25函数的连续性.docx.pdf

课 题：2? 5 教学目的： 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断两数在一点是 否连续 . 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理?教学重点：函数 在一点连续必须满足三个条件. 教学难点：借助几何图象得岀最人值最小值定理. 授课类型：新授课?课时安排：1课时. 教 具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 木节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函 数在开区间和闭区间连续的定义，两数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大 最小值定理 . 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做 铺禁，它是承上启下的 . 函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学住重点掌握 的内容 ?函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的. 借助函数的儿何 图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最人值最小俏定理. 函数在一点连续必 须满足三个条件，缺一不可?如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生 观察、总结岀来 . 同样借助几何图象得出最人值最小值定理. 在学牛已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学牛主动地总结岀 函数在一点连续的三个条件及概念. 以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应， 得岀函数在区间上连续的概念. 让学生主动地学习 . 教学过程： 一、复习引入： 1. lim /(x) = cz lim /(x) = lim /(x) = a xxo 其中lim f(x) = a表示当兀从左侧趋近于心时的左极限，lim f(x) = a表 示当兀从右侧趋近于兀0时的右极限? 2.我们前而学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数， 不同的是函数的定义域往往是连续的. 而数列的定义域是自然数集，是一个一个离 散的点 ?而在我们口常生活中，也会碰到这种情况?比如温度计的水银柱高度会随 着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的 邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加( 打个比方：20克以内是 8毛钱邮票 ,21克30克是1元,31克40克是1.2元) 等等 ?这就要求我们去研究函 数的连续与不连续问题? 二、讲解新课： 1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点 x=x()处连续，就是说图象在点4X()处是不屮断的 . 下而我们一起来看一下几张函 数图象，并观察一下，它们在X二丸处的连续情况，以及极限情况. (1) (2) (3) 分析图，第一，看函数在必是否连续. 第二，在必是否有极限，若有与/( 勺) 的 值关系如何： 图(1),函数在勺连续，在丸处冇极限，并极限就等于兀. 图(2),函数在也不连续，在兀。处有极限，但极限不等于几切) ，因为函数在 也 处没有定义 . 图(3),函数在X。不连续，在也处没有极限. 图(4),函数在心处不连续，在也处有极限，但极限不等于尢°) 的值 . 两数在点兀二驹处要冇定义，是根据图(2)得到的，根据图(3),函数在 =呵 处 要有极限，根据图(4),函数在入 =罚处的极限要等于函数在x=ro处的函数值即/Uo). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. . 函数/( 劝在点x=x0处连续必须满足卜 - 面三个条件 . (1)函数张 ) 在点x=x()处有定义； (2) lim./U)存在； XT? (3)limywhu。) ，即函数张 ) 在点也处的极限值等于这一点的函数值. XT” 如果上述三个条件屮有一个条件不满足，就说函数沧 ) 在点兀 () 处不连续 . 那 根 据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 2.函 数 在 一 - 点 连续的定义： 如果函数人对 在点兀二呵处 有定义，lim/U) 存在, XT/ H. lim/U)h(xo),那么函数/U)在点处连续 . XT“ 山笫三个条件，lim/U)二/U() )就可以知道lim./U)是存在的，所以我们下定? 丫一兀0 XTXo 义时可以再简洁一点 . 函数几0在点忌处连续的定义 . 如果函数） =/?在点心如）处及其附近有定义，并Jllim/W二心），就说函 XT“ 数/U）在点心处连续 . 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间b）内连续的定义. 区间是 由点构成的，只要函数/U）在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也 就连续了 . 3.函数/U）在，历内连续的定义： 如果函数/W在某一开区间（a,历内每一点处连续，就说函数7U）在开区间（a, b）内连续，或/U）是开区间（d, b）内的连续函数 . 冗0在开区间（a, b）内的每一点以及在b两点都连续，现在函数/（x）的定 义域是 B，刃，若在a点连续，则/U）在a点的极限存在并JL等于f（a）f即在a 点 的左、右极限都存在，且都等于f （a）,兀0在（a,历内的每一点处连续，在a 点处 右极限存在等于阿在b点处左极限存在等于f （b）. 4屈数/（x）在a, b上连续的定义 : 如果/ 在开区间方）内连续，在左端点x=d处有lim AA-）=/（?）,在右端 1 点*方处有limm/3 ）,就说苗数金）在闭区间a,刃上连续，或沧）是闭区间 .V a, b上的连续两数 . 如果函数 / 在闭区间° , 刃上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲 线. 我们來看这张图，它是连续的，在心“两点的值都是取到，所以它一定有一 个最高点和一个最低点，假设在心这点最高；那么它的函数值最人，就是说°, 刃区间上的各个点的值都不大于?处的值，用数学语言表示就是/ （“） 习?, xG a,刃，同理，设疋是最低点，几丫2）今?, 炸a, b . 5.最大值 /U）是闭区间a, 上的连续函数，如果対于任意xW a, b, 心）刁 心），那么沧）在点 Q处有最大值乐J. 6.最小值 、几x）是闭区间a,刃上的连续函数，如果对于任意兀丘a,刃, 九“2） W/，那么沧）在点X 2处有最小值 / （疋） . 由图我们可以知道，函数/ （兀）在a, b上连续，则一定有授大授小值， 这 -1 是闭区间上连续函数的一个性质. 最大，敲小值可以在a内的点取到，也可以 在°, b两个端点上取到 . 7.最大值最小值定理 如果沧 ) 是闭区间a,刃上的连续函数 , 那么/( 兀) 在闭区间a, b上有 最人 值和最小值? 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面 看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的. 三、讲解范例： 例1讨论卜列两数在给定点处的连续性. (1 )f(x)= ，点x=0. (2)g(x)=siiu，点 x=0. 分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便. 我们已经画出了两个函数的图象了. 从图中，我们可以直接看出在*() 处函 数 连续的情况， 函数/(x)=-在点x=()处不连续，因为函数 /(%)=- 在点x=0处没有定义 . 函数g(x)二sinx在点x=()处连续，因为函数g(x)=sinr,在x=()及附近部有定 义,lim sinx 存在IL lim sinx=O 而sinO=O. A0 Ao 解：(1)?函数/(x)二丄在点x=0处没有定义?它在点A-=0处不连续 . X 解：(2) V lim siiix=0=sin0, /. 函数g(x)=siiu 在点、x=0 处是连续的 . 门一0 点评：写g(x)=sinx在点*0处连续只要把笫三个条件写一下就可以，因为它 已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了. 例2求. 心) 炸一1, 1的最人值和最小值 . 解：最大值70)=1；最小值、 /( 1)二一1. 四、课堂练习： 1.下面我们直接从图中，观察函数x=a处是否连续，并说岀理由. (1)连续. 因为函数在点处有定义，极限存在，并H.极限值等于在a点的函 数值?(如图(1) (2)不连续 . 因为函数在处的极限值不等于在4°处的函数值.( 如图 ) 连续. 因 为函数在点处，冇定义，冇极限，极限值等于函数值.( 如图) (4)不连续 . 因为函数在x-a处没有极限 .( 如图(4) 不连续 . 因为函数在处没有定义 .( 如图(5) 2?利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续. (lg)二丄，点*0 X 解：?vw在*o处没有定义 ?九) 在*o处不连续 . (2)fix)=x.点 x=0 解：?lim/U)=0=A0), ? ：/U)在x=0处连续 . XTO 扣-5) 1x1 x 4x + 6 求/U)的定义域；( 2)作出沧 ) 的图形；( 3)判断/(x)是否处处连续 . 解：( 听) 的定义域是一4, 3.5. (2笊兀) 的图象如图所示 . (3)由张) 的图象可知 , 在定义域4, 3.5上，金 ) 在点x=T 处不连续，因为几 尤) 在1处没有极限 . (1) (2) (3) (4) * yi 点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知棊木初等函数在其定 义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交 界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数 在该点处不连续 . 4.利用函数的连续性求K列极限? l-e x (l)lim(lg 2x+引 gx+4)； (2)lim - x-?10 XTO J + 初等函数（比如 *; o常数，指数*1数、对数*1数、正弦函数等等）在其定义 域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续 的，这样就可以求初等函数的极限了. 可以用此法求解，（3）中，由于在*1 处不连续，所以不能直接用來求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求 极限 . 解：（1）由于lgL+引gx+4 在 * 1 （）处连续 . 因此lim（l gL+引g.r+4）=lg 2 l（）+31g 10+4=8. 由于匕在*0处连续，因此lim上匕=上4 = 口 = 0? 1+5 1+1+?） 1 + 1 坂一1 由于右在卄连续 . 霞-1 二im (仁1)筋+1) 二血心+ 1 7x-l (Vx-l)(V? + 心 +1) I 好 + 仮 +1 （%= 1点为此函数的连续点） VI + 1 _2 vf+vr+i -3 五、小结 : 这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条 件: 函数 / 在点4x（）处有定义lim/（x）存在. lim./U ）=/U） .还有函数 在开Xf丫0 Xx0 区间，闭区间上连续的定义以及闭区间上连续函数有最大值. 最小值的定义和最大 值最小值定理 . 六、课后作业： 1.- 七.板书设计（略）? 八.课后记： 因此lim x-l