4.3函数的单调性.doc.pdf

4.3函数的单调性 一、判断函数单调性的理论依据 如图单调增加 , 单调减少 . 先看单调增加的函数，（刃. 在其曲线上任取一点 “ ，过该点作曲线的切线兀，兀与工 轴正向所成的倾角为锐角躅，所以切线耳的斜率为正，根据导数的儿何意义，也就是曲线在 点M处的导数为止，注意这里的点M是任意取的 . 再看单调减少的函数试“ ?在其曲线上 任取一点M ,过该点作曲线的切线兀，匚与工轴正向所成的倾角为钝角购，所以切线三的斜 率为负，根据导数的儿何意义，也就是llh线圧（ “ 在点“处的导数为负 . 这里的点“也是任意 取的. 一阶导数符号的几何意义对于某区间上的函数导数为正，曲线沿工轴正向上升（ / ）； 导数为负，曲线沿工轴正向下降（）? 定定理：设函数， “3 在L5上连续，在内 理可导 . （1）若在 3）内八 /' :0,则，在 Q】上单调增加； （2）若在内 /“3“,则八/ 何在 “上单调减少； 几点说明： （1）如杲将定理屮的闭区间换为其它类型的区间（开区间、半开半闭区间、半闭半开区 间、无穷区间），仍有类似结论. 如果将定理中的条件亍改为八心）“，八八力改为y =/w 解：（1）/（力的定义域为匕叫珂（2） /w=l_ iT? =_HrL= FH?' &0 ,令rw=o x =0 （3）列表分析 答：函数在其定义域（ - 他*?）内单调增加 . 例4. 3. 2讨论函数W = 3x “的单调区间 . 提示 解（1）函数的定义域为 /（x） = 3-3 =30- ）=Xt-0 + x ）令/V）“,得驻点 （3）列表分析 T ? ? -1 0.+? ） r 0 十 0 ? / 可见，函数在区间卜8厂°和o?十上单调减少，在区间u上单调增加 . 答：函数的单调减 少区间为6咛°和（“同，单调增加区间为（7°. 例4. 3.3求 = A戸的单调区间 . 提示 解定义域为（一 8“ ）. 加W隸- 瞬尘箸 fgQ,得驻点“2 . 此外“0是不可导的点? （3）列表分析 ? ? -8“0 （0.2 ）2 （2+? ） + 0 、 * / （无不可导的 点） 得驻点 T 卜8?0 +0+ ? / 答：M）的单调增加区间是和（2?十呵，）的单调减少区间是（°力 . 例4.3.4证明：当養A0时，Jh（i+z）提示 分析欲证明KAhQ + x ）,就是要证明如果设则有川° , 问题就转化为证明：当“°时, 证设/W= -hi 0+x）,则/（o）= o 用在【°”）上连续，在?内町导，且在（?）内其导数 所以，函数/（“在区间°*°）上单调增加 . 故当腐 “时，/W （ 0）, 即 x-k0 + x ） 0 亦即 x 1DQ + M （方法二）利用拉格朗FI中值定理证明 . 证设/W=-hi+x）KIJr（o）=o 在区间【如上运用拉格朗姑值定理，（ c k*-o ） 0 0 ， x0，所以等式的右端大于零，从而左端也大于零 . 即w 0 , 亦即 x AhQ+x 证明不等式一般有两种方法可利用：（1）拉格朗F1中值定理；（2）函数的单调性 . 课后 练习题：分别用以上两种方法证明：当才时，? ，1+x. /w= 其中