2019版一轮复习文数通用版：第四单元导数及其应用.docx.pdf

第四单元导数及其应用 知识点一 1.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 /U）=c（c为常数）f (x)=0 f (X)= 71X n_1 f f ( 兀)=COS X f(x)=cosxf' (x)= sin x f(x)=a x f (x)=a xln_fl f(x)=e x f W=e x fix) =logaX(a0,且a H1)f (x)_ xln a J(x)=nx f ( 心 2.导数的运算法则 (1) 心) 士处)'=f (x)±g, (x)； 心）=r（x）g（x）+f （x）g , （X）； (g(go) ? 小题速通 i?下列求导运算正确的是（） D. (x 2cosx) 1 = 2sinx /sin x,故选B? 2.函数fix)= (x+2a)(x a)2的导数为 () A. 2(x-a) B. 2(x 2+a2) C?3(x 2-a2) D?3(x 2+a2) 解析：选C */f(x)=(x+2a)(xa) 2=x33a2x+2a3 , : ?f (x)=3(x 2a2). 过双 基 解析：选B p； (log2x)' xln2* (3 “)' = 3 xln 3; (x2cos x) f = 2xcos x B? （10胡 =爲 教材复习课 导数的基本运算 f (x)gd) 一心0 ( 兀) gd)F C. (3了=3 xlog 3e 3.函数f(x)=ax 3+3x1 2 3 +2f若f (-1)=4,则a 的值是 () 解析：选D 因为f (x)=3ax 2+6x f 所以f (_l)=3a_6=4, 4. (2016?天漳髙考 ) 已知函数f(x)=(2x+)e x f f (x)为心) 的导函数，则f (0)的值为 解析：因为/(x)=(2x+l)e x, 所以f (x) = 2e x+(2x+ l)ex=(2x+3)ex, 所以f (0)=3e°=3? 答案：3 清易错 1?利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如( 兀“) =/n：“T中川H0且 畀WQ*, (cos x)' = sinx? 2.注意公式不要用混 ,WY “Ina,而不是 ( 巧 =xa x_,. 2 已知函数/lx)=sinx cosx,若f(x)=U),则tan兀的值为 () A.1 B. -3 C?一1 D. 2 解析：选B ?:f (x)=(sin x cos x)z =cos 兀+sin x, 又f (x)=|/U), .?.cosx+sinx=|sinx-|cosx, :.tanx= 3. 3 若函数f(x)=2 x+nx 且f (d)=0,则2nln 2 a=( ) A?一1 B. 1 C?-In 2 D. In 2 解析：选A f (x)=2 xn 2+, 由f =2“ln2+ =0,得2“ln2=丄，则a?2“?ln2 Cw c0,则ZU)在这个区 间上是增加的 . 若f(X)VO,则7U)在这个区间上是减少的 . (3)若f ( 工)=0,则/U)在这个区间内是常数 . 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求厂( 兀)? (2)在定义域内解不等式f (x)0或f (Qv0? (3)根据结果确定/U)的单调性及单调区间 . 小题速通 1.函数/U)=2X 3-9X2+12X +1 的单调减区间是 () A.(1,2) B. (2, +8) C?( 一 8, 1) D. ( 一8, 1)和(2, +8) 解析：选A 解f (X)=6X 2-18X +12x+c0时，由导函数f (x)=aX L+hx+c 的图象可知，导函数在区间(0, xj) 内的值是大于0的，则在此区间内函数/U)单调递增 . 只有D选项符合题意 . 3.已知/(x)=x 2+?x+31nx 在(1, +8)上是增函数，则实数a的取值范围为 ( A.(8, 2令f (x)0), 因为函数f(x)=x 2ax+n x 有极值 , 令g( 工)=/ 处+1,且g(0)=l0, 答案：(2, +8) 5.设 X，兀2是函数f(x) =xlax 2+a2x 的两个极值点，若xi0 可得Q1 或x2. 1.已知函数/(x)=logflx(a0 且aHl),若f (1)=-1,则d=() A. e C7 D*2 解析：选B因为f ( 兀)=盲匕，所以f(1)=金=一1，所以加a= 1,所以a=|. 2?直线y=kx+1与曲线y=x 2+ax+b 相切于点A(l,3),则2a+b的值为 ( ) A. 一1 B. 1 C. 2 D. 2 解析：选C 由曲线y=x 2+ax+b f得=2x+af 卜+1=3, 由题意可得，k=2+a, j+a+b=3, 所以2a+b=2? 3.函数J=2X 3-3X2 的极值情况为 () A.在x=0处取得极大值0,但无极小值 B.在x= l处取得极小值一1,但无极大值 C.在工=0处取得极大值0,在工=1处取得极小值一1 D.以上都不对 解析：选C y' =6x 26x, 由y f =6x 26x0,可得 xl或x1,所以加 Wl? 5.函数/(x)=(x-3)e x 的单调递增区间是 () A. (8, 2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2, +8) 解析：选D 依题意得f (x)=(x-3) / ex+(x-3)(ex)/ =(x-2)e 令f (x)0,解得 k=2, 解得2, :.fix)的单调递增区间是 (2, +8).故选D. 6.已知函数 /U)=x(x m) 2 在兀=1处取得极小值，则实数m=( ) A. 0 B? 1 C?2 D?3 解析：选B f(x)=x(x 2-2mx+m2)=x3-2mx2+m2x, 所以f，(x)=3x 24mx+m2= (x-m)(3x-m). 由 f (1)=0 可得m=l 或m=3?当m=3 时，f 仪)=3仪一1)仪一3),当lvxv3时，f (x)3时，f' (x)0,此时在x=l处取得极大值，不合题意，/.m= 1,此时(x)=(xl)(3x1),当 vxvl 时,f (x)l 时，f 7 (x)0, 此时在 x=l处取得极小值 . 选B? 7.已知曲线j=j-31nx的一条切线的斜率为 *, 则切点的横坐标为 () A. 3 B? 2 C. 1 D.| 解析：选A 已知曲线31n x(x0)的一条切线的斜率为 *, 由 得兀=3,故选A. 12“, xWO, 8.若函数f(x)= .“的值域为0, +8),则实数a的取值范围是 () lx' 3x+a, x0 A?23 B. (2,3 C?( 一8, 2 D?( 一 8, 2) 解析：选A 当兀WO时，0W/)=l-2*vl； 当x0 时，f(x)=x 33x+a, f (x)=3x 23, 当工日0,1)时，f (x)0, /U)单调递增， 所以当x=l时，函数血0取得最小值f(l)=l-3+a=a-2.由题意得0Wa2W1,解 得 2WaW3,选A? 二、填空题 9.若函数f(x)=x+anx不是单调函数，则实数a的取值范围是 _ ? 解析：由题意知/U)的定义域为(0, + °° ), f (x)=l+￥，要使函数f(x)=x+an x不 是单调函 数，则需方程1+￥ =0在(0, +8)上有解，即x=at?.avO? 答案： ( 一 8, 0) 10.已知函数fix)=n x-f (-1)X 2+3X -4,则f (1)= _ ? 解析：Tf M= 2f r ( l)x+3, ?f ( 一1)=一1+“ ( 一1)+3, ?f ( 一1)=一2,?f (1)=1+4+3=8. 答案：8 11.已知函数何的图象在点M(l,川) 处的切线方程是j=|x+3,则(1)= 117 解析：由题意知f (1)=2, 1+3=2， 7 1 ?/U)+f (1)=2 +2=4- 答案：4 12.已知函数g(x)满足g(x)=g , eig(O)x+|?,且存在实数工° , 使得不等式亦 lMggj)成立，贝IJ实数m的取值范围为 _ ? 解析：g' (Q=g (l)e x_1-g(0)+x, 令工=1 时，得g(l)=g (1)一g(0)+l, ?g(0)=l, g(0)=g (l)e 0_1 = l, ?/ (l)=e, ?g(x)=e xx+|x2, g' (x)=ev1+x, 当兀v0 时，g f (x)0, :. 当x=0时, 函数g( 兀) 取得最小值g(O)=l? 根据题意得2m 1 g(x)mjn = 1,? ? 加Ml. 答案:1, +8) 三、解答题 13.已知函数 ./U)=X+￥ +(XHO),其中a,方WR? 若曲线y=/U)在点P(2,人2)处的切线方程为j=3x+l,求函数7U)的解析式； (2)讨论函数/U)的单调性； (3)若对于任意的a电，2不等式/(x)10在事1上恒成立，求实数的取值范围. 解:f ( 工)=1 一令( 兀HO), 由已知及导数的几何意义得f (2)=3,则a=-8? 由切点P(2, ./(2)在直线y=3x+l上可得一2+方=7,解得b=9,所以函数 ./( 兀) 的解析 式为f(x)=x-+9. (2)由(1)知f (x)=l ? 当aWO时，显然f (x)0,这时/U)在(一8, 0), (0, +8)上是增函数 . 当a0 时，令f (x)=0,解得x=± V, 当兀变化时，f (x),只兀) 的变化情况如下表： X ( 8, 逅) yfa( 込，0)(0, ya)(yfa, +°°) f(X)+ 0 0 + f(x)极大值 极小值 所以当?0时，/U)在( 一込 ) ，( 逅，+8)上是增函数，在 ( 一寸0), (0, ya) 上是减函数 . (3)由(2)知，对于任意的aE 2 ,不等式/U)W10在1上恒成立等价于 所以实数的取值范围是( 一8,孑. 14.已知函数心 )=汁( 一111兀一扌，其中aWR,且曲线 )=何在点(1, /U)处的切线 垂直于直线丿 =去? 求a的值； (2)求函数/U)的单调区间与极值 . 解：对心 ) 求导，得f (x)=|4(xo),由/U)在点(i, /(!)处的切线垂直于直 3 5 知f (1)=一二一。 =一2,解得a=T. (2)由(1)知几劝 =亍+忑一In x , X 24x5 则 / (x)= TZ2 , 令f (x)=0,解得x= 1或兀=5? 因为兀 =一1不在. 兀T)的定义域(0, +8)内，故舍去 . 当xG(0,5)时，f (x)0, 故/U)在(5, +8)内为增函数 . 由此知函数ZU)在x=5时取得极小值J(5) = -ln5,无极大值 . 高考研究课 ( 一) 导数运算是基点、几何意义是重点 全国卷5年命题分析 考点考査频度考査角度 导数的几何意义5年8考求切线、已知切线求参数、求切点坐标 sse 一 导数的运算 (2)已知/!(x)=sin x+cos xtf ,+i(x)是( 工) 的导函数，即( 工)=斤(x) 9f3(x)=f2 , (x), fn+lM=fn ， (x), 则f 2 018(X)等于() A. sin 兀cos兀B. sin xcos x C. sinx+cosx D. cos xsin x (3)已知函数 /( 兀) 的导函数为f(X),且满足心)=2灯 (l)+lnx,则f (1)=() A. e B. 1 C. 1 D. e 解析(l)v/ (x)= pcos x+ (sin x), ?w)+f ?=4+? ( _i)=4- (2) V/i(x)=sin x+cos xt ' (x)=cos xsin x, ? /i(x)=' (x) = sin xcosx, ? /i(x)=Z/ (x) = cos x+sin x, ?/( 兀)=打(x)=sin x+cos x, :.fn(X)是以4为周期的函数， ?fi 01 s() =cos Xsin x,故选D? 由心)=2灯/ (l)+lnx，得f (x)=2f (l)+p ?f (l)=2f f (1)+1,则f (1)=-1. 答案(1)C D (3)B (1)(2018?恵州棋拟 ) 已知函数/U)=osx,则/0r)+f ? =( 典 方法技巧 1.可导函数的求导步骤 (1)分析函数y=f(x)的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案 . 2.求导运算应遵循的原则 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运 算量，提高运算速度，减少差错. 1?(2018-江西九校联考 ) 已知j=(x+l)(x+2)(x+3),则十 =( ) A?3X 45-12X +6B. X 2+12X -11 C?X 2+12X +6D?3X 2+12X +11 解析：选D 法一：=(X+2)(X+3)+(X+1)(X+3)+(X+1)(X+2)=3X 2+12X +11.法二： VJ=(X 2+3X +2)(X+3)=X 3+6X2+11X +6, ? ? / =3X 2+12X +11 ? 2.已知函数f(x)=xnx 9若f (x0)=2,则卫)= _ ? 解析：f (x)=lnx+l,由f (x0)=2, 即In xo+l=2,解得x()=e. 答案：e 多般护导数的几何意义 导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第 问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)确定切点坐标； (3)已知切线求参数值或范围； (4)切线的综合应用 . 角度一：求切线方程 1.已知函数f(x) = n(l+x)-x+x 2 9则曲线y=f(x)在点(1, /(!)处的切线方程是 4 3 解析:V/ ( 工)=匸匚一1+2兀，?f (1)=2, /(l)=ln 2,?曲线丿 =心) 在点(1,川) 3 处的切线方程为jIn 2=空（兀一1）,即3兀一2y+2ln 23=0. 答案：3x-2j+21n 2-3=0 角度二：确定切点坐标 2. （2018-沈阳棋拟）在平面直角坐标系“y中，点M在曲线C： j=x 3-xl ±,且在 第三象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2,则点M的坐标为 _ ? 解析：=3X 2-1,曲线 C在点M处的切线的斜率为2,?3兀21 = 2, x=±l, 又? ?点M在第三象限， ?兀=一1,?丿=（一1）3 （一1）一1 = 一1, ? ?点M的坐标为（一1, 一1）? 答案：（-1, -1） 角度三：已知切线求参数值或范围 3. （2017*武汉一棋）己知a为常数，若曲线j=ar 2+3xIn x _h 存在与直线x+j 1=0 垂直的切线，则实数a的取值范围是 _ ? 解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1, 所以=2ax+3 =1有正根， 即2?x2+2x1=0有正根 . 当aMO时，显然满足题意； 当aVO时，需满足/M0,解得一舟WaVO. 综上，舟? 答案：一务 +°°） 4.若两曲线y=x 2-l 与y=alnx l存在公切线，则正实数a的取值范围是 _ ? 解析：设y=anx1的切点为（心，j0）,求导=f, 则切线的斜率为2, 所以公切线方程为j（alnx0l）=y（xxo）, 联立方程y=x 2l 可得x 2x+aan x o=O, x（） 则a=4x?（lIn xo ）. 由题意，可得 /= 4（aaln x（）=0, 令f(x) =4/( 1 一in x)(x0),则f (x)=4x(1-21n x), 易知，函数,/(x)=4x 2(lInx) 在(0, 当a2时, 令g (x)=0, 得Xi=a1 /(?l) 21, x2=al +/(? l)21. 由X21和XiX2=l得Xi x4j+2=0 C. 4x+2j-l = 0 D. 4x2j1=0 切线方程为 =不三（兀 1）， 解析:*f(x)=xnx, :.f (x)=ln x+1, 由题意得f (x0)*( 1)= 1, 即f g)=loin x()+1 = loin 兀0=()0工0= 1, ?/Uo)=l?lnl=O, ?P(1,O)? 答案：(1,0) 10.设过曲线f(x)=-e x-x(e 为自然对数的底数 ) 上的任意一点的切线为h，总存在过曲线 g(x)=/?zx3sin x上的一点处的切线12使h丄切 则m的取值范围是 _ ? 解析：设曲线/U)上任意一点A(xi, ji),曲线g(x)上存在一点 B(X2,力) ，f (x)=e x 1, g r (x)=/?z3cos x? 由题意可得f(Xi)g/ (x2)= 1,且f 1), g 1 (X 2)=m3cos x2 m 3, Z77+3? 因为过曲线fix)=-e x-x(e 为自然对数的底数 ) 上的任意一点的切线为h,总存在过曲线 g(x)=nzx 3sin兀上的一点处的切线b,使h丄b, 所以(0,1)匸 力一3, m+3f所以加一3W0,且加+3M1,解得一2WmW3? 答案:-23 三、解答题 11?已知函数,Ax)=|x 3-2x2+3x(xeR) 的图象为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的 取值范围 . 解：(1)由题意得f (X)=X 2-4X +3, 则f ( 兀)=( 兀一2)2 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是 一1, +8). (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k, 则由题意，及(1)可知，1 一产 T， 解得一1WRV0 或 故由一lx 24x+30, 所以函数g(x)在(1, +8)上单调递增 . 又g(l)=-ln 20, 从而7ivjq)v萌. 2.函数y=f(x)图象上不同两点M(xp ji), Ng丿2)处的切线的斜率分别是如，kz，规定血 M,N) = ' 诂M(MM为线段MN的长度 ) 叫做曲线y=f(x)在点M与点N之间的“弯曲度”? 设曲线f(x)=x 3+2 上不同两点M(xif jj), Ng力) ，且xix2=l,则0(M, N)的 取值范围是 _ 解析：f (x)=3x 2,设 Xi+x2=Z(kl2), _ |3#3 对 寸(X _兀2)2 + ( + 2_2)2 |3*-3 | 寸( 兀1 一兀2)21 +(兀1+兀内 + 兀鮎 3卜一尤2卜旳+兀2| 1兀1 一兀2吋1 + ?I +兀2)2xmF 3扫+总1 3|f| 3 /l + (Xi+x2)2I 2 寸1 + (/_1)2 设g(x)=x+,x4，则g (x)=lA0,所以g(x)4.(4, +°° )±单调递增，所以g(x)g(4) 9 2* 高考研究课 ( 二) 函数单调性必考，导数工具离不了 全国卷5年命题分析 考点考查频度考查角度 函数单调性5年8考讨论单调性及证明单调性问题 则(p(M, N)= 所以00). 若a0,则当xE(0, a)时，f (x)0, 函数/U)单调递增； 若a=0,则f (x)=2x0在xW(0, +8)内恒成立，函数/U)单调递增； 若avO,则当xGO, 一？时，f (x)0,函数/U)单调递增 . 方法技巧 导数法判断函数冷 ) 在a方) 内单调性的步骤 求f(X) ； (2)确定f 在(a,切内的符号； (3)作出结论：f( 兀)0时为增函数；f ( 工)V0时为减函数 . 提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分 类讨论 . 即时演练 1. (2017-芜湖一棋 ) 函数/(x)=e x-ex, xR 的单调递增区间是 () A?(0, +°° ) B?(_8, 0) C?(_8, 1) D?(l，+° ° ) 解析：选D 由题意知，f (x)=ex-e,令f (x)0,解得xl,故选D? 2.(2016-全国卷II节选 ) 讨论函数血 :)= 訐|的单调性，并证明当Q0时，(x-2)ex +x+20. 解：/U)的定义域为 ( 一8, -2)U(-2, 4-oo). 当且仅当兀=0时，f (x) = 0,所以ZU)在( 一8, -2), (-2, +8)上单调递增 . 因此当xG(0, +8) 时，几巧刃(0)= 一1. 所以(x-2)ex-(x+2),即(x2)e x+x+20. 匕魁條阴 利用导数研究函数单调性的应用 s- 可知f f叶日罟 g 击 ( 卄2)2 由f(x) = (Tn x + x 2 ax 函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点?，常见的命题角度有 : （1）J =AX）与 y=f （工）的图象辨识； （2）比较大小； （3）已知函数单调性求参数的取值范围； （4）构造函数解不等式 . 角度一：y=fix ）与y=f （兀）的图象辨识 1 ?已知函数f （x）=ax 3+bx2+cx+d f若函数心）的图象如图所示, 则一 定有（） A. /?0, c0 B. bvQ, c0 C.方0, cvo D. X）, cvo 解析：选B 由函数的图象与丿轴的交点在原点的上方可知，J0, f （x）=3ax 2+2bx +c,由 函数的图象可知，函数/U）有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f（X）2h c =0有两个大于0不同的实根，且a0,由根与系数的关系可得一齐0,齐0,则bvo, c0? 2. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f （X）的图象如图所示，则该函数的图象是（） A 解析：选B 由函数/U）的导函 数y=f（工）的图象自左至右是先增后减，可知函数丿= 人兀）图象的切线的斜率自左至右先 增大后减小 . 角度二：比较大小 3.已知函数F(x)=xf(x) t /(x)W足x)，且当xe(oo, 0时，F' (x)vO 成立, 若?=2 0J- A2 0J)， b=n 2-/(ln 2), c=log2|j(log2,则a, b, c 的大小关系是 () A. abc B. cab C- cba D?acb 解析：选C 因为所以ZU）是偶函数，则函数F（x）=mQ是奇函数 . 因为当兀 ?（ 8, 0时,F'（兀）v0成立， 所以F（x）在（一8, 0上是减函数， 所以F（x）在R上是减函数， 因为20ll,0ba. 角度三：已知函数单调性求参数的取值范围 y 厂 T O 1 X y :Vo D 1 力 C -1 B o 1 兀 4. (2018-宝鸡一检 )已知函数/(x)=x 2+4x+?ln x, 若函数 . 心) 在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是 () A.( 6, +°° ) B.(8, -16) C?( 一8, -16JUI-6, +8) D. (8, -i6)u(-6, +8) 解析：选C?了( 兀) 的定义域为(0, +8), . , .a 2x 2+4x+a f (x)=2x+4+-= - - , /U)在(1,2)上是单调函数， :( 兀)$0或f (x)W0在(1,2)上恒成立， 即2x2+4x+a0 或2x 2+4x+a0 在(1,2)上恒成立， 即(2X 2+4X )或a (2x 2+4x) 在(1,2)上恒成立 . 记g(x) = (2x 2+4x), 1 0(或f (x) /V3, 或+3 OXY1 或253. (4)若已知/U)在D上不单调，则/U)在D上有极值点，且极值点不是D的端点 . 角度四：构造函数解不等式 6.已知函数f仗) 是函数 ./( 兀) 的导函数，且/0)=右对任意实数都有(x)0, 则不等式 fix)x 2,则不等式 (x+2 018)+2 018)-/(-1)x 2(xl 时，f(X)=R恒成立，即在区间(1, +8)上恒成立 . 因为xlf所以00,则由f (x)=0,得x=ln a. 当xW(-8, na)时，f (x)0. 故/tr)在( 一 8, In a)上单调递减，在(In a, +8)上单调递增 . 若aVO,则由f' (x)=0,得x=ln( 另? (-8, 时,f 1 (x)0. 故/U)在( 一8, ln(窃上单调递减， 在QO, + 8)上单调递增 . (2)若a=0,则7U)=e“,所以/U)N0? 若a0,则由(1)得，当x=ln a时，/( 兀) 取得最小值，最小值为f(n a) = ?2In a. 从而当且仅当一?2ln aO,即OVaWl时， 若aVO,则由得，当工=ln( 另时， /( 兀) 取得最小值，最小值为?ln( ) = ln( 号? 从而当且仅当彳扌一ln(号NO, 3 即一2a0),令f (x)=0,得x=2或x=l,当02/(1) B. /(0)+?A2)W“U) C. /(0)+/(2)1时，f (x)0, 此时函数 /U)单调递增， ?当X=1时，函数./U)取得极小值同时也取得最小值， 所以.AO)/(1), .A2)/(1),则爪0)+爪2)幼1)? 4.已知函数f(x)=xsin x, Xp兀2丘( 一号，号 ), 且/UJV/g)，那么() B.Xj+x20 D.x?xl° C. Xj X20 解析: 选D由f(x)=xsinx得f (x)=sin x+xcosx=cos x(tan x+x)9当0, 时，f (x)0, 和(1, + °° ). f (x)0, 5. (2017?皆林长暮三棋 ) 定义在R上的函数/U)满足：f ( 兀)心) 恒成立，若Xiex汛ti) B.exl/lx2)0,所以g(x)单调递增，当xiex 2f(xl). 6. (2018?九江棋拟 ) 已知函数f(x) =x 2+2axn x, 若/U)在区间甘，2上是增函数，则实 数a的取值范围为 () A(-8, t B(? +8) C. (-8, +8) 解析：选B f (x)=x+2a 0在壬，2上恒成立， 即2aN工+丄在T, 2上恒成立， X?. 8 4 .?.2心3,即心§? 二、填空题 7.设函数心 )=兀电一1)一去2,则函数爪兀 ) 的单调增区间为 _ . 解析：因为f(x) =x(ex 1)2 x2，所以 f =e“一1+xe“ x=(e* l)(x+l)?令f (x)0, 即(ex- l)-(x+l)0,解得xG(-oo, 一1)或XG(O, +?).所以函数/U)的单调增区间为 ( 一° ° , 1)和(0, +°° ). 答案： ( 一8, 1)和(0, +oo) 8?已知函数f(x)=xn xax 2x. 若函数/(x)在定义域上为减函数，则实数a的取值范围 是_ . 解析：由题意可知函数 /( 兀) 的定义域为(0, + °° ). f (x)=ln x2axf因为函数 /( 兀) 在定义域上为减函数， 所以In兀一2axW0,即在(0, +8)上恒成立， 入lnx 1 lnx 令g(x)=，则g(x)= 2,' 当00 :当xe 时，g' (x)0, g(x)单调递增， 当xln2时，g (x)0.讨论/U)的单调性? 解：由题意知，ZU)的定义域是(0, + °° ),导函数f ( 工)=1+吕一￥=: 屮+2 设g(x)=x 2or+2, 二次方程g(x)=0 的判别式 /=/ 8. 当/W0,即00都有f (x)N0?此时/U)是(0, +8)上的单调递增函 数. aU$ 当/0,即a2y2时，方程g(x) = 0有两个不同的实根小=冷 - ，x2 = 由f(X)O,得0X2. 由f'(X)f 力( 兀)W( 8, 3,二aM3, 即a的取值范围是 一3, +8). (2) V 2f(x) N J?+tnx 3, 即mx ：2xn x+x 2+3, 又x0, :.m 2xlnx+x +3 在xW(0, +8)上恒成立 . . 2xln X+X 2+3 . _ 3 7 己f ( 兀)= :=21n x+x+. ?”(x)J+i 仝 = ± = a+3)厂1) 7 X X X X 令厂(x)=0,得x=l或兀=3(舍去). 当皿(0,1)时,e(x)o,函数/( 工) 在(1, +8)上单调递增 . ?fCv)min = f(l) = 4? .?.rn/(x)min=4, 即m的最大值为4. 12. (2018-湖南十校联考 ) 函数/Kx)=|x 3+|x-6r|(xGR, aWR). 若函数 /(*) 在R上为增函数，求a的取值范围； 若函数 /( 兀) 在R上不单调时，记 /( 兀) 在1,1上的最大值、最小值分别 为M(a), m(a)9 令g(x)=x 3+xa,则 g (x)=x 2+l0, 所以gtr ）在a, +8）上为增函数 . 令7i(x)=x 3x+a,则方' (x)=x 21. 令 F （X）= 0,得X=±l,所以（兀）在（一 8, 1）和（1, +8）上是增函数，在（一 1）上 为减函数 . （1）因为/U）在R上是增函数，所以加兀）在（一8, a）上为增函数，所以aW-l? 故a的取值范围为（一8, 1. （2）因为函数/U）在R上不单调，所以a-. 当一lvavl时，/ （兀）在（°° , 1）上是增函数，在（一1, a）上是减函数，在a, +° ° ）-L 是增函数， 3 所以2（4）=亍， M(d)=max/i( 1), g(l) = max(a 4 2 1 . 4 当亍 “$“+ 于 即KaW亍时，M(a)=a, 4 2 1 2 当ava+于即gsvl 时，M(a)=a+y M(a)m(a)=亍(a° 3a2). 当al时，ZU）在-1,1±是减函数 , 2 2 所以m(a)=h(l)=a y M(a)=h( l)=a+y _3(a'+3a4), lvaWg, 解：由已知得，f （x） = 贋力自选题 1.已知函数/lx）=In x+（ea）xb,其中e为自然对数的底数 . 若不等式/（x）WO恒成 立，贝唸的最小值为_ . 解析：T函数/（x）=lnx+（ea）x方，其中e为自然对数的底数， :?f（兀）=2+e-a（x0）, 当aWe时，f 仗）0恒成立，爪兀）在（0, +8）上是增函数，0不可能恒成立， 当ae 时，由f'（兀） =+ea=0,得x= , J x a_e 当x=丄时，血：）取最大值 , a e 1ln(ae), ?、一l-ln(d-e)/ .、 ?- (ae), a a ' 八 _7兀 +1+ln(x e) 则F 1 ( 工)= - - ( 工一e)ln(xe)e (xe)x2， 令H(x)=(x e)lnCr e)e, 则H f (x)=ln(x-e)+l, 由(x)=0,得x=e+, 当xG（e+|, +8）时，H r （x）0, H（x）是增函数 , 岭e+时, H r （x）0, H（兀） 是减函数， Vx-e 时，H(x)-0, x2e 时，H(x)0, H(2e)=0, ，+8时，f（x）o, /U）单调递减 , 令F（兀） = 1ln(兀一 e) x Ue), /. 当x=e+时H（兀）取最小值H（e+ =e 时,f（x）o, / （工）单调递 增, 当xe 0, 当xe ?不等式/U）W 0恒成 立, ? ?当xe(e,2e)时，F f (x)0, F(x)是增函数 , ：.x=2e时，F(x)取最小值，F(2e)=-, ?上的最小值为一丄 . ae 答案:- 2.已知函数f(x) =ln(x+? )+ax(aeR). (1)当a= 1时，求函数y=fM的极值； (2)讨论函数y=/U)的单调性 . 解: 当。 =一1 时,f(x)=n(x-l)-x(xl)9 ,1 2x 则f (x)=hl=h? 由f (x)2;由f (x)0,得1W2, 所以./U)极大值 =介2)= 2,无极小值 . 函数几巧的定义域为 ( 一a, +8), 当aNO时，f (x)0,所以函数/U)在( 一 +8) 上为增函数 . 当X0 时，令f (x)=0,解得x=-a-af当f ( 工)0 时，解得一aa,函数心 ) 在(a +8)上 为单调递减函数 . 综上所述，当aMO时，函数/U)在( 一°, +8) 上单调递增；当?0;当x=2时，f (x)=0;当一2 VxVl 时，f (x)2时，f (x) 0?由此可得函数/U)在x=2处取得 极大值，在x=2处取得极小值 . 故选D. 角度二：已知函数求极值 2.已知函数f(x)=x-l+(aR f e为自然对数的底数 ). (1)若曲线丿 =心) 在点(1,笊1)处的切线平行于X轴，求a的值； (2)求函数 /( 兀) 的极值 . 解:(1)由心)=工一1+总，得f仗)=1一畚? 又曲线y=f(x)在点(1, /(I)处的切线平行于工轴， 得f (1)=0,即1一2=0,解得a=e? e f (x)=l- 畚， 当aWO时，f (x)0, /U)为( 一8, +8)上的增函数，所以函数 /( 工)无极值 . 当a0 时，令f (x)=0,得e x=a,即 x=na,当xE(8, ina)时，f (x)0,所以几巧在 ( °°, n a)上单调递减，在(In a, +8)上单 调递增，故/(X)在x=ln a 处取得极小值，且极小值为f(ln a)=n at无极大值 . 综上，当aWO时，函数 ./( 兀) 无极值；当a0时，血0在x=n a处取得极小值In a,无 极大值 . 角度三：已知极值求参数值或范围 3?设函数f(x)=n xax 2bx f若x= 1是./U)的极大值点，则a的取值范围是 () A. ( 一1,0) B. ( 一1, +8) C.(0,1) D? (1, +8) 解析：选B f ( 工)=2arb(x0), 因为x=i是/U)的极大值点， 所以f (l) = l-a=0,即b=_a, 则f (x)=-ax-l+a= h - , - (x0), 当avO时，因为兀=1是几r)的极大值点， 所以/U)在(0,1),( 一审+8)上是增函数，在(1, 一上是减函数，则一夕1,即一l0时，/U)在(0,1)是增函数，在(1, +8)上是减函数 , 所以x=l是/( 兀) 的极大值点 . 综上，a的取值范围是 ( 一1, +8). 4- (2018-江西