3高考复习指导讲义第三章不等式.docx.pdf

高考复习指导讲义第三章 不爭式 一、 考纲要求 1.明确不等式的意义，掌握不等式的主要性质，并能疋确灵活地应用这些性质解决问题. 2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法的基础上掌握高次不等式和分式 不等式的解法 . 3.掌握一些简单的无理不等式的解法. 4.掌握一些简单绝对值不等式的解法. 5.掌握一些简单指数与对数不等式的解法. 6.能利用分类讨论的方法解含参数的不等式. 7.掌握不等式的证明，掌握证明不等式的比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法、反 证法、换元法、判别式法. c?若a0, b0, c0,则有： a+b$2临（当fL仅当a二b时取等号）； a+b+c3 jcibc（当.1?仅当护b二c时収等号）； a'+b'+c' 23abc （当且仅当a二b二c时取等号） . C.分析法： 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件把证明这个不等式的问题转化为这些条 件是否具备的问题?如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所求证的不等式成立，这种证明 方法叫分析法，分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件來代 替両而的不等式，直至找到已知不等式为止. 6.不等式的应用 利用不等式求最值，主耍利用公式 3. + +? + 3/ ?亠 / - - 冷2?亠, 其中a0（i=l,2,?n） n /7? 当&+比+?+5 （常数）时 , 乘积a】?a2-a,有最大值 , 其最大值为（-） n,当且仅 n 当ai=a2=a?时取最大值 . （2）当內?a2?an=N（常数）时 , 和ai+a2+an有最小值 , 其最小值为”亓 , 当且仅当 ai=a2=-=a,时取最小值 . 利用此公式求最值，必须同时满足下面三个条件: 各项均为正数； 其和或积为常数； 等号必须成立 . 利用此公式求最值，只需学握n二2, 3时的情形 . 三、知识点、能力点提Z5 （一）“相等”与“不等”的关系 “相等”和“不等”是现实世界物质形式屮量与量的两种重耍的关系，它们是相互关联, 相互依存 的，在一定的条件下，互相转化. 在数学学习过程中，要注意“相等”与“不等” 的相互关系，抓住 实质性联系，通过“相等”与“不等”的转化，找到解决问题的途径，达到解决问题的目的 . 为便于 说明，举例如下： 1. “相等”与“不等”相互转化. a) “相等”向“不等”的转化 JI 例1 在AABC 中，已知1 gtgA+lgtgc=21gtgB.求证：一 . 32 这个问题的已知是三角形中量的一?种和等关系，要求从相等的条件岀发，去推证出关于另一 ( 些) 量的不等关系?虽说本题考査的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析 法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系” 的转化，抓住这一实 质特征，就可以找到解决问题的方法?当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题 意激活知识也是必不可少的. 简解:1 gtgA+1 gtgC=21 gtgB= 1 gtgA ? tgctg 2B=tgA ? tgc tgB=tg(A+C)gA + gC 1-0 ?*. tgA+tgC=tgB (tg 2B 1 ) *?* t gA+1 gC 3 2 J tgA ? tgC =2tgB 即tgB-15：2 ?tgB V3 VB& 3 c t QA + taC 这里, 抓住了tg2B=tgA -tgC这一相等关系及tgB二- 隐含关系?通过tgA+tgC 1-tgA-tgC $2 JtgAtgC这一恒成立的不等式得出关于tgB的不等式，求解即得结论. b) “不等”向“相等”的转化. i )由实数理论知：若ab且ab则必有a=b,这是由“不等”变为“相等”的典型模型 , 在数学运 算中经常用到 , 例如：由(x-y)V 0及隐含条件(x-y)空0可以导出(x-y) 2 =0 ii)添加变量使“不等”变“相等” ?例如: 由x+y0=y-x可含y=-x+t,这里t0, 从而把x,y的 “不等”关系转化为某种“相等”关系. 例2 已知a、b、CER,函数f (x)=ax 2+bx+c, g(x)=ax+b,当 TWxWl 时， f(x)Wl (1)证明:IcIWI (2)证明: 当丨x丨W1时，I g(x) I W2 (3)设a0,当| x|W 1时,g(x)的最大值是2,求f(x). 本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，山于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论 证能力的耍求很肓，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的 不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放 缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化?这里仅剖析第(3)小题. 已知告诉我们：对一切xw -1,1, g(x)W2恒成立，这是不等的关系, 由此( 加上“a 0”)要得lllf(x)的表 达式, 即给出一组值 , 使之分别与a、b、c相等, 很明显是“不等” 向“相等”的转化. 简解如下： Va0, Ag(x)=ax+b 是T, 1上的增函数 , 当x=l 时,g(x)max=g(l) 即：a+b=g(l)=2=f(l)-f(0) ?-lWf(0)=f(l)-2W1-2W-1 c=f (0)=-1 ?当-lWxWl吋f(x)Al恒成立，即f(x)Mf(0) ?肓线x=O是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得=0,即b二0代入得沪2 2d .*.f ( X)=2X 2-1 2. “相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键Z处在于构建出相关的不等关系, 再将这个 不等关系向冃标 ( 不等式 ) 作进一步的变形处理即可. a)在“相等关系”中构造出“不等关系”： 途径：利用重要不等式：i)aW2ab ii)a b、CG R*, iii)- + -2(a. b0)等等 a b 利用函数单调性 :f(x)是区间I上的增函数 , 若xi、x2el,则f (x2)f(x2) ； 利用等量关系中的隐含条件，如 “x 2- 1 20 c I x I W B y= Vx 2 -1 = x2+y 2=a2 = k I y$0 I y I Wa 例3 已知a、bw R 且a Jl - / 异+b Jl - / 二1,求证a 2+b2=l 这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、儿何法等, 但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下： 证明：J a J1-戸 W屛+1心b Jl-/ w b+ld两式相加得 2 2 ajl 沪+bjl / wi又已知ajl 尸+bjl / =1,则上述两不等式必同时取等号 即a=71-/? 2 ,b=71-?2 /. a 2+b2=l 例4求满足(X 2+2X +3) (y 2+l)=2 的实数x, y 解：VX 2+2X +3=(X+1)2+22+1M1 ? ? (X 2+2X +3) (y 2+l) N2 当且仅当X 2+2X +3=2, y2+l=l 时成立解之得x=-l 且y=0 b)在“不 等”关系中构造“相等”关系. fxrcos() yrsin 8 数形结合，构造函数( 或方程 )?例：A/5-4X 2-X 可设yF75-4x2-x,y2=x fi2 例5 求证：一 2, nwN,右端展开式中的各项为正 ?丁2 2 T n-1 例6为使不等式x 2+4xy+4y2+1 Ox+ay+b0 对任意实数x、y IP?成立，求实数a、b应满 足的 条件. 解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y2+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正增最 t,可令x2+4xy+4y 2+10x+ay+b= (x+2y+m) 2+t=xJ+4xy+4y2+2mx+4my+m2+4 ?：x+y二rcos 0 +rsin 9 = rsin(0 + -)V2 i9,否 则z20 Vx0, JzL y0 且6二x+y#2 =xyW9 故z?二xy-9W0 ? ? z=0且x=y=3 4.由不等推出才盾： 反证法是“数学家最粘: 良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题 中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点由不等导出矛盾. 例9已知锐角a, B满足 2竺+竺炉勺，求证a+0=- sin 0 sin a 2 r ji77 y? 证明：假设a+B ,则 ?-3, 3-? 2 2 2 10=2m a=4m b 二i+t(t0) 所以当a二20,b25时，原不筹式恒成立. 例7已知x'+yMl,求x+y的最大值 . 分析：这里 , 量x+y与的直接关系可以通过2 &+)M (x+y)2得出，还可以通过 换元令x=rcos() , y=rsin 0 ,则有r2l ?OWrWl 根据多项式相等的条件有: r a=20 b=25+t25 T ci，P , 一2, - P G (0,) 2 2 2 JI /?cos a O( k- I 8 O TWkW5 I f(-l)f(l) WO 1(5-k) (l-k) WO 9 综上可知 ,ke -一，5 8 2.不等式与函数最值 (1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角 的，儿何的问题屮都有人量的求最值问题，求函数的值域也帘归结为两数的最值；许多实际 问题的应用题也能利用最值解决. 而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题， 代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有看广泛的应用价值，( 课本上 虽为二个正数，但可 推广到三、四个及多个的情形) 在利用它解决问题吋，要注意三个条件“一正、二定、三能等” B|J：这儿个数都必须是正数. 例如：当xy=4,如果没冇x、y都 为正数这个条件，就不能说x+y有 最小值4,因为若x二y二-2虽满足xy=4但x+y二-4V4.这 儿个数必须满足条件“和为定值”或 “积为定值”，如果找不岀“定值”这个条件，就不能 y=x 2+ 的最小值 , 若写成y=x 2+ x x 为定值，故y二x'+ 二x'+丄+丄3 x 2x 2x 3兀2 ? - 7 = T 'V2 , 即ymin=二V2 ( 显 然弓逅几乎 0)不成立，这只能说y4恒成立，因此畑4必 sinx 4 成立，实际上由y二t+在(0, 1 ±是单调减函数可知, 当sinx=l fit ymin=5 t (2)不等式与二次函数y=ax2+bx+c (aHO)的最椎 xeR时 七 n, b nl 4ac-b 2 七 小b nI4ac-b 2 当a0 时,x=-时，ymin= - ；当a V0, x=-时 丫如二 - 2a 4a 2a 4a 当xw Lm,n (m0, y=ax 2+bx+c 的最值如下表 nJ 2a -b - mW-W 2a n + m m+n b 2a 2 最大值f(m) f(m) f(n) f(n) 最小值f(n) 嗨) f( -A) 2a f (m) 当aVO时, 可依上表写出类似结论. 应用这两个定理 . 例如：当x0时，求 x2 -=2 77 ( 等号当且仅当x 2=lgp X=1 时 y( nin: 产2盯=2)则最小值为2,这是错误的?而 应该是这样伙由于 2x 2x 2 . 二4. 但*in=4是错误的，因 2 (3)重要函数y二x+c, (a0,x0)的单调性 . 利用不等式的性质可证明，y二x+ f(m)在(o,巫) 上是减函数，在QS 临， + yjx 2 y2 -xz 简析： r x2+y“-xy=x 2+y2-2xycos60 ° l ± l| y 2+z2-yz=y2+z2-2yzcos60 ° 联想到余弦定理，构造三棱锥Z2+X 2-XZ =X 2+ Z 2-2XZCOS 60 ° o-ABC 得证（如图），AB二Jx? + y? xy BC= Jy? + / _ yz CA= 7x 2 + z2 - xz 及 A ABC 中,AB+BOAC 2)对于一些含有“A? B或丄( A+B)? C”结构的不等式问题，可联想面积证明 2 之 例14 设ac, bc0,求证：Jc(a ? c) +Qc(b一c) W 简析：?( JT匚)'+(&)?(JF)2 (Va-c) 2+(Vc)2=(V )2 即勾股定理，Jc(a? c) + Jc(b_c)二& (Ja ? c + Jb? c ) 联想到梯形面积可用 补形法构造一个梯形.( 如图二 ) 3)対于含有唁+圧二严结构的不等式问题，可联想长方体中的対角线与棱长的公式，构造长 方体. la A + bB + C 4)対于一些含有“( m)2+(b-n)2 ”或 1 . 结构的不等式问题可用解几中的 两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证. 5)对含有“ ( +b2二F且aA+bB+C=0 ”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 解：y= = A/X 2 +4 A/X 2 +4 o Ja- c 2.运用不等式知识解决几何最值 这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识( 如函数单调性，基本不等式等) 求出 函数最值，这里不作详述. ( 四) 不等式与其它杂题 1.不等关系的探索 . 现实生活中量少量的不等关系是普遍的、大量的，高考小探索性问题即包含对不等关系的探 索，下面举例说明之： 例15已知Sn=l +丄+丄+丄(neN),设f(n)二S2kSe试确定m的取值范围，使得对 2 3 n 于一切人于1的自然数，不等式f(n)mfK成立. 分析: 依题意f (n)=S2n.i-Sn.i=-+-+?+ - (neN)由于f(n)无法求和化简 , n + 2 n + 3 2n +1 只须求出f(n)的最小值即可 . 1 1 f (n+l) = -+?0 2n + 2 2n + 3 n + 2 2n + 2 2n +4 2n + 3 2n+4 /.f (n+1) f (n) (n 1, nwN) 9 ?f是f(n) (nl, neN)的最小值f(2) = 20 9 要使f(n)m恒成立，只须f(2)m恒成立，故m0, neN (1)试比较a3, b3及a4, b4的大小 . (2)推测弘与bn的人小，并证明你的结论. ( 结论：bnan对任意nwN, n$3成立) 简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之. 例17 定义在( -1, 1)上的函数f(x)满足(i ) 対任意x、y G (-1 , 1)有f (x)+f (y)=f ( “ + ) (ii)当x G (-1, 0)时, 有f (x) 0,试研究f ( ) +f ( ) + l + xy5 11 +f( ) 与( 丄) 的关系 . +3n + l 2 简析：由( i). (ii)可知f(x)是(-1, 1)上的奇函数且是减函数. f ( n2+3n + l ) _f( (n + l)(n + 2)-l ) 二f ( +1 M + 2 ) + - 1 - n + 1 n + 2 =f( !) +f( -!) n + 1 n + 2 故应把f(n)看作n的函数 , 略解：Vf(n)= n + 2 且f (n+l)-f (n) = - +?+ =f()-f( - ) n + 1 n + 2 ?f ( 丄)+f(丄)+?+f( ) 5 11 n +3n + l =f( 丄丄 )+ + f( 丄)-f( 丄) 2 3 3 4 n +1 n + 2 2 n + 2 2 (V0p(x 2-l)tH 成立，求x的取值范围 r x 2-i=0 rX-l0 rX 2-l0 2 x 2-l 0 构造函数f (p) = (l-x 2) p+2xl 问题转化为对一切丨p I W2, f (p) 0 成立 当l-x 2=0 时易得x=l c f(-2)0 当1-xMont,当且仅当 解Z得近二 VxV上竺且XH1 I 2 2 f(2)0 综上归 cosA+cosB+cosC 简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A、B 的关系是否有sinAsinB 71 证明：VA+B=n-C- 2 A A -B0 2 2 JI ?sinAsin( -B) =cosB 2 同理si nBcosC sin OcosA 三式相加得sinA+sinB+siCcosA+cosB+cosC 四、能力训练 1?某广场屮心要建一灯柱，广场边缘A点距灯柱根部(B点) 100米，己知该点的照明亮度I和灯 光射到这点的光线与地而夹角e的正弦成正比， 和这点的光源P的距离r的平方成 反比，若要使A点 获得最好的照明亮度，灯柱应建多高？( 精确到0.1米) 本题考查三角函数、立体几何解决实际问题的能力，同时考查数形结合思想、成比例的概念， 利用不等式求最值的方法. 2.己知xn=sin2 0 1 *sin 2。 2 *sin 2 B 3sir?。 yn=l _(cos2。i+cos2 0 2+?+cos 2 0 n) (neN) (1)判断xi与yi, X2与y2的大小关系 , 加以证明 . (2)猜想x“与*的关系，并证明你的结论. 若COS 0 n=(cos )n 证明Xn 丄. 42 本题考查三角函数的恒等变形，不等式的证明及观察、归纳山特殊到一?般的推理能力 . 3.某科研所要到某药厂买100桶药剂作试验用，每天用一桶，无论多少桶每趟的运费都是100 元，而每桶药在科研所每天的储存保质费用需2元，问应分几趟 ( 每趟购虽相等 ) 购买, 才能使总的花 费最省？ ( 注：运回当夭用一桶，不考虑买药剂的费用) 本题主耍考查学生对实际问题的理解，建模( 利用函数求最小值 ) 和求解能力及等差数列的综合 运用. 4.某县地处水乡，县政府计划从今年起川处理过的牛活垃圾和工业废渣填河造池，( 1) 若该县 以每年1%的速度减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水而而积的 丄，问今年所填而积最多只能占现有水而而积的百分之儿？(2)水而的减少必 4 然导致蕃水能力的降低，为了保持其防洪能力不会下降，就要增加排水设备，设经费y( 元) 与当年所 填土地而积x(亩) 的平方成止比，比例系数为a,又设每亩水面年平均经济收入为b元，所填的每亩土 地年平均收入为c元，那么，要使这三项收入不少于支出，试求所填面积x的最大值 .( 其中a、b、c 为常数 ). 本题考查由实际问题转化为等比数列的能力，及求函数最值的方法，建立数学模型的能力，阅 读理解能力 . 5.己知f (x)=x 2+(lga+2)x+lgb, f (-1)=-2, 且对任何实数都有f(x)N2x,求a、b 的值. 本题考查一元二次不等式恒成立的充要条件和实数的性质，及山“不等”向“相等”转化的能 力. 6?漁场屮鱼群的最人养殖量为m吨， 为保证鱼群的生长空间， 实际养殖最不能达到最人养殖量， 必须留岀适当的空闲量，已知血群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比， 比例系 数为k(k0) (1)写出y与x的函数关系式，并指岀这个函数的定义域. (2)求鱼群的年增长量达到的蝕大值. (3)当鱼群的年增长量达到最大值吋，求k的収值范围 . 本题考查二次函数区间上的最值，及不等式的实际应用. 7. m为何值时，关于x的方程X，-2(m+2)x+i1=0, (1)有两个正根；( 2)有两个人于2 的根；( 3) 根在(0, 1)内，另一根在( 1, 2)内. 本题考查一元二次方程二次函数的图像，应用不等式与它们的关 系进行问题转化的能力. &若a、b、c、dwR,且a“+b2=l, c J +d“=l,求证I abed I W丄，本题考查不等式的应 4 用，rh相等关系向不等关系的转化. 9.求无5 ? 3yz=7850中的数字x, y, z. 本题考查整数及不等式知识，山相等向不等的转化. 10.已知y二3x'+Jarcsinx 彳+x- 2, 本题考查反三角函数知识. 11.若正整数卩、q、r使方程px2-qx+r=0在区间(0, 1)内有两个不同的实根，求p的最 小值. 木题考杏方程，不等式知识，分析问题解决问题的能力. 12.边长为5的菱形，它的一 - 条对角线的长不人于6,另一条对角线的长不小于6,则这 个菱形 两对角线长度Z和的最大值是多少？ 木题考查几何极值与不等式的应用. 13.某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池( 如图) 由于 地形限 制，长宽都不能超过16米，如果池四周围壁建造单价为每米长400元，屮间两道隔墙造单价为每 米长248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计水池的长和宽，使总 造价最低，并求出总造价.(45000元) 本题考查均值不等式，函数的单调性及用之求最值，建模能力，分析解决问题的能力. 14.某工厂现有资金a万元(a100),由于坚持改革开放，生产蒸蒸日上，每年资金递增20%,每 年底资助希望工程b万元.(00,b0) 2 木题考查不等式的儿何意义，构图法? 求log/的值. 参考答案 1?解：设灯柱高为h米，山题意 I=k ? sin ? /r(k 为正常数 ) r=100/cos() A I 2=k2 ? sin 2 0 /(100/cos 0 ) =k2sin2 0 cos4 0/108 =-? ? (2sif 0 ) (cos' 0 ) (cos 2 0 ) 108 2 2sin2 + cos 2 O + cos? 0 3 当且仅当2sin 2 0 =cos2 e 即tg0=V2 /2时等式成立 . I A点照明度最好，这时h=AB? tg0=100X =50 V2 =70. 7米 2 故为使A点获得绘好的照明亮度，灯柱的高应为70. 7米. 2.解:Xi=sin 2 0 1, yi=l-cos2 0 i=sin2 0 i .*.xi=yi X2=sin 2 0 isin2 9 2, y2=1-(cos2 0 i+cos2 0 ) X2-y?二sirT B isin' 0 2-sirT 0 i+cos' B 2 =-sif()【cos'()2+cos 2() 2 二 cos'() 2 ? cos 2() 】M0 X2$y2$2 (2)猜想xR 证明: 当n=l时，不等式成立，假设当n=k时x&yk成立，即sin 0 isin2 0 2sin2-(cos' 0 2+?+cos 2 ° k) 则Xk+i=sin 2 0 【sir? 0 2 sin； ? sin 2 0 1-(COS2 0 ,+cos2 0 +?+cos2 0 j sir? 0 冋 =1-( COS 2 o i+cos2 o 24-+COS2 0 k) 1-cos' 0 k+1 二1一( cos' 0 i+cos 2 0 2+?+cos2 6 k+cos2 9 k J +cosJ 9 ku (cos 2 6 i+cos2 9 2+?+cos2 9 J 21-( cos' 0 i+ cos' 0 2+?+cos 2 H k+cos“ B m) =*?】 .*.n=k ? l时，不等式成立 . 故对I1GN,都有XnYn (3) Xnyh=l -(cosJ 0 i+cosJ 0 2+?+cos 0 n) （2）】-（2丫 =1 - - k *2x10* 4fc 2 27x10* （定值） )3 9 i+cos 2 100 3. 解：设每趟购乂桶，则共购趟，每趟的储存保质费为： X 2(x-l)+2 (x-2)+-+2 ? 2+2 ? l=x (x-1)元 依题意，总花费y=100(x- l)+10000/x =100x-10000/x-100 22 Jl 00 ? 10000 -loo =1900 当且仅当100x=10000/x 即x=10时等号成立 . 故分10趟购买，每趟购买10桶总费用最省 . 4. 解:(1)设该县现有水面面积为M( 亩)，今年所填面积为x(亩), 则由条件知x+x(l-l%)+x(l-l%)3 1 W M 4 1 ?lOOxW M 4 即:xWM/400 故今年所填面积最多只能占现有水面面积的0. 25% (2)山条件可知 :ex-(ax'+bx) $0 .*.ax 2+(bc)xO c-b 当c-bW0时 - - WxWO,不能填池 . a c-b c-b 当c-b0时OWxW ，所填面积的最大值为亩 a a 5.解：f (-1)=1- (lga+2) +lgb=-2 即lga-lgb=l Vf (x) 22x对任何x都成立即x+(lga+2) x+lgb2x恒成立 A = (lga) 2-4(lga-l) WO ? ° ? 1 ga=2 即a=100 代入lga-lgb=l 得b=10 x 6.解山题总 : 得y=kx(l - ) (00 A00 Xi+x20 7.解? ?制 即: lim x* ns x20 I Xi ? x20 ?原方程冇两正根的充要条件是 (二4 (m+2)M (m 2-l) 0 1 X) +X2=2 (m+2) 0 x】X2=m 厂1 0 ,5 mN - 4 m-2 ml r xi2 r X-20 ?: o- o I X22 I X2-20 即当-丄WmV-1或ml时，原方程有两正根 . 4 (x 厂2) + g - 2)0 O (x厂2)( X2-2) 0 'X.+X2-40 0 O 、X)X2-2 (xi+x 2) +40 、(m -1) -4 (m+2) +4 0 .5 - 4 m0 mV-1 或 m5 即当m5时原方程有两个大丁 ? 2的 根. 设f(x)=x2-2(m+2)x+nM,它的图像是开口向上的抛物线如图，方程f(x)=0的有两实根x“X2且满 足 0VXIV1VX20 4 f(l)=m2-2m-40 解得： I ml 1 A/5 5 ? ? 当1-J勺4pr 11.解：依题意知 :p+r-q0 A x=l, y=2 其4p,q,rGN 1 ?'?I ogiy= 2 2p 由可设q=p+r-t,其中tMl,代入得p+r-t2-Jpr 整理成 (仆)-2/?+ (Vr )'-to 即 你Vr +Vt(7P (Vr + Vt )“ 取r=t=l 得p(l+l)'=4 .?.p25 即Pmin=5 此时q=5, r=l 12. 解：设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于0点,ACM6,BDW6,则 02-302=25 J (1)令AO二3+x, BO-3-y (xO, y $0) l03B0 由(1)知,x, y 不同时为零且x0, AO 2+BO2= (3+ X) 2+ (3-y) =25 即(x-y)+6(x-y)+9=16-2xy = x-y=±J16 ? 2xy -3 AC+BD二2 (3+x) +2 (3-y) =12+2 (x-y) 当且仅当y=0时，x-y収得最大值1, .IAC+BD的最犬值 是 200 200 13. 解：设污水池长为x米，则宽为米，于是总造价为y=400(2x+X2)+248X2 05b） 5 5 5 ,6、 2a-5b 5b ? （- =2+ - 2 5a -5b a-5b 66 36 6 216 乂（一）2 E D C ?SS+S&SGBCD（需二即D、E重合时取等号）