两点 A、B (1) 求实数k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在， 求 出k的值；若不存在，说明理由 解(1) 将直 线l的方程y=kx+1代入双曲 线C 的 方 程2x2-y2=1后，整理得 (k2-2)x2+2kx+2=0. 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点， 故 k 220， (2k) 2 8(k 22)0 ， 2k k 220， 2 k 220. 解得k的取值范围是20. 由, 2 ykxm yx 得A点的坐标为 2 (,), 2 -2- mm kk 由, 2 ykxm yx 得B点的坐标为 -2 (,). 22 mm kk 由,APPB得P点的坐标为 121 (-),(), 12 -212 -2 mm kkkk 将P点坐标代入 2 2 -1, 4 y x得 22 2 4(1) . 4- m k 设Q为直线AB与y轴的交点 , 则Q点的坐标为 (0,m). 11 | | | 22 AOBAOQBOQAB SSSOQxOQx 11 (-)() 222-2 AB mm mxxm kk 2 2 1411 ()1. 2 4 -2 m k 记 111 ( )()1,2, 23 S 由S()=0，得 =1, 又 189 (1)2,( ),(2), 334 SSS 当 =1 时，AOB的面积取得最小值2 变式训练5 已知双曲线C：x 2 2 y 21. 求双曲线C的渐近线方程； 已知M点坐标为 (0,1) ，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点 记 MP ·MQ ，求 的取值范围 解 因为a2，b1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为 y 2 2 x0，y 2 2 x0. 设P点坐标为 (x0，y0) ，则Q的坐标为 ( x0，y0) ， MP ·MQ (x0，y01)·( x0，y01) x 2 0y 2 0 1 3 2x 2 02. |x0| 2， 的取值范围是 ( ， 1 双曲线练习（1） 一、选择题 1双曲线中心在原点，且一个焦点为F1( 5，0) ，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点 坐标为 (0,2) ，则该双曲线的方程是( ) A. x 2 4 y 21 Bx 2y 2 4 1 C. x 2 2 y 2 3 1 D. x 2 3 y 2 2 1 2设点P在双曲线 x 2 9 y 2 161 上，若 F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1| |PF2| 13， 则F1PF2的周长等于 ( ) A22 B16 C14 D12 3若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的实轴长是焦距的 1 2，则该双曲线的渐近线方程是 ( ) Ay± 3 2 xBy±2x Cy±3xDy±22x 4设直线l过双曲线C的一个焦点， 且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB| 为C的实轴长的2 倍，则C的离心率为 ( ) A.2 B.3 C 2 D3 5已知点F1(2，0)、F2(2，0) ，动点P满足 |PF2| |PF1| 2，当点P的纵坐标是 1 2时， 点P到坐标原点的距离是( ) A. 6 2 B. 3 2 C.3 D2 6设F1、F2分别是双曲线x 2y 2 9 1 的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1 ·PF2 0，则 |PF1 PF2 | 等于( ) A.10 B 210 C.5 D25 二、填空题 7已知中心在原点的双曲线C，过点P(2 ，3) 且离心率为2，则双曲线C的标准方程为 _ _x 2 3 y 2 9 1 或 y 2 5 3 x 2 5 1 _ 8如图，点P是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 上除顶点外 的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为 半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M， 则|F1M| ·|F2M| _ b 2 _. 9设m是常数，若点F(0,5) 是双曲线 y 2 m x 2 9 1 的一个焦点，则m_16_. 解析由已知条件有5 2 m9，所以m16. 10设圆过双曲线 x 2 9 y 2 161 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲 线中心的距离为_16 3 _ 三、解答题 11根据下列条件，求双曲线方程： (1) 与双曲线 x 2 9 y 2 161 有共同的渐近线，且经过点 ( 3，23) ； (2) 与双曲线 x 2 16 y 2 4 1 有公共焦点，且过点(32，2) 解(1) 方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为 x 2 a 2y 2 b 21， 由题意，得 b a 4 3， 2 a 2 3 2 b 21， 解得a 29 4， b 24.(4 分) 所以双曲线的方程为 4 9x 2y 2 4 1. 方法二设所求双曲线方程 x 2 9 y 2 16 ( 0)， 将点 ( 3,23) 代入得 1 4，所以双曲线方程为 x 2 9 y 2 16 1 4， 即4 9x 2y 2 4 1. (2) 设双曲线方程为 x 2 a 2y 2 b 21. 由题意c25. 又双曲线过点 (32，2) ， 2 2 a 2 4 b 21. 又a 2 b 2 (2 5) 2， a 212， b 28. 故所求双曲线的方程为 x 2 12 y 2 8 1. 12设A，B分别为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0) 的左，右顶点，双曲线的实轴长为43， 焦点到渐近线的距离为3. (1) 求双曲线的方程； (2) 已知直线y 3 3 x2 与双曲线的右支交于M、N两点， 且在双曲线的右支上存在点D，使 OM ON tOD ，求t的值及点D的坐标 解(1) 由题意知a23，一条渐近线为y b ax，即 bxay0， |bc| b 2 a 2 3， b 23，双曲线的方程为 x 2 12 y 2 3 1. (2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2) ，D(x0，y0) ， 则x1x2tx0，y1y2ty0， 将直线方程代入双曲线方程得x 2 16 3x840，则x1x2163，y1y212， x0 y0 43 3 ， x 2 0 12 y 2 0 3 1， x043， y03， t4，点D的坐标为 (43，3) 双曲线练习（2） 一、选择题 1双曲线 x 2 a 2y 2 b 2 1 的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点， 则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是( ) A相交B 相离C 相切D内含 2已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x 2 y 26x50 相切， 且双曲 线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( ) A. x 2 5 y 2 4 1 B. x 2 4 y 2 5 1 C. x 2 3 y 2 6 1 D. x 2 6 y 2 3 1 双曲线 x 2 a 2y 2 b 21 的渐近线方程为y± b ax， 圆C的标准方程为(x3) 2 y 24，圆心为 C(3,0) 又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0 与圆C相切， 3b a 2 b 22， 5b 24a2. 又 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的右焦点F2(a 2 b 2，0) 为圆心 C(3,0)， a 2 b 29. 由得a 25， b 24. 双曲线的标准方程为 x 2 5 y 2 4 1. 3过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的右焦点F作圆x 2 y 2 a 2 的切线FM( 切点为M) ，交y轴 于点P. 若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C2 D.5 4已知点F是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0) 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂 直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A(1 ， ) B (1,2) C (1,1 2) D(2 ，) 5若点O和点F( 2,0) 分别为双曲线 x 2 a 2y 2 1 ( a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支 上的任意一点，则OP ·FP 的取值范围为( ) A3 23， ) B 3 23， ) C. 7 4， D. 7 4， 二、填空题 6已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°， 则双曲线C的离心率为 _ 6 2 _ 7设双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为 半径的圆与双曲线C的渐近线yb ax 交于点A( 不同于O点) ， 则OAF的面积为 _ab_ 8设点F1，F2是双曲线x 2y 2 3 1 的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1| 4|PF2| ， 则PF1F2的面积为 _315_ 9已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上， 且|PF1| 4|PF2| ，则此双曲线的离心率e的最大值为 _5 3_ 10已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右 支于A，B两点若ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面积之比 SAF1F2SBF1F221，则双曲线的离心率为_ 21 3 _ 三、解答题 11设圆C与两圆 (x5) 2y24，( x5) 2 y 24 中的一个内切，另一个外切 (1) 求圆C的圆心轨迹L的方程； (2) 已知点M( 35 5 ， 45 5 ) ，F(5，0)，且P为L上动点，求 |MP| |FP| 的最大值及此时 点P的坐标 解(1) 设圆C的圆心坐标为 (x，y) ，半径为r. 圆(x5) 2 y 24 的圆心为 F1( 5，0)，半径为2， 圆(x5) 2 y 24 的圆心为 F(5，0)，半径为2. 由题意得 |CF1| r2， |CF| r 2 或 |CF1| r2， |CF| r2， |CF1| |CF| 4. |F1F| 254. 圆C的圆心轨迹是以F1( 5，0) ，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为 x 2 4 y 21. (2) 由图知， |MP| |FP| |MF| ， 当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时， |MP| |FP| 取得最大值 |MF| ，(8 分) 且|MF| 35 5 5 2 45 5 22. 直线MF的方程为y 2x25，与双曲线方程联立得 y 2x25， x 2 4 y 21， 整理得 15x 232 5x840. 解得x1 145 15 ( 舍去 ) ，x2 65 5 . 此时y 25 5 . 当 |MP| |FP| 取得最大值2时，点P的坐标为 ( 65 5 ， 25 5 ) 12已知椭圆C1的方程为 x 2 4 y 21，双曲线 C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2 的左、右顶点分别是C1的左、右焦点 (1) 求双曲线C2的方程； (2) 若直线l：ykx2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA ·OB 2 ( 其中O为原 点) ，求k的取值范围 解(1) 设双曲线C2的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21， 则a 2413， c 24，由 a 2 b 2 c 2，得 b 2 1， 故C2的方程为 x 2 3 y 21. (2) 将ykx2代入 x 2 3 y 21，得 (1 3k2) x 26 2kx90. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 13k 20. ( 62k) 236(13k2) 36(1 k 2)0. k 21 3且 k 22，得x1x2y1y22， 3k 27 3k 212，即 3k 29 3k 210，解得 1 3k 23， 由得 1 3k 21. 故k的取值范围为 1， 3 3 3 3 ，1 . 13已知定点A( 1,0) ，F(2,0) ，定直线l：x 1 2，不在 x轴上的动点P与点F的距离是它 到直线l的距离的2 倍设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC 分别交l于点M、N. (1) 求E的方程； (2) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由 解(1) 设P(x，y) ， 则x 2 y 22 x 1 2 ，化简得x 2y 2 3 1(y0) (2) 当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2) (k0)，与双曲线方程x 2y 2 3 1 联立消去y， 得(3 k 2) x 24k2x(4 k 23) 0. 由题意知， 3 k 20 且 0. 设B(x1，y1) ，C(x2，y2) ，则x1x2 4k 2 k 23，x1x2 4k 23 k 23， y1y2k 2( x1 2)(x22) k 2 x1x22x1x24 k 2 4k 23 k 23 8k 2 k 234 9k 2 k 23. 因为x1，x2 1， 所以直线AB的方程为y y1 x11( x1) 因此M点的坐标为 1 2， 3y1 x1 ， FM 3 2， 3y1 x1 . 同理可得FN 3 2， 3y2 x2 . 因此FM ·FN 3 2 × 3 2 9y1y2 x1x2 9 4 81k 2 k 23 4 4k 23 k 2 3 4k 2 k 2 31 0. 当直线BC与x轴垂直时，其方程为x2，则B(2,3)，C(2 ， 3) AB的方程为yx1， 因此M点的坐标为 1 2， 3 2 ，FM 3 2， 3 2 . 同理可得FN 3 2， 3 2 . 因此FM ·FN 3 2 × 3 2 3 2× 3 2 0.(13 分) 综上，FM ·FN 0，故 FMFN. 故以线段MN为直径的圆过点F.