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17.1.2反比例函数的图象和性质（第一课时） 吉林省抚松外国语学校张京春 一、 内容和内容解析： 本节课属于九年义务教育人教版八年级下第17.1.2章反比例函数的图象及性质 （第一?课吋）内容，它属于全日制义务教育数学课程标准屮的“数与代数”领 域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数（正比例函数）的基础上，进一步研 究反比例函数的图象，并通过图象研究和分析，来确定反比例函数的木质属性所在。 反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。 首先，反比例函数的图象和性质，本身就是“数与形”的统一体。通过对图象的 研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了“数形结合”的思想方法。这在学习 数轴、平面直角坐标系吋，学生已经接触过，结合木课内容，可以进一步加强对“数 形结合”思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优 势。 第二，从本节课知识形成过程来看，由解析式作图性质，充分体现了由“数 形”，再由“形数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的 联系，突出体现了两者之间的“转化”对分析解决问题的特殊作用，是“转化”思想 的具体应用。 第三，将函数屮变量之间的“对应关系”，通过图象的形状、变化趋势，借助平 面直角坐标系好点的坐标，直观地予以呈现，这乂充分体现了“变化与对应” 的数学 思想。 第四，用描点法画反比例函数的图象吋，先由函数解析式考虑自变量的取值范 围，分析x与y的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势, 继而列 表、描点、连线做出函数图彖，反映了做函数图彖的一般规律。 对于反比例函数图象及性质的研究和学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但 它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化。教材 屮呈现的函数概念函数的图象及性质函数的实际应用的结构，是学习初等函 数的有效方法。 反比例函数的图彖和性质的学习是继一次函数（正比例函数）后，知识和方法上 的一次拓展，理解与与认识丄的一?次升华，也是思想丄的一次飞跃，图象由“一条” 到“两支”，由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由“与坐标轴有交点”到 “没有交点的渐进式图象”，无处不在反映出函数本质属性的进一- 步 深化。因此，学 好本节课内容，将为今后的函数学习奠定坚实的基础。 教学重点：反比例函数的图彖和性质，以及蕴含的思想方法。 二、 口标和口标解析 1、教学FI标： 知识与技能：会用描点法画出反比例函数的图像；掌握反比例函数的图象及性质。 会用反比例函数的图象及性质解决实际问题。 过程与方法：在画具体反比例函数图象的过程屮，探索反比例函数图象及性质; 从具 体图象入手得出图象性质，感受从“特殊”到“一般”到“特殊”，“数形结合”， “变化与对应”的数学思想，通过观察图彖“类比”正比例函数图象的分析方法，总 结归纳反比例函数的性质的过程中，体会“类比思想”优势。 情感与态度 : 在探究过程屮，培养学牛严谨的科学态度和勇于探索性质的精神, 在学 习过程屮学会聆听，欣赏与感悟。 2、FI标解析： (1)本节课的内容是先使用描点画反比例函数的图彖，然后依据图象分析、探究、 归纳得到函数的性质。因此准确画出反比例函数的图象，是探究性质的前提。虽然学 牛已经学过描点法画函数图象，但是由于反比例函数的特殊性会画反比例函数图象仍 然是学习的H标之一。通过列表、描点连线画反比例函数图象，进而观察、分析、探 究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数的3种表示方法的 理解。 数学思想的教学一般要经过渗透一领悟一应用一巩固深化4个阶段，而不是灌 输，在探究性质吋，让学生领悟到“数形结合”思想、“转化”思想、“类比” 思 想、“变化与对应”思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图 象，探究、归纳、概括反比例函数的性质。 在探究过程小，培养学生严谨的科学态度和勇于探索性质的精神，在学习过程 屮学会聆听，欣赏与感悟。 三、教学过程中出现的问题预见及分析： 对于描点法画函数的图象，学生虽然在八年级上学期学过，但时间间隔较长有遗 忘的可能，而且为时处于学习函数的初级阶段，学生对每一步的要求的理解并不深 刻。因此在画反比例函数图象吋或许会出现以下的问题： 列表吋，确定自变量X的取值范I韦I缺乏代表性及忽略xHO, yHO等现象。 连线吋，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移, 把双 曲线连成折线，或许还会出现与坐标轴相交的可能。 对双曲线与坐标轴渐进但不相交理解有困难。 鉴于上述的预见问题，确定教学难点为：准确画出反比例函数图象，理解图象的 性质。 在教学吋，应注意进行有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进 行对具体的解析式屮的变量的取值范围入手，进而过渡到图象的分析。 在学习正比例函数的吋候，学生己经经历过“观察分析抽象归纳函 数性质”的过程，因此通过类比学习止比例函数图象与性质的过程，宏观丄提出相类 似的问题，但由于反比例函数图象和对与正比例函数的形态丰富，结构复杂，具有自 身的特殊性，因此在微观上设计有注意问题的有戸的性，便于学生在探究过程屮有的 放矢。应着重注意“数一形一数”的转化关系。 川、优化教学所采取的教学工具： 根据本节课的特点，准确地画出函数图象是达成探究图象性质的前提，为了避免 在课堂上学生因为建立坐标系的不精确而导致画出的图象难以发现图象的特征，也为 了节省课堂上有限的吋间，我在课前为每位学生准备了坐标纸辅助学生画图；即便使 用坐标纸，一节课学生也不可能画出多个反比例函数的图象，因此我借助多媒体的几 何画板为平台，绘制图象，通过动态演示，观察k的变化与图象的关系，使学生达成 本节课所要达到的H标。 五、教学过程 (-) 温故知新： 问题1、函数(1) y=2x, (2)y=2x?3, (3) y =各是什么函数？ 自变量x的取值范围是什么？* 【设计意图】：把学过的几种函数纳入知识系统，引导学生探索x、y的取值不为0, 从而得知与坐标轴没有交点的原因；半k大于0时，x与y同号，当k小于0 吋，x与 y界号就会从“数”的角度了解图象应该所在的象限。 问题2、填表： 函数正比例函数 解析式y=kx (kHO) 图像形状经过原点的直线 图象 d k / 自变量取值范围全体实数 图象的位置 当k0时, 在一、三象限；当kvO吋， 在二、四象限。 性质 当k0时，y随x的增大而增大，图象 从左到右呈上升趋势； 为kvO吋，y随x的增大而减小。图象 从左到右呈下降趋势； 【设计意图】：通过类比正比例函数的相关知识的研究方向，明确反比例函数也是 以这儿个反面入手研究的，使学生有的放矢的去研究反比例函数的图象和性质，是类 比思想的初步渗透。 (%1) 探究新知： 问题3、运用描点法分别用不同的颜色画出反比例函数y 的图象。 ( 1)列表： ( 计算表格中函数y的值) X ? ? ? -6-5-4-3? 2 ? 1 12 345 6 ? ? ? 6 y=- X ? ? ? ? ? (2)描点：( ? 6, ) (-5, ) (-4,)(? 3, ) (-2, ) (-1, ) (1, ) (2, ) (3,) (4, ) (5, )( 6,) (3)连线：在坐标纸上画出图彖 【设计意图】：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，经历描点法画出反比 例函数的图彖可以使学生有一个初步的感性认识。利用坐标纸，可以避免学生在口己 建立坐标系吋因为各种原因造成的图像不精确提高绘图的精确稈?度；可以节省自己建 立坐标系画图的吋间；有利于小组成员互相检查与交流。 问题4、反比例函数y=°的图象与x轴、y轴有交点吗？为什么？它们的图像是连续的 吗？ 问题5、反比例函数y=° (kHO)的图象在第 _ 象限，由什么因素决定？ X 在每一个象限内，y随x的变化情况如何？ 【设计意图】：引导学生由数x与y的取值范围入手，发现图象与x轴、y轴没 有交 点，进而引导学生图象为不连续的两支曲线。通过类比正比例函数，引导学生观察图 象的位置、变化趋势，感受形的特征，以及H变量与函数值0间变化与对应关系，是 学生对反比例函数的图象和性质形成初步印象。 问题6、运用描点法在上面的坐标系屮画出反比例函数y = -的图象后探究该图X 像与y=9的异同点。 【设计意图】：通过再次画出反比例函数的图象，帮助学生巩尚前面己经获得的作图 经验，提高画图能力，在总结图象特征过程屮，增强学生对图象的观察、感知、分 析、概括的能力，经历画图象，利用图象研究函数性质的过程。通过观察比较，总结 图象特征。 问题7、是不是所有的反比例函数的图彖都具有这样的特征呢？ 教师活动：插入儿何画板多取不同k的值，从而引导学生观察、分析、总结、归纳出 下表屮反比例函数的图象和性质。 函数反比例函数 解析式 y=k/x (kHO) 图像形状双曲线 图象 1 2. 函数y二- 丄的图象在第 _ 象限，在每个象限内，y随x的增 大而 _ ?你还能提出什么问题? m v 3.反比例函数x的图彖位于第二、四彖限, 4 . 如图是反比例函数心图象的 i 支，则m的取值范围是 5 ?设点P （x 1 ,y ）,P2（X2,y2）都在双曲线 （填 V或） . （四）归纳小结 【设计意图】教师引导学牛归纳本节课的知识要点和 思想方法，使学牛对反比例函数的图象和性质有一? 个较为整体、全面的认识。 （五）作业 收集与生活相关的反比例函数问题 【设计意图】承上启下 A.-2 B.2 C.-3或?1 D.?2或 1
