@5-函数的解析式与定义域.doc.pdf
考纲解读 ?掌握两数的定义域和求解方法，会根据不同条件求两数的解析式 ?会求含参函数和复合函数的定义域 重点难点 ?两数的定义域和解析式的求法 ?含参函数的定义域 命题探究 ?求两数的定义域和两数的解析式既可作为小题考査, 也可作为两数综合问题的一部分. ?生活实际的应用问题用函数关系表示 ?函数是整个高屮数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年高考屮都占据相当大的比例，从 近 儿年来看，对本部分内容的考查形势稳中求变，向着更灵活的方向发展，高考的基本思路是通过研究函数的定义 域，进而研究函数的单调性，奇偶性及最值, 其中函数性质乂是高考的主线索。 高考赏析 1.(2010?全国)已知函数F(x) =| lgx|,若Ova vb,且F(a)= F(b),则a + 2b的取值范围是 A.(2/2,+oo) B.2V,+8 )C.(3,+8)D. 3,4-oo) 【命题意图】本小题主要考查对数两数的性质、两数的单调性、 两数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值 范 用，而利用均值不等式求得a2b = a + - 2V2,，从而错选A,这也是命题者的用苦良心Z处. a 【解析1】因为所以|lga|=|lg/?|,所以沪b( 舍去), 或0 =丄, 所以a + 2b =a + - a a 又0 vavb,所以0 vavlvb,令/( a) = d+2，由“对勾”函数的性质知两数/(a)在ow (0,1)上为减函数 , a 2 所以/(a) /=1 + 了 = 3,即a + 2b的敢值范围是(3, +8) . 0 y = - 过点(1,1)时z戢小为3, a + 2b的取 值范围是(3, +8) . 2.(2004 ?浙江 ) 若/( 兀)和g(x)都是定义在实数R上的函数 ,H.方程x-/§(%) = 0冇实数解，则gfM不可能是 【解析】法一 ?设兀0为方程x-fg(x) = 0的一个实根，则/g( 兀0) =兀0,设g( “o) = X) ，则/( X) =兀0,所 以 g( 兀o) = g/(y() )= %,即gf(yG)-yQ =°, 这说明gfM-x= o至少有一个实根 , 而对于选项 x-/g(x) =°即x-f(x) = o冇实数解，利用验证法可知，选B. Igx ( 兀0) y=f(x),xED 考点5函数的解析式和定义域 心+匕 【解析】1 4.(2010 ?夭津丿设函数/(x) = x 2-l, 对任意XGr2i+oo | - 4/n 2f(x) 0, 解得m (), 则/( X)的定义域是 _ ; (2) _ 若/( 兀)在区间( 0,1上 是减函数，则实数。的取值范围是_ ? 【解析】当a0时，山3 仮0得M3,所以/(x)的定义域是 YO,E； a a (2)当dl时，由题意知1 VQ53;当0 1的自变量无的取值范围为 4-Jx- (X 1) A. (-oo,-2U0,10 B. (-00,-2U0,1 C. (-oo,-2Ul,10 D. 2,0U1,10 【解析】法一：当兀vl时，/(x)l? (x + 1) 2 nioxw (-oo,-2U0,1) ；当兀1 时，.f(兀)o 4 一石二Thio JD53OXG0,?XW1,10.综上所述，选A；法二：图彖法 ; 法三: 特值法：兀 = 0,10. 7.设/(A-) = lg土, 则/(-) + /(-)的定义域为 2-x2 x A. (-4,0)U(0,4) B. (-4,-1)U(1,4) C. ( 2, 1)U(1,2) 0,得4vx 0. 要使g(x)在(-oo,-41 ±是递减函数，则应有q(xj + 卅) 一( 2g -1) v 0恒成立. X) 32,而q 0恒成立 . ?/ -4 32q. 要使c/(x + 后) 2g -1恒成立，则必有2q-0 A1 pl O ° 1， r 1 a ?由/0)=-= 应用创新 15.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某市用水收费 的方法是 : 水费二基木费 +超额费 +损耗费 . 若每月用水量不超过最低限竝d加3时，只付基木费8元 和侮 八侮月的定额损耗费c元; 若用水量超过初时 , 除了付同上的基木费和损耗费外，超过部分每m3付b元 的超额费 . 己知每户每月的定额损耗费不超过5元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所 示： 月份用水量 (/)水费( 元) 1 9 9 2 15 19 3 22 33 根据上表中的数据，求a,b,c. 【解析】设毎月用水量为支付费用为y元, 则 由题意知0 由表知第二、三月份的费用均大于13元, 故用水均大于锻低限 将x = 5,x = 22分别，得 19 = 8 + /?(15 Q) + C /? = 2. ? 2a 二c +19. (3) 33 = 8 + 方(22 - a) + c 再分析一月份的用水暈是否超过最低限暈. 不妨设9a,将兀=9代入(2)得9 = 8 + 2(9-d) + c= 2Q = C+17,与(3)孑盾 ?9 2 + 3)(1 On + 80),即证 8 + c 8 + b(x - a) + c (0 a) 10x(1) n + 9. 事实上，v 10x(1.1)“ =10(1+0.1)“ 10(l + C ： 0.1+?) = +10 “ + 9. 知识清单 ?函数的解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件f (g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得f(x) 的表 达式，此时要注意g(x)的范围； (2)待定系数法：若已知函数的类型( 如一次函数、二次函数 )可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)方程思想：已知关于f(x)与f(丄) 或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组， X 通过解方程组求Hlf(x). ?确定函数的定义域的原则 (1)当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格屮实数x的集合； (2)当函数y二f (x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合； (3)当函数y=f(x)川解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； (4)当函数y二f(x)|t|实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。 ?确定函数定义域的依据 (1)若f(x)是整式，则定义域为全体实数； (2)若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合； (3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合； (4)当f(x)是非正数指数幕时，定义域是使幕的底数不为0的x取值的集合： (5)若已知函数f(x)的定义域为a, b，其复合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x) Wb解出; (6)若已知函数f (g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xea, b时的值域。 ?求抽象函数的定义域： (1)若已知函数f(x)的定义域为a, b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式aWg(x)W b求出. (2)若已知函数f (g(x)的定义域为a,b,贝ijf(x)的定义域为g(x)在xG a,b时的值域 . 提醒：定义域 必须写成集合或区间的形式. 纠错笔记 ?易错点一: 求函数的解析式的方法选择不恰当. 求函数解析式的常见方法有配凑法、待定系数法、变量代换法方 程 组法?考生在解题时要根据条件灵活选择. ?易错点二: 忽视函数的定义域 ?求定义域时耍遵循“先局部，厉整体”的原则，解决两数的有关问题时要遵循“定 义 域优先”的原则 ?“已知f(x)的定义域，求/0(兀)的定义域”和 “已知/(%) 的定义域，求/( X)的定义域” , 这两类问题容易混淆 .
