6函数的概念、定义域、值域求法-教师版.doc.pdf

教学内容概要 高中数学备课组教师：年级：高三 学生： 日期上课时间 主课题：函数的概念、定义域、值域的求法 教学目标： 1、 掌握函数的概念； 2、掌握函数定义域、值域及最值的求法； 3、掌握解析式的求解方法； 教学重点： 1、 函数三要素； 2、 定义域、值域的求法以及函数解析式的求解方法； 教学难点： 1、 抽象函数定义域的求法； 2、 函数值域及最值的求法； 3、函数解析式的求解； 家庭作业 1、完成拓展内容 2复习知识点 教学内容 【知识精讲】 一、函数的概念 1、 函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/, 使对于集合A 中的任 意一个数x,在集合3中都有唯一确定的数 /( 兀) 和它对应，那么就称f:AB为 从集合A到集合B 的一个函数。记作：y = /(X),XGAO其中，兀叫做自变量，兀的取值范围A叫做函数的定义域； 与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合/(X)|XGA叫做函数的值域。 2、 函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则； 当两个函数的定义域、对应法则分別相同时, 那么这两个函数是同一函数。 3、 函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法 当图像满足和 = 的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。 分段函数： 在用解析法表示函数的吋候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式 子来表示的函数即分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。在解决问题过程中，要 处理好整体与局部的关系。 4、 函数的运算： 对于两个函数y = ./'( 兀XXWDJ，y = (xXe D2),设D = DrD 2(j) 把函数/(x)+g(x)(x w Q)叫做函数 =/(xXx e !)与=( 疋 )( 兀丘2)的和函数把函数 /(x)g(x)(xw D)叫做函数丿 =/(XXA:e !)与y = g(xXxw2)的积函数 6、复合函数： 对于两个函数y = /(%X x w D), y = g(x)( 兀w 2)，若满足 D 2(/),把函数y = /(g(x)叫做函数y = f(xx G ,), y = 兀w?2)的复合函数，兀是 复合函数y = /(g( 兀) 的自变量 , 定义域为D，g(x)叫 做内函数，/(x)叫做外函数。 二、函数定义域的求法 求定义域时注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次根式的被开方数非负; （3）对数的真数大于零； （4）零次幕的底数不为零。 三、求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类: （1）求常见函数值域； （2）求rh常见函数复合而成的函数的值域； （3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 以下为总结的常用函数值域的求瞬方法： （1）直接法：利用常见两数的值域來求 一次函数y=ax+b（a0）的定义域为R,值域为R; 反比例函数y =-伙H0）的定义域为x|xH0,值域为ylyHO ； x 二次函数/（x） = ax 2 + bx+ c （a 工0）的定义域为R, 当Q0时，值域为| 心，） ; 4a （2）配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如: f(x) = ax 2 +bx+c ，x w (“ ) 的形式 ; （3）分式转化法（或改为“分离常数法”） （4）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； （5）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性來求值域； k （6）基本不等式法：转化成型如：y = x + 伙0）,利用平均值不等式公式來求值域; 当a0,而g (x)二的定义域为 (2) /(x)上 X x0y A： 琳茫一1或xNO,它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 评述：(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的两数， 原因是对函数的概念理解不透. 要知道， 在函数的定义域及刈 ?应法则 / 不变的条件下， 自变量变换字母， 以至变换成其他字母的表 达式， 这对于函数本身并无影响，比如/( 兀)*+1, /=r+l, /(w+l) = S+1) 2+1 都可视为同 一函数 . (2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素屮有一要素不相同，则这两个函数就不可能 是同一歯数 . 例2、设函数 /(1)的解集是 () x + 6 ,x)B.(-3,1)(2,4*00) C.(-1,1) (3,-Foo)D.(YO,-3)(1,3) 答案A 解析由已知，函数先增后减再增 当x0, /(%)2/(1) = 3令/( 兀)=3, 解得x = l,x = 3 o 当x /(I) = 3 , 解得33 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 (2)函数/(x)对于任意实数兀满足条件/(x + 2) 給冷 (2) */(x+2)= 7h w/(x+4)= 7F) 例3、(1)已知函数f(x)= sirurx, /( 无一 1), % 0, 那么/( 丄) 的值为 x0.6 命，若/(1) = 7 M'J/(/(5) = 所以/(5) = /(D = -5 ,则/(/(5) = /(-5) = /(-I) = = 7(一1 + 丄) 点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。 例4、设定义在N上的函数 / （x）满足 /(H)= r +13 ，必2000 八 7 Vl/ (H-18)J,H2000 解：? 2002 2000, .*./ (2002)寸.f (200218) =/(1984)寸1984+13寸(1997) =1997+13=2010. 题型二函数定义域的求法 例5、求下述函数的定义域 : (2) f(x) = lg(x-ka) + lg(x 2 -a 2). 2x-x 2 0 解: （1） ? ；：；，解得函数定义域为I）u（Tu（討 3 2兀工0 x ka （2） ? ? （先对d进行分类讨论，然后对k进行分类讨论） , x cr 当0伙 w/?）时，函数定义域为（0,+8）； x ka 当Q0时，得十 x a 1）当 。时，函数定义域为（畑,+00）, 2）当 a° 时，函数定义域为（ d,+oo）, ，试求/（2002）的值. (1) /(%)=“ 力-广 lg(2x-l) + (3 2兀) °； 3）当5 0 时，函数定义域为（肋 , 一口）U （d,+8）; x ka 当d -a 1）当吋，函数定义域为（畑,+oo）, 2）当r l),则兀=, X t 9 2 ? /(r) = lg-, /U) = lg -( 兀 1)。 t-l x-1 (3)设/( 兀)= ox + Z?(d 工0), 则3/(x +1) - 2/(% 1) = 3ttv + 3tz + 3Z? 2or + 2a 2h = ox + b + 5d = 2兀 +17 , a = 2 f b = 1 f f(x) = 2x4-7 o (4)2/(x) + /(-) = 3x X 1I 3 把中的兀换成一，得2/(-) + /(x)=- ， 兀兀兀 3 x2得3f(x) = 6x 一, x f(x) = 2x-丄 (5)法一：令兀 =° 法二：令歹 =兀，答案：/(x) = x 2 +X + 1 点评：第(1)题用配凑法；第(2)题用换元法；第(3)题已知一次函数，可用待定系数法；第 (4)题用方程组法。 题型四函数值域的求法 例8、求下列函数的值域 : y = x+Jl 兀$ ；(6) y=| 兀一1| + | 兀 + 4|； a 2x - x +1 z1、 ，、l sinx v = - (x-) ； (9) y = - 2x-l 2 2-cosx i23 23 解：(1)( 配方法 ) y = 3x 2-x + 2 = 3(x 一一) 2+ , ? 6 12 12 23 y = 3x 2 一无+2的值域为咕,+oo)c 改题：求函数y = 3x 2 -x+2 , XG1,3的值域。 解：（利用函数的单调性）函数歹=3兀2兀+2在兀wl,3上单调增 , ?当x = l 时，原函数有最小值为4；当x = 3吋，原函数有最大值为26o ?函数y = 3X 2 - x+2 , XG1,3的值域为4,26。 （2）求复合函数的值域： 设“=一兀26尤一5 （;/0）,则原函数可化为y = X *?* p =x 6x5 = （x+3） + 4 W 4 , .00),?y 0=-15, A函数值域为5,乜) 。 (7)判别式法： ?+兀+ 1 0恒成立， .? 函数的定义域为/? 。 2 r2 _ 兀 + 2 由y= : - 得：( 丁一2)疋+(歹 + 1)兀+歹一2 = 0 x +X+1 当y 2 = 0 即y = 2时，即3x + 0 = 0, ：.x = 0eR 当歹一2工0即时，?: xeR时方程 (y_2)F+(y + l)x+y 一2 = 0恒有实根 , .? =(y + l)24x(y-2)00, /. 1 1) ?呜, y n 5/2 H, - 2 ?原函数的值域为V2+l,+oo)。 (9)( 法一) 方程法：原函数可化为：sinx-ycosx = l-2', + y 2 sin(x -(p) = -2y ( 其中cos = ,sin(p = /- Ji + b J + y /. sin(x -(p)- 2 歹 e -1,1, Jl + 天 ? 11 一2y | g( 兀)+ g(-x) = ax 3 +/?log 2(x + vx 2 +1) 似3 +log2(-x +A/X 2 +1) 2y2 x- 2 ( 1、 cp 当且仅当丄 = 2 x 2 - 1 . /7 牛时，即“甘时等号成立。 = Z?log21 = 0 /. g( 兀) 奇函数 ? g(“2)+ g( 一加)=f(m)-2 + /(m)-2 = 0 = /(m) = 4 /(/77)= 42 (2) g( 兀)=f(x) - 2, g(x)是奇函数 n /( 兀) 在(-00,0)上有最小值-5亠g(x)在(Y),0)上有最小值-7 = g(x)在(0,+oc)上有最大值7 = /(x)在(0,+x).上有最大值9 例10、对于定义域为实数集R的函数 /( 乂)=警二纟为实常数 ) JT +1 (1)若/(I) = *，则G = _ 在的条件下，求函数/( 兀) 的值域 若函数f(x)的值域恰为丄4|,求实数a的值 4x-3 x2 + 1 函数的定义域为全体实数，由严2一4兀+丁 + 3 = 0 当y = 0时，兀 =扌丘R 当HOH寸，A=16-4X + 3)0=-4 (3)由y =： - 得yr -4x+y + a = 0 ° x +1 当y = OBj*,X = G R ?4 当yHO0寸，A=16-4j0y 2 +oy-4 -1 + 4 = - 。 = d = -3 【拓展提高】 （1）求函数的定义域 ; （2）问/ （兀）是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明 理rtb p-x0 当时，不等式解集为0; 当P1时，不等式解集为x 1）? （2 ）原函数即/ =log2（ X +1）（ 兀） =10g2-（X-耳）2 + 年L， J I* 当弓51,即1 3时，函数 / （劝有最大值21og2（p + l）-2,但无最小值 , 例12、据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入， 当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分 农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x0）万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的 例11、设函数 /（X）= log2 兀+1 X 1 + log2(x-l) + log2(p-x) 解：（1）由彳 x-l0，解得 x 1 x0)o （1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 农民的年总收入，试求X的取值范围； （2）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即兀多大吋），能使这100万农民 的人均年收入达到最大。 解：(I)由题意得(100-x) -3000- (l+2x%) 100x3000, 即?-50.v0 A050,即a 1,函数y在(0,50单调递增， .? 当x=50时,y取最大 值。 答：在0l时安排50万人进入企业工作 , 才 能使这100万人的人均年收入最大。 例13、北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪 念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销 售时该店 一年可销售2000枚, 经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一 元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为兀元 （xWN* ）. （I ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销 售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （II）当每枚纪念销售价格兀为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并 求 出这个最大值 . 12000 + 400(20-x)(x-7), 71的自变量x的収值范围为 ( ) 4 V x 1 兀ni, A. (-Q0, -2 U 0, 10 B. (-oo, -2 U 0, 1 C. (-oo, -2 U 1, 10 D. 一2, 0 U 1, 10 解析： /( 兀) 是分段函数，故/CO二1应分段求解 . 当兀VI 吋，/( 兀)1 (x+1) 21 X1 4 A/X-1 1 o x-1 疋10, ?U10. 则/&）的图象可以是 解析：A项定义域为 一2, 0, D项值域不是0, 2, C项对任一兀都有两个y与Z对应, 综上所述，x- B. -2l=2-2x+x2 l=y2 V =-0 y 1 8 函数y=log（）5（x+丄+ 1）（xl ）的值域是（D ） X-1 +1 =兀一1 + +2则y = log051 9、值域是（0, +oc）的函数是（B ） 解：c：设心J，贝匕=于+1 D:设贝ibTog?匚则|y|no Z X 10、若函数y = log(2-log2 x)的值域是 (YO,0),那么它的定义域是 (A ) 2 A. (0, 2) B. (2, 4) C. (0, 4) 解：logo5(2-log2x)l=log 2x0=兀丘（一4血,4血） 值域：= 32-x 2, IJJiJy = log 2 fe（-oo,5 14函数y二 - dW在1,3上的最小值是 2 7x-31.71 . 2 解：厂 = 2 3() “ H设t = ,)vy 3广 XX XX 2x + 3U1) 16、己知函数/(x)的值域为右，16,求函数g( 兀) = /(X) + 2J7GJ及h(x) = .f(x)_2jg的值 域。 解：设 / = V7而，则g(x)= +2虫,24, h(x) = F 2虫 1,8 16 (2)若函数/(x) = -x 2+or + 丄在区间0,1上的最大值为2,求d的值。2 18、已知函数 /(%)= “ : Z “ 0 y u 1,3 戻一4(l 2)(l c) = 0 b = -2 夕4(3-2)(3-c) = 0 c = 2 (2)分析：复合歯数单调性的判断方法、函数单调性的定义证明。 n yx 2 + y = 2x2 +bx + cn (y-2)F 一加+y_c = 0 所以 17、(1)若函数 /(%) = 三才的值域是-4,2),求/( 兀) 的定义域。 答案: (2) 吨 2x 2 +bx-c X 2 + I (1 ) XG 17