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高考复习指导讲义第五章复数 一、 考纲要求 1?理解复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念，拿握复数的代数形式及其运算法则，能 止确地进行复数代数的运算。 2.掌握复数三角形式及其特征，三角形式与代数形式的互化能熟练运用复数的三角形式进行复数的 乘、除法及乘方、开方运算。 3.理解复数的模、辐角、辐角主值和共辘复数的概念，掌握相关性质，能运用它们解决相关的复数 问题。 4?理解复数的几何表示及向量表示，掌握复数加法、减法、乘法的几何意义，并能运用它们解决 一些复数问题，会计算平面上两点间的距离。 5.掌握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式，会运川复数有关性质求点的轨迹方程。 6.掌握一元二次方程、二项方程在复数集上的解法，某些复系数方程和含有参数的方程的解法；韦 达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用。 二、 知识结构 学习复数，要抓住概念、运算、儿何意义三个环节 复数概念的最重要内容是复数的二维性，即复数是形如a+bi, (a, beR)的数。复数的二维性又决定了 研究复数的基本方法是分离实部和虚部的方法。新概念、新算法、新结论、范围大、头绪多是实数集合 所没有的，列表如下： i性1 i 4k+1=i i 4k+2=-l i4k+3=-i(keN) (虚数单位i 2=-h I Zi I - I Z2 I I Z1±Z2 I W I ZJ + I Z2 I I Zi ? Z2 I = I Z! I ?丨Z2 I OZ 复数的向量表示 (a+bi) + (c+di)二( a+c) + (b+d) i r复数的加法法则 复数加法的几何意义 复数代数(a+bi)- (c+di) = (ac) + (bd) i 形式的四J复数的减法法则? 则运算复数减法的儿何意义 复平而上两点间的距离d二| Z-Z2 I cos 0 = _ r (r= J/ +b?) sin 0 = r 复数的三 角形式 Z=r(cos 0 +sin) ri (cos 0 +isin 0 i) *r- (cos 0 2十sin 0 2) =rlr2 cos( 8 + B 2)+isin( 0 1+2) 复数三角” 形式的乘 法法则 | 复数乘法的儿何意义：将向量a+bi逆时针 旋转() 得(a+bi)(cos 0 +isin() ) 棣莫佛定理r(cos 0 +sin 0 ) “=r n(cosn 9 +isin n 9 ) 复数三角 0),把忑绕A点按逆时针方向旋转a角，旋转后再把所得向量的长度 变为原来的k倍(k0)得到疋，则疋对应的复数是r(cos0 + isin 0 ) ? k(cos a +isin a ),如果把AB绕A点按 顺时针方向进彳亍同样方式的旋转和伸缩, 那么所得向量对应的复数是r (cos() +isin() )? k(cos a -isin a ) 除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z6Z2%? (丄) 因此除法运算的 几何意义为乘法运算的几何意义实质相同。 复数方根的儿何意义： 设蒂对应的复数是Z, Z的n次方根(n2, nwN)对应于从原点出发II在原点处n等分 圆围角的n个向 量，这n个向量的模都是侗，其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的n 分之一 , 图中画出了模为8的向量OZ所对应的复数的三次方根OZ , OZ2 , OZ3,其中 OZj的辐角取OZ辐角的三分之一。 理解复数运算的儿何意义，通过图形来讨论代数问题，掌握数形结合这一重要的思想方法。 数学是揭示客观事物的数量和形体的本质关系和联系的科学，从认识的角度考虑“数” 与“形”是 事物的两个侧血，数形结合止是从这两个方血去认识事物的特征。 在解决数学问题时，通过数形结合，对将抽彖的数学语言与直观的图形相结合，使抽彖思维与形象 思维相结合，通过图形，发挥直观对抽象的作川，实现抽象概念和具体形彖的联系，可以把数量关系转化 为图形的性质來研究，或者把图形的性质问题转化为数杲关系的问题。 由复数的儿何意义推导的下列结论对数形结合思想的培养很有帮助。 z l.Zi/HO,则Z1+Z2 丨=I Zi-Z2 I O 1?二入 i （ZR 且入HO） O对应的向量OZ Z2 丄OZ? 2. 设P点对应的复数为厶，点Q对应的复数为Z2,则向量PQ对应的复数是Z2-Z 3?向量PQ绕点P顺时针方向旋转角0 ( 0 0)所得到的向量对应的复数应是(Z2-Z1) cos (- 0 )+1 sin(- 0 )而旋转之后点Q 对应的复数应是(Z2-Zi) cos (- 0 )+1 sin (- 0 ) +Z2 4.I Z-Zi I = I Z-Z2 I表示以复数ZZ2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。 5.I Z-Zo I = Y表示以Zo为复平而内对应的点Z。为圆心，半径是Y的圆的方程。 6.I Z-Zi I + I Z-Z2 I =2a(2a I Z1Z2 I ) 表示以Z】、Z2在复平面内对应的点Z】、Z2为焦点 , 长轴 是2a的椭圆方程。 7.I Z-Z! I - I Z-Z2 I =2a(2a0, &w(0,兀) ，Za=Zi ? Z2. 若I Z1-Z2 I =r+l,求r和&的取值范围。 知识点：复数的代数、几何、三角三种形式间的互化。 能力点：函数或不等式的思想方法。 9.设Zi, Z2GC, I Z. I = I Z2 I =1,ZK Z2在复平面内的对应点分别为Z】、Z2, 0为原点。 若Z2-Z1=-1,求arg； J (2)设argZi= a , argZ2= P ,若 OZiZ2的重心对应复数一 +丄i求tg( a + P )的值。 3 15 知识点：辐角主值，三角的恒等变形，三种形式间的互化。 能力点：数形结合、转化与化归思想。运算能力，逻辑思维能力。 10.设复平面内有一系列向量OZ “ ( n二1,2, 3, 4,) ，将OZ.逆时针方向旋转 () ，且使 其模扩大原 来的近倍得到OZ ”|，已知对应向量瓦(n=l,2,3-)ZF-l + i 7F (1)当e=-时, 求Zn关于n的表达式。 4 TT 当仁丝时，求使乙为实数时所有D；将所有等于实数的Zn的倒数按原有次序排列成一 4 个新数列求lim (bi+b2+ ?bn) n-oo (3)当0 0) (1)求a,b的值；并将Z2表示成三角形式。 (2)求满足Zi+Z2+-+Zn=0的最小自然数n,并计算Zi ? Z2-Z,的值。 (3)前100项中有多少项是实数 ?并求这些实数和。 知识点：等比数列的性质，复数的三角表式。 能力点：转化与化归思想，分析与解决问题的能力。 17.已知复数集合M二Z II Z-2+i I W2ZwC A Z II Z-2-i I = I Z-4+i I ZGC 试在复平面内作集合M的图形并说明图形的名称。 (2)求集合M中元素Z辐角主值的取值范围。 求集合M屮元索Z模的取值范围。 知识点：集合、复数减法的几何意义，复数的辐角主值，复数的模，点到直线的距离。能力点：数 形结合思想，逻辑思维能力。 18.设复平而上有一係列向量OZ“ ( “0, 1,2)满足如下关系：将OZn绕原点按逆时针方向旋转扌 n后，再把它的模变为原来的一半，得到OZ曲，记0乙对应的复数为Z,(n=0, 1, 2 ),若ZO=2A/2+2V2 i, (i为虚数单位 ) 求Zn (2) n这何值吋，为实数 ?将所有为实数的按原有顺序排列成数列 缶, 写出这个数列的通项公 式。 (3)求lim (ai+a2+ n-oo 知识点：等比数列的性质，极限，棣莫佛定理。 能力点：分析与解决问题能力。 19. 已知twR,且关于x的方程x2+2x+t=0的两个根为复数a , P求丨a I + I 3 I的值。 知识点：二次 14-已知复数時寺時 +#i, 复数ZW , Z 2W3 在复平而上所对应的点分别 15.设复数Z=cos 0 +isin B (0bc,求证：丨a丨0 得mV-3 0可见一VargwVJT, 10 + 6cos& 10 + 6cos& 2 0 Z-2 w 二 - Z + 3 ( X? 2) + yi 5sin& tg(argw)= - (0 cos&-5 5sir) 0 =ycos() -5y 5y=ycos 0 -5si n 0 = Jy 2 + 25 ? cos( 0 +t) 其中COSt= - 抄+25 sint= = 3+25 5y W1 (兀 + 3) + yi (x ? 2) + yi( 兀 + 3) - 刃 ( 兀+ 3)2 +) “ (x ? 2)(x + 3) + y 2 + y (x + 3) )心一2)/ 10 + 6/ (x ? 5) + 5yi 10 + 6/ 问题转化为求函数1= tg (argw)- X -5 5 v x2+y 2 = b x0, y0 的最小值 x -5 将y =-x-t,代入x2+y 2= 1 整理得 5 t 2 , 2t2 , (1 + - ) x 2- x+f-1 =0 25 5 ? ? XGR 2t2t2 ? ? ( - )-4(1+? (t2-l)0 25 25 ? -25 ? t w 24 5?解法一：I 丨Z I =1, AZZ =1 1-Z3 TZz = i+z+z 2=zZ +z+z2=z(z+Z +i) =(2cos 0 +1) (cos 0 +isin 0 ) V 0 2( I I Z+3-73 i I - I -3 I I )=2(3-73 )当且仅当Z+3- JJi二入(-3) ( X 0)即I Z+3-73 i I = I -3 X I =3X W 3X = A/3 U|JZ=-3-A/3+V3 i 时，I 2Z-2 巧i | 的授小值为2(3V3 ) 解法二 由I Z+3-V3 i I =V3知Z对应点在以(-3, V3 )为圆心，V3为半径的圆上 /. I z- V3 i I的最大值为J(0 + 3)2 +(馆?巧 )2 4- 73 =3+ V3，最小值为7( O + 3)2 +(V3-V3) 2 - V3 =3- V3 ,从而丨2Z-2 V3 i I 的最大值为2(3+J亍) ，最小值为2 (3-/3 ) r ? 36( . 36 . 30、 2 sin (sin - 1 cos ) 二2 2 2 2 sin (sin - i cos ) 2 2 2 .30/ 33 . . 30、 sin (cos - 2 sin ) _ 2 2 2 _ . e (& . . &、 sin (cos + z sin ) 2 2 2 30 e =sin cos (cos 0 +isin 0 ) 2 2 30 30 30 由 - ? (0, 3 )得当0argu r = 0 2 当0 e (- 3 6.解法一： 2 , 3& e I =sin - esc 2 2 , 3& e I 二一sin esc 2 2 込时si世 M 3 3 2 心）时 3 Zi=*/3 +i=2 (cos 6 71 +isin ) 解法三 : 由I Z+3-V3 i I 设Z+3-V3 i-V3 (cos0+sin0) 0 G 0, 2 n 则 I 2Z-2 V3 i I =2 I -3+V3 (cosO+isinO) I =2 V3 J(cos&-徭)2 + sin 2 =2-3 J4-2A/COS& ? ? I 2Z-2 V3 i I的最大值为23?4 + 2馆二2(3+馆) 绘小值是2V34_2羽=2(3-V3) 由设0A, 0B分别与圆C相切于A、B两点, 贝iJargZ的最大值与最小值分别是B、A对应复数 Z” % 的辐角主值 V I 0C I =2-/3 , .?.ZAOC=ZBOC= 6 JI 2/r AargZ的最大值为n , 最小值为兀-2 ?二，对应的复数 63 777 (2 兀2713 3V3 Zi= - AC (cos - + isin - )= -+ - T Z2=-3 32 2 2 7.解：VZ,+2Z2=(sin e +2cos 0 )+i (sin e -2cos 0 ) r z sin0-2cos& Atg arg(Zi+2Z2)二 - sin& + 2cos& $_2 _ 4 tgO + 2 2 + tgO AtgOe -1,1 n 4 2 + tgO3 乂sin 0 +2cos 0 0 ?arg(Zi+2Z2 ) G ,兀 2 71 乂tgx在(一，兀)上单调递增 2 A arg (ZI+2Z2)的最小值为argctg(-3) + n= n -arctg3 最人值为arctg( - )+ n = Jt-arctg 33 8.解法一： Xo e L- 4 JT, - n 5 厂兀 r 兀 “ Z3=Zt-Z2=2r cos ( 0 + ) +isin(0+ ) 6 6 兀兀冗兀 V I Z1-Z3 I =r+l . e. 2rcos(B+ )-2cos 2+ 2rsin( 0 + )-2sin( - ) 2=r+l 6 6 6 6 又o G (0, JT) =cos o G (T,l) 3r2-2r + 3 3 1 1 r 1 于是cos o = - = (r+ ) e L 8r 8 r 4 2 z 71 0 G （0, 3 解法二： 设0为原点，Z1, Z3分别与Z|, Z3点对应 , 由（1）式知在AOZiZ冲,ZZiOZs= e 余弦定理有 22+(2r)2 ? (r + l)2 2- 2-(2r) 3r 2 -2r + 3 = - 以下解法同一。 8r 9.解： (1) V | Zi | = | Z2 I =1, I I =1 Z Z Z 设一 二cosB+isin。，0 =arg乙 乙 代入z2-z) =-l,得Z】(cos o 4-isin 0-1)=-1 ? ? I Zi(cosl+isinB) | 二J( COS ? l)2+sin20 二 T 1乙7T (S 5 /? cos 0 = = o =arg -=或一肌 2Z, 3 3 或解：设Zi=cos a +isin a , Z2=cos P +isin P, a =argZi, 0 =argZ2代入Z?-Zi二 T 并由复数相等的充要 条 件得 rcos P -cos u =-l 2- OZ2 9 乙Z3 2( OZ % cos 0 即心畑S 0 +1)0=cos 0?2+ 3严“+2 o 8r 8r ?。tg(a +卩)= 2 5 由得 2c 10? 解: (1)Z) = V2 (cos n +isin n ) 4 4 n + 2 n + 2 (cos - n+isin 4 a + 0 a_ p 1 2s i n - s i n - = 2 5 兀 ） 实数 12 Zn=Zfl i V2 71 71、 (cos +isin ) (n22) 4 4 /a =22(-sin 4 njt 71 +icos 4 Ji) (n二1,2, 3) 71 Zn为实数COS 4 n 71 n=0 n=k Ji+ On二4k+2 (keZ)由nWN 知k=l,2,3 4 一 时Zn 为 1 1 Abi= - , Z? 2 bn bn-H 7 厶4方+2 7 厶4(b+l)+2 ?冷寸严 /? lim (bi+b2+bn) = “TOO _ 1 丄丄 1+1 5 4 又B-a ? (-2 Ji, 2 Ji) A P-a= ± 或士丄n 33 Zo /r ? .5 ?JT Z、 3 3 a6s a rr z7i 兀、- T I Zn*i- Zn I = I Zn I ? I V2 (cos +isin )-1 I 二2 2 4 4 ?'?I Z1 -Z2 I + I Z2- Z3 I +?+ I Zn -Zn-l I =V2 + ( V2 ) '?+( V2 )“ = (2+V2 ) (2 2-1) 11 ?解： 又Z为虚数 ?Z_Z HO, ?ZZ二4即I Z I =2其中ZH ±2 ?点Z的集合是圆心在原点，半径是2的圆且去掉点( ± 2, 0) 由w,=3i+l=Z=- (w-1) H) 8 代入I Z I =2 得I w-1 | =6 又ZH ±2 ?W ￥l ± 6i ?点P的集合是以( 1, 0)为圆心，6为半径的圆，且去掉点( 1, ±6) 由I Z I =2,且ZH ±2,设Z二2(cos 0+isin0) 0 e (0, n ) U ( JI , 2 n ) w2=x+y i (x, y e R) 则 49 5 5 消去。得云蔦鬥，其中心2壬 v= sin 0 2 即点Q的集合为一椭圆 , 且去掉在沌上的两个顶点迸,0) 12?解 : (1)2ZI2+2ZIZ2+Z2 2=0 且ZM Z20 _ 3 即I Z2 I 二血I Z1 I ? AOAB 是ZA0B= - 4 (2) -.-Si.=-|OAl|OB|sinZAOB ? (V2 I OA I ) ? sin n 且丨OB丨=V2 I 0A I的三角形 ?宀 z 4 乂I Zi-2+i I =1 ?A在以P(2, -1)为圆心，1为半径的圆上 又I Zi | = I 0A丨且I OA I的最大值为I OP | +1=75+1 ?° ?OAB的最大值为一 (y/5 +1)2=3+5 2 13. 解法一：设Z=x+yi(x, yGR) ,16 z 16 则Z+ 二( x+yi) + - x + yi x 2+y2 由得产0或x2+y 2=16 分别代入中2WxW18或1WXW5的轨迹分别为：x轴上连结(2, 0)和(8, 0) 的 - 条线段或以原点为圆心，4为半径的圆上的一段圆弧 (包括端点 ) 解法二： 16 VZ+ GR Z 16 - 16 ?z+=Z + Z Z ?Z?丨Z I 2+16Z-Z ?丨Z I 2+16Z I Z I 2(Z-Z)=16( Z-Z) /. Z= Z 或I Z I 2二16 由z二Z知ZGR 16 根据2 W Z+ W10矢口 (WargZ Warccos 或 2 4 1 一 肌-arccos WargZ V2 n 4 14.解法一 : V3 1 . 71 71 Z= - i=cos( - ) +isin(- ) 2 2 6 ? . 兀 w= -+ i =cos + isi n 2 2 4 4 71 71 =cos +isin 12 12 71 71 =cos ( - ) +isin ( - ) 12 12 、.T 71 71 n3 3 Z wW = cos ( - )+isin( - ) ? (cos 兀+isi n n ) 33 4 4 55 =cos刃+isin n 12 12 乂I ZW I =1= I OP I 0).2 - 1)=1 2 Z-2Z+160 Z-10Z+16 符合题意。 62 兀 v 7 o =或Jt 12 12 解法二： ? W 出 3 1-(Z) 4 _ 1-(Z) 4 l-cos4 + isin4& _ 巧 1 + Z41 + Z4l + cos4& + isin4& T nI (1?COS40)2 + sin240 V3 V( l +cos 4歼 + sin 2 4& 3 16. 解： (1) VZ 22=ZiZa a 2-b2=b /. (a+bi) 2=b+ai 即 2ab _a Va0 .1 A/3 .*. b= , a= - 2 2 (2)公比q=Z2=cos + i s i n 且Sh=0 6 6 Y171 Y171 ?qn-l=0 即cos - +isin - = 1, n 的最小值为12 6 6 此时ZiZ2 Zn=q'“ “Jqncos +isin “兀=T 6 6 n -1 n -1 (3) &二aq 二cos - n +isin - n WR 时 6 6 n -1 sin n二0,n二6k+l(k为非负整数 ) 6 当6k+lW100时0WkW16共有17个实数项，它们构成等比数列，首项为1,公比为q6=-l, 17个实数 项的和为1。 17. 解：集合in的图形是两个图形的公共部分，一个图形是山IZ-(2T)丨W2表示的圆面，另一个 图形是以点A(2, 1), B(4, -1)为端点的线段的垂直平分线，它们的公共部分是一条线段, 如图中的DE, 其方程为x-y-3二0 (2- J二WxW2+J二) 1 -cos4 l + cos4P =I tg2 0 V 3 职 71 71 i=cos +isin 由知E(2+Q D(2-A/2 ,-V2-1) 2-V2 2 ?线段DE上的点Z的辐角主值的取值范围 I OD I =7( 2-V2) 2 +(-V2f)2 =79-22 I OE I =7( 2 + V2) 2 +(V2-1)2 ,9 + 2迈 原点。到直线卄。的距离占座 V2 2 ?线段DEM点绅模的取值范围为普，耐鬲 1&解: / 、 1 / 3兀3兀、/ 、 (1) ?乙“产一(cos - +isin - ) Zh, (n=l, 2, 3 ) 2 4 4 13/r 3 兀 ?数列Z, 是公比为-(cos +isin )的等比数列 24 4 首项Zo=2 V2 +2 V2 i 二 4 (cos +isin ) 4 3n/r 3n/r +isin ) 2 4 4 3n + l 、 n +isin n ) 4 3n +1 =3k-2 4 sin(3k-2) n =0, Zn 为实数 a k=( ) lk 'cos (3k2) n 2 =2( )k cos (3k Ji) 16 1 二(-2)()M(k=l,2, ) 16 ?数列3 是首项沁公比为的等比数列 1 im(ai+a2+a3+ . 比) ，3 血-4 LO,arctg - U2rctg 归，2叮 2 2 4 TC 711 ? ° ? Zn=4(cos +isin ) ? ( )“(cos 4 4 ' 3n +1 T 当n =4k-3 时(kGZ) -2 19.解：关于x的二次方程的判别式A=4-4t=1(l-t) (1)当tWl 时， $() a B 二T+Vni ?；I a | + | B I =1 +Jl ? ( + I Vl t -1 I 当tWO 时 | a | + | B I =2 当0VtWl时I a I +丨0丨二2 (2)当tl 时A 0 a b ?I a 与0 同号= | - | = |a+3| = |a| + |p| a b 乂一VI a I a I I a I 2 - 8 加一1 rr , 9 由I a _ 0 I = - 二J2 得k二一 2 8 当k=?时，方程有二互为共轨的虚根，它们是 8 23. 解: 由I Z+ 丨二1 知I Z I 二I Z 2+l I Z 对I Z 2+l I 可能的不等变形有 I I 疋I 一1 I W I Z 2+l | ? I Z2 1 +1 即是I I Z 2 I -1 I b 时 VZ1-Z2为实数 /. I ZLZZ I = J(Z| _Z?)2 二J(Z+Z)24ZZ2 = A/4a 2 -4b =27a 2 -b /. I Z-a I = - b 又?圆过( 1, 1)点，代入有丨(i-a)+i I =7a 2 -b /. ( I z I - )V1 A I Z I 2+ |z 厂3W0 =z?Z e ct8 此时“ 二-一务 u sin 2 03 且Ji+ G ( H , 2 n) 2 2 e /?arg u = n + 化简整理得b-2a+2=0（f Mb ）为所求轨迹方 程 A 0 B|J a 2b0 I z I = I 2SSi_2 4Si | 2 =I V4b - 4a 2 i I 乂?圆过点（1, 1）,代入有丨（l-a）+i I =7b-a 2 化简整理 得 b=2a-2a+2) (a 2b)为所求轨迹方程。 25. 解：*.*Z ? y = (l -cos 0 +isin =a 2(l-cos() )-asin ?Z? u是纯虚数 a 2sin 0 +a(l-cos 0 ) HO 0 ) (a2+ai) 二二in 0 + sin 0 +a(l-cos() ) i B'(1 -cos 0 )-asin 0 =0 e & & 由2asin (acos +sin ) HO 2 2 2 0 ?aH0 且sinHO 2 _ e e e 由 2sin (asin - cos )=0 _ 2 2 2 e e ? ° ? asin cos =0 2 2 e 2 2 & & /. U =a M +ai=ctg*' + ictg = 2 2 0 叫.e sin 2 e e (cos +isin ) 2 2 i ? e兀 当0 ve VH时o 2 2 71 0 n 2 2 当Ji 0 2 Ji 时 此时 e arg u = 2 e o cos ( n + ) +isin(x + ) 2 2 2