《有理数》复习指导.docx.pdf
有理数复习指导 安徽李庆社 一、知识结构 : 二、复习目标 1、借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广 泛性。会判断一个数是正数述是负数，能应用正负数表示生活小具有相反意义的量。 2、通过与温度计的类比认识数轴，会用数轴上的点表示有理数。 3、借助数轴了解相反数的概念，知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系, 能 利用数轴比较有理数的大小。借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对 值，会利用绝对值比较两个负数的大小。应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义 和作用。 4、经历探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律。能 熟练进行整数加法运算，并能用运算律简化运算。经历探索冇理数减法法则的过程, 理解 有理数减法法则。能熟练进行整数减法的运算。能进行包括小数或分数的有理数的加减 混合运算。能根据具体问题，适当运用运算律简化运算。能综合运用冇理数及其加法、 减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系。 5、经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能 力。会进行有理数的乘法运算，能运用乘法运算简化计算。理解有理数除法的法则，会 进行有理数的除法运算。会求有理数的倒数。在现实背景中，理解有理数的乘方意义。 能进行有理数的乘方运算。通过实例感受当底数大于1时，乘方运算的结果增长得很快。 6、掌握冇理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混 合运算（以三步为主）。在运算过程中能合理使用运算律简化运算。会使用计算器进行 有理数的加、减、乘、除、乘方的运算。经历运用计算器探求规律的活动，发展合情推 理能力。运用计算器进行实际问题的复杂运算。 三、 重难点 重点：用正负数表示相反意义；绝对值概念的理解和求一个数绝对值的方法；有理数 的加法；有理数的乘法法则，倒数的概念，积的符号的确定，乘法运算律及运用运算律简 化运算等。 难点：冇理数混合运算的法则的应用及冇理数的混合运算技巧；应用冇理数的运算解 决实际问题等是难点。 四、 知识要点 1、我们常用 _ 数表示相反意义的量； 2、整数与分数统称 _ 。 3、在直线规定了原点（表示0）,选取一定的长为单位长度（表示1的长）规定向右 的方向为止方向，就得到了数轴。数轴的“三要素”是指_ 。 4、a的相反数表示为 _ 。 5、数轴上两个点表示的数，右边的数比左边的数大。止数大于0,负数小于 0, 正数大 于负数。 6、正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的相反数是 0。 7、有理数的加法法则是 _ , 有理数的减法法则是 _ 。 8、冇理数的乘法法则是 _ , 除法法则是 _ , 乘方法则是 。 9、有理数的混合运算顺序是_ 。 五、 学法指导 熟悉冇理数的概念，会对冇理数进行分类。会借助数轴比较冇理数的大小。 有理数的运算中，要注重运算法则，运算律，运算顺序和整数幕的运算. 有理数的加法法则是十分重要的，同号两数相加，取相同的符号，并把两数的绝对值 相加；异号两数相加，取较大的绝对值的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值. 有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，乘、除法则都是同号得 正，异号得负，并把绝对值相乘、除. 除法也可以转化为乘法，即除以一个数等于乘上这个 数的倒数 . 乘方运算看作特殊的乘法运算，耍把符号写对， 负数 的奇数次方为负数， 负数的 偶数次方为正数 . 正数的任何次方都是正数. 运算律在运算中要根据题意灵活运用，如加法、乘法的交换律、结合律以及分配律. 在有理数的运算中，若能合理利用，可以使计算简化. 运算顺序也是尤其要注意的问题之一，在加、减、乘、除、乘方运算中，加减是一级 运算，乘除是二级运算，乘方是第三级运算. 要先高级再低级，同级运算中，从左向右按顺 序计算. 若冇括号，先括号内再括号外，先小括号，再中括号，最后大括号. 在运算中要先观察，看题中冇些什么运算；再思考，想一想，先算什么，后算什 么，运算法则是什么等问题，再动手去算. 不要急于下手算，否则很容易出现错误，在运 算中还要注意符号的问题，一般来说，耍先确定符号，再确定绝对值. 了解近似数与有效数字的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入 法求其近似值；会用科学记数法表示绝对值大于10的数. 本章屮的数学思想方法主要有：字母代数、数形结合，转化等，要结合具体问题加 以体会和运用。 六、典型例题分析 1、应用举例 例 1 (1)在知识竞赛中，如果 +10分表示加 10分，那么扣 20分怎样表示？ 某人传动转盘，如果沿逆时针转5圈记作 +5 圈，那么沿顺时针转12圈怎样表示？ 某次乒乓球质量中，一只乒乓球超出标准0.02克记作 +0.02克，那么 -0.03表 示什 么？ 分析：本题主要是运用正负数表示相反意义的量。 例 2在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小。 1.5, 3, 1, 5 求出中各数的相反数、绝对值，并比较它们的大小。 你发现了什么？ 分析：本题主要是利用数轴表示数，求一个数的的相反数、绝对值。从而得出结 论：两个负数，绝对值的反而小。 例 3从流花河的水文资料 (单位：米 )，以河流的警戒水位为0点，那么图中的其他 数据可以分别记作什么？ 下表是小明记录的今年雨季流花河一周的水位变化情况( 上周末的水位达到警戒水 位) 星期 ? 二三四五六七 水位变化 (米) +2. 20+0.81-0. 35+0. 03+0.28-0. 36 -0. 0 1 (1) 木周哪一末河流的水位最高？哪一末河流的水位最低？它们仅次于警戒水位之 上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少？ (2)与上周末相比，本周末河流水位是上升还是下降了？ (3)完成下面的本周水位记录表： 星期 ? 二三四五六七 水位记录 (米) 73. 6 (4) 以警戒水位为 0 点，用折线统计图表示本周的水位情况。分析：建立数学模 型，用有理数加减混合运算解决实际问题。思考：与水位变化类似的生活问题还冇 哪些？ 例 4如果两个数的和是正数，那么这两个数一定( ) (A)都是正数(B)只有一个正数 （C）至少有一个是正数（D）以上答案都不对 分析：木题主要考查有理数的加法法则，解答此题的关键在于熟练掌握有理数加法 法则. 解答：同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加，因此两个正数的和仍为 正数；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再把较大的绝对值减去较小的绝对 值，因此两异号的数相加，若正数的绝对值较大，则其和为正. 故此题应选（C）?启 示：进行有理数的加法运算，必须严格按照有理数加法法则进行. 3 3 111 例 5计算： 4 8 8 2 4 O 分析：木题主要考查有理数的加减混合运算. 关键是要注意运算顺序及符号运算. 3 3 111 ?一一一一一 +一 '4 8 8 2 4 3 111 =+ + 8 8 2 4 11 1 =+ 4 2 4 31 =_ 44 _ 1 解 1 ：2解 2：启示：解法 1是将原式看作有 理数的加减混合运算，读作: 按照法则从左向右依次运算；解法2是将原式看作儿个有理数的 和，读作 : 3 _3 _ 1 2 了 7 8 ,2, 4 的和，所以可用加法交换律和结合律进行运算 . 3 1 1 （+1 行）- （+6.25） - （-8-） -0.75 - （-22-） 分析：本题主要考查有理数的加减混合运算及合理运用加法交换律、 结合律进行简便运算 . (+17-) - (+6.25) - (-8 丄)- 0.75-(-22-) 4 2 4 解：3 11 =17-6.25+ 8-0.75 + 22- 4 2 4 =(17 + 221) -(6.25 + 0.75) +8* = 40-7 + 8- 2 = 33 + 8- 2 33 111 48 8 2 4 扌减I减扑2减* 例 6计算: = 41 2 启示：合理运用加法交换律、结合律进行有理数的混合运算，可以帮助我们简便 运算，减少计算量，在此，应注意多重符号的化简，女口：一（一 8） , （+8） , + （-8） , + （+8）,我们将它概括成去括号法则. 因 a的相反数为一 a,所以一（ 8 ）表不一 8的相反数，因此一（一8）=8,同理一（ + 8 ） = 8 ,归纳成如下法则：括 号前为负号，去掉扌舌号及前面的负号，括号内的每一项均改变符号；扌舌号前为正 号，去掉括号及前面的正号，括号里的每一项均不改变符号. 一 1-一 - 一（ + 一 一 1一）+ 一 例 7 计算： 4 2 4 2 8 8 分析：本题主要考查利用去描号法则及加法交换律、结合律进行简便运算. 学生 不一定能 想到此题的简便运算，仍按常规思维，进行脱式计算，这样计算量大，而且容易出错， 因此，在解答冇理数让算时，先应注意观察、分析题目的特点，选择恰当 的方法进行解答 . s .3rl z3 1 ,3. 5. 解厂厂亍厂峙） +卫 4 2 4 2 8 8 4 2 4 2 8 8 z 3 3、/ 1 V Z13 5、 =Cl + ）+（一 一 + ） 一（l 一 + ） 4 4 2 2 8 8 = -l + 0-2 =一 3 启示：进行有理数的混合运算，应充分考虑题口的特点，选择合适的方法，如去括 本题主要考查利用去括号法则进行冇理数加减混合运算? 1 2 =-2 - + - - （ 2 3 4 6 =-2 + 1-1 + 1 + 1 23 4 6 = -iA 12 号，加法交换律 , 例 8计算： 姓 乞”竺；廿么稔価片苗 1 冷 分析: 解： 1 1 1 3 4 6 、 1 1 1） 启示：对于多个括号的问题，要从小括号到中括号到大括号一层层去掉括号，去括 号时要看括号前是正号还是负号，若是负号，去掉括号后，里面各项都要变号. 例 9 计算： 1 + 2-3-4 + 5 + 6-7-8+ 1992+1993+1994 分析：本题主要考查有理数的加减混合运算 解：1+2-3-4+5+6-7-8+-1992+1993+1994 =(1 + 2) + (-3-4 + S + 6) + (-7-8 + 9+10) +?+ (-1991-1992+1993 + 1994) = 3+4+ = 3+4X498 = 3+1992 = 1995 启示：对于这样的题目，耍找到一定的规律，而去计算，如木题的特点可看出， -3-44-5 + 6 = 4, -7-8+9+10=4, -11-12+13+14 = 4-,可得出到1994 共冇 498 个 4,因此再加上前 面的 3,而得到 1995,当然找规律的方法不止一种，还可以有其它找规律的方法 ?总之，要认 真分析，找到有规律的计算方法. 12-A-2!L|-2| 例 10 计算： 59 37 59| I 371 分析：本题主要考查含冇绝对值的冇理数加减法混合运算，对于此题，学生易想 到利用常规思维去计算，这样其计算量是很大的，而且容易出错. 5 37 5 解： - 59 40 5940 一 5940 一 59 裁| 埠 I 391 5 5?| 37 亠 丄 37 37 + 2 一 2 37 37 _ 1 59 启示：对于含冇绝对値的加减运算，应充分利用绝对值的性质 简化计算 , 如: |8-11 1=11-8? a (a 0) -a (a 0, y0 时, x+y 二 7,当 x0y0 时, x+y 二-7,故选(C)。 例 4 (2004年新疆建设兵团屮考题 )屮央电视台报道：国家对财政部设立专项基金 20个亿 (人民币 )用于“非碘型性肺炎”的防止工作。用科学计数法可表示为( ) 元 (A)0. 2X1O 10 (B)2X10 9 (C)2X10 8 (D)20X10 7 分析：先把 20亿用元作单位写成2000000000元，再把它用科学计数法表示为2X10 9 元，选择。 例 5 (2003年杭州市屮考题 ) 计算：( 0.04) 2003X(-5) 20032 得( ) 1 一 1 (0吉 分析：原式 =(0. 04) 2003x (-5) 2 2003= ( 0. 04 X 25 ) 2003=lo 3、小式牛刀 题 1：解下列问题 : (1)大于-4而小于 5的所有整数的和； (2)绝对值人于 1而小于 4的所有止整数； (3)绝对值不大于 4而不小于 2的所有整数的积 ; (4)全体整数共有多少个？它们的和是儿？ 题 2：(1) (4-2.5) - (+6.8) 4-(-7.2) -(-4.5)- (-3) (2) -49 X 10 7 (3) 0- 22 (-2) + (-2) 3 x 0 - 23 (-2)2 P Q 1 8 1 (4) 1- - (5- - 22 (-) 2 4- 3 x (-) x -) 3 A2 4 2 22 1 5 (5) 13x-+0.78x- + -xl3+-x0.78 37 3 7
