8_函数与方程练习题.doc.pdf
§ 2.8函数与方程 、选择题 1. 下列函数图象与 / 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（） 解析 能川二分法求零点的函数必须在给定区间日，方上连续不断，并H. 有f（日）? f （Q O. A、 B选项屮不存在/VXO, D选项屮零点两侧函数值同号，故选C. 答案C 2.已知函数f （x）=臼“一/ 一白（自 0,臼H1 ）,那么函数f （x）的零点个数是（） A. 0个B. 1个 C. 2个D.至少1个 答案D 解析在同一坐标系中作出函数y=a与y=x+日的图象，时, 如图,00）的解的个数是（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析（数形结合法） ?為 0, ?/+11.而y=|0,解 得刃2或冰 一2. 答案:C 5.惭数/ （兀） =2X 3+3X-3 的零点所在的区间为（） A. (-1,0) B. ( 0, 1) C. (1,2) D. (2, 3) 【解析】因为/(0) = -3 0,所以函数/(X)在区间(0,1)上一定存在零点 , 故选氏 答案B 6.加呈/+V2T-1= 0的解可视为函数y=x+迈的图象与函数 +的图象交点的横坐标 , ，xg4）所对应的点6, - ）（/=1,2,，Q均在 Xi） 直线的同侧，则实数日的収值范围是（）? B. 0 D. ( 6) U (6, + °°) 4 解析（转化法）方程的根显然工0,原方程等价于R+臼=3原方程的实根是曲线 /=/ X 4 +臼与曲线y=上的交点的横坐标；而曲线y=+a是由曲线向上或向下平移| 臼| 个单 X 位而得到的 . 若交点X“彳（/=1,2,，&）均在直线y=x的同侧 , 4 因直线y=x与y=- 交点为：（一2, 2）, （2, 2 ）； X x2_2、 =a（ 6） U （6, + °°）；选D. 答案D 【点评】转化法能够在一定程度上简化解题过程. 若” + 站一4=0的各个实根xi, xz A. R C. ( 6, 6) 50, 所以结合图象可得：x+ a-2, a0吋，函数代力只有一个零点 解析f(x)=0Oe“=&+丄 x 答案B 二、填空题 取值范围是 解析：画出图象，令g(x) =f(x)z?=0,即fx) A/ y= in的图彖的交点有3 个，?050 xWO. 若函数gx) =f(x) m有3个零点，则实数加的 可观察出A、C、D选项错误 , 数零点个数为4. 答案4 11.已知函数f(x) =e x2x+a 有零点，则曰的取值范围是_ ?解析 由原函数有零 点，可将问题转化为方程e-2+100,由2=64,27=128 知n=7. 答案7 三、解答题 13.二次函数f(x) =/16X+(7+3.若函数在区间一1,叮上存在零点，求实数g的取值范围； 解析：丁函数fx) =xlx+(7+3的对称轴是x=8, ? “3在区间1,1 上是减函数 . ?函数在区间 1,1 上存在零点,则必有 1 WO l-16 + g+3W0 ?, 即1,设函数f(x) = a+x 4的零点为刃，g(x)=log点+x 4的零点为，求丄 +丄的 m n 取值范围 . 分析欲求丄 +丄的取值范围，很容易联想到基木不等式，于是需探讨刃、刀之间的关系，m n 观察fd)与以方的表达式，根据函数零点的意义，可以把题kl中两个函数的零点和转化为指数 函数和对数函数y=log与直线y=x+4的交点的横坐标，凶为指数函数 和对数函数y =1鸥互为反函数，故其图象关于直线对称，乂因直线%+4 垂直于ft线y=x, 指数函数和対数函数y=log抹与冇 ?线y= x+4的交点的横坐标Z和是直线y=x与y=x+4的交点 的横坐标的2倍，这样即可建立起刃 ,n的数量关系式，进而利川基本不等式求解即可. 解析 令a + XA = 0 得a r = %+4, 令log屛+x4 = 0 得log=x+4, 在同 - 坐标系中画出函数y=a f y=log.fx, y=x+ 4 的图象，结合图形可知，n+m为直 y=x 线 =/与y=x+ 4的交点的横处标的2倍 由，儕得/=2,所以/?+刃=4, y= x+A 因为（门 +刃）卩 _+斗= 1+ 1 +兰+卫$4,又门知】,故（卄 / 丄+丄4,贝! ）-+- 1. I 刀mJ n m 町n m 15.己知函数/V）=4“+/?2'+1有且仅有一个零点，求 / 的取值范围，并求出该零点. 思路分析由题意可知，方程4 1 + /77-21+1=0 仅有一个实根，再利川换元法求解. 解析?f （x） =4' +刃?2'+1有且仅有一个零点， 即方程尸 +刃?2' + 1= 0仅有一个实根 . 设2 r = t （f0）,则f 2+mt+l=O. 当A =0时, 即力一4=0, .?/ =2时，t=l ； m=2时，f= 1 （不合题童，舍去）， ?.2”=1,丸=0符合题意 . 当40时，即加2或仍V2时， / + 加+1=0有两止或两负根， 即fd ）有两个零点或没有零点 . ?这种情况不符合题意. 综上可知：皿=_2时，代力有唯一零点，该零点为x=0. 【点评】方程的思想是与歯数思想密切相关的，函数问题町以转化为方程问题来解决，方程问 题也对以转化为函数问题来解决，本题就是两数的零点的问题转化为方程根的问题. 16.（1）/Z7为何值时，f （x） =/ + 2仇Y+3加+4. 有且仅有一个零点；有两个零点且均比一1大； （2）若函数f = Ax-+a有4个零点，求实数臼的取值范围. 解析（1）代方=Z+2/+3/z/+4有且仅有一个零点o 方程f3 =0有两个相等实根 o/=0,即I 4异一4 （3刃+4） =0, BP /7? 23/7/ 4 = 0, m= 4 或m= 1. 法一 设fd ）的两个零点分别为七，X2, 则% ）+ %2= 2/77, ?疋=3刃+4. zl =4龙一4 3/27+4 0 由题意，在 V山+1 %1 +1 曲+1 0 + 尢+1 0 m3刃一40 0 2刃+20 刃4或刃 5, m0, 即伯VI, 1一2/+3 加+40 ?
