《随机信号基础》复习题.docx.pdf

简答题 1.简述两个随机变量X和Y之间分别满足独立、不相关、正交关系 的条件，以及这三种关系之间的联系。 答: 独立：FXY(x9y) = Fx(x) FY(y),或fXY(x9y) = fx(x)-fY(y); 不相关：加=o或cov(x,r)= o；正交：EXY = 0. 若X和Y独立则一定不相关，若X和Y不相关则不一定独立; 若X 或Y的数学期望为0,则不相关与正交等价。 2.写出函数X(3)在e确定t为变量、t确定e为变量、e和t都确 定、e和t都是变量四种情况下所代表的意义。其中如S, s 为样本空 间，t为时间参数。 答：样本函数；随机变量；常数；随机过程。 3.简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。 答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 均值具有遍历性相关函数具有遍历性。 所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。 4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任 意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何 种关系？ 答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函 数。一般片噪声在任意两个不同时刻不相关，匸态白噪声在任意两 个 不同时刻独立。 5.若随机过程X是平稳过程，则其功率谱密度Gx)与自相关函数 籤有何关系？请写出关系式。 答:Gx(e)是心的傅立叶变换，Gx(CD)=jxe-dT ,或 2兀丄°° 6?设线性系统的冲激响应为h(t),输入随机过程为X(t),系统输出为Y(t), 各自的自相关函数分别为RX(tl,t2)和RY(tl,t2)。说明二者之间的关 系。 答: 心( 心2)=心( 心2)*力(/ 】)*%2) ? 7.写出希尔伯特变换的时域形式) 和频域形式H( 叽 答: 力( 。=丄，H(C6)= -j-sgn(C6). m 2、宽带随机信号通过窄带线性系统，输出近似正态; 11.窄带实信号x(t)相应的复信号表示为X(0 = x(0 + jx(t), 说明X (t)与x(t) 在频域上的关系。 答:§ S) = SS)?l + sgn( 创2S中),0 12?简述白噪声的定义，并写出 其自相关函数。 答：均值为0,功率谱密度在整个频率轴上为非零常数的平稳随机过 程X(t)称为白噪声。Rx (r) = J(r) Gx (af)= , - 0 平稳随机过程X(t)均方可微的充要条件是：_d*x(C=R，(0)存在 dr 19.按照随机过程的状态和时间可将随机过程分为几类，并一一列 举。 答：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散 随机序列。 20.平稳过程可分为哪两类，并简述二者之间的关系。 答：严平稳随机过程、宽平稳随机过程。严平稳过程的统计特性不 随 时间的推移而变化。严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过 程也 不一定是严平稳过程。 =兀 (/)* 计算或证明题 I.离散型随机变量X的分布律为 X -1 1 2 3 p 0.2 0. 1 0.4 0. 3 求随机变量Y=2X 24-1 的分布律。 解: Y 3 9 19 P 0. 3 0.4 0.3 2.随机变量X的分布函数为 0,兀W (8 ,0 X 玄, 心0,4 求X的数学期望和方差。 解:X的概率密度函数为 丄 f(x) = 4 (0,4 0, else .,EX=xf(x)dx=xdx冷?士 °?16 7 4 DX=EX 2-E2X = -22= 亍? 3.利用重复抛币试验定义一个随机过程 Jcos加, 出现正面 =4,出现反面 “出现正面”和“岀现反面”的概率各为l/2o (1)求X(/)的一维分布函数竹(X,*)和Fx ( 兀,1)； (2)求X(r)的二维分布函数Fx(x.,x2;|,l) o 0 1, x? 2 4.设随机振幅信号X(/)“.sin则，其中 ?是常数，随机变量V的数 学 期望为0方羌为1,求该随机信号的数学期望、方羌、相关函数和协 方差函数。 角军：EX(0 = EV ? sin = EV-sina) Qt = 0, Rx (r|9r2) = EX(t)X(r2) = EV2 -sincot sin690r2 = EV2 sinco0t sin690r2 =DV + E V sin?/】sin?/? - sin6 sina)t2 Kx(A，2) = Rx (，i，(2) EX(/ )EX( (2) = sin ?斤sin 690z2，DX(t) = Kx(t,t) = sin 2 a) ot. 5.一正态随机过程的均值mx(t) = 2，协方差K(f,/2)= 8cos(f- 心) ， 写出 当厶=0、(2=%时的二维概率密度。 6.某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生 X(“) = l, X(t,e2) = sint, X(t,e3) = cost 0 , x 2 1 5 兀v 2 , S；X (l)x2 解：° K (/,/) = 8, K(0,*) = 0 (x - inf K l (x - m) = (x, - 2 0 x-2 8X22 计算数学期望加x(0和口相关函数Rx(E； (2)该随机过程是否平稳? 解：(l)m x (t) = -(l + sinr + cos/) Rx (z15r2) = -l 4-sinr, sinr2 +cos/】cos2 = l + cos( _&)， (2)因数学期望与时间有关，故为非平稳随机过程。 7.已知RC电路的频率响应为H(e),输入过程N为口噪声，其相关函 数为心二牛址)，求输出过程丫的功率谱密度Gg。 解: 心与旳G&) =导，?G血上6&).|/7(6=牛片( 测? 8.若A(t)、B(t)相互独立，均为平稳随机过程，且二者均值均为零、 自相关函数相等 , 又有X(r) = A(r)?cosr, Y(t) = B?siw。试证明随机过 程Z(r) = X+ W)是宽平稳过程。 HE： E(t)=EX(t)+Y(t)=EA(t)cost+B(t)sint=0+0=0 Rz(r,r + r) = EZ(t)Z(t + r) = E( A(t)cost+B(t)sint)( A(/ + r)cos (r + r) +B(/ + r)sin(r + r) =EA(t)A(t + r) cos t cos(/ + r) + + r) cos t sin(r + r) + B B(j + r) sin t sin(r + r) + + r) sin t cos(/ + r) = Rz (r) EZ 2(r) = /? z(0)oo 故过程为宽平稳过程。 9.随机过程X(/) = a.cos(G/ + O)，其中a、3 为常数， ?) 为均匀分布 于(0) 之间的随机变量，BP： (1)求随机过程X(/)的自相关函数； (2)判断随机过程x是否是平稳过程。 解:(1) Rx (/j, r2)=EX(/j )X(r2)=Ea 2 ? cosaz, +0) cos(tz2 4-0) O07V else =一 ?/ ?ECOS做/| +/2）+ 20 + COS阪/ 厂&） 1 ? r 1 1 7 =_ ? cr? I _cosy（f| +rJ+2&M0 cr ? cos6J（Z| f2） 2 4 兀2 （2） mx（/） = d ? Ecos （/tr + 0） = a?一cos（血 + &）d& ?b兀 =sin（ar+ ）r = sinf, 与t 有关 71 71 ?X不是平稳过程。 10?已知平稳随机过程的自相关函数/?(T)=-(1+COS6T),求其功率谱密 2 度。 解：根据维纳 - 辛钦定理，有 G(69)= F7*?=一2 感 + 阳69-?) + 兀沃0)七 ?) =刃5(劲+-5(0-兔)+ 丄3(0+ 山) 11 ?设随机过程X(t)的自相关函数为Rx(E，又有随机过程Y(t)为X(t)的 导数过程，即 : dt 求X(t)和Y(t)的互相关函数隔 ( 也) 和Y(t)的自相关函数他 ( 也) 。 12?已知一个平稳随机过程输入到低通滤波器，如下图。x(/)的自相 关函数/?x(也) ( 心) 皿), 求输岀的自相关函数恥) 。 解:RXY（/,t2） = EX （G“2 ） = ExX亿 + 弓 zig 卜2宀A/2 =恤日细绝如沁辿 = 讪磁（也 +弘）- 磁（也） =2心（也） UAr. UAr. 弘 x 1 2 &2T0 A/2 RY4，S） = EY（t）Y（t2） = El.i.m. 乂（八 +（）_*仏）y（G） 8 TO AT） =lim EX“+G）y（f2）_X（M2） = lim心（人 +02）心y（W2）= ± （Zj仏） MTOAr. % A/2 M T0 - & d ° 2 靳劭（也） =丽严（也） ? X(t) 解： Rx C)=灾)O Gx(G)= 1 1 %)= 严 =i = (a = 1 | R 1 + jajRC a+ jco RC jX 13.已知某RC电路的冲激响应为h=2严u,输入平稳过程X(r) 的自 相关函数为Rx=厂叫 求输出过程W)的自相关函数心 和平均功 率回。 解：由 片,= 心( 0)=彳? 14.已知角度调制信号X(/) = cos? +加 为窄带信号，写出它的复信 号表示式，并求该信号的复包络和包络。 解: Y(t) Gy(co) = GxH a2 a 2a / + 少 2 6T + ar Ry(t) = -e-,(a = 2 丄) RC) + 7sin coct + m (/) - /? 什加 =. e w /. A(/) = e 心1 15. 个线性系统当输入为x时，相应的输出为丫。证明若该系 统的输入为X(/)的希尔伯特变换去 , 则相应的输出为Y的希尔伯 特变换 ) 。 证：设该线性系统冲激响应函数为W),则有y(/) = X(z)*/i(r) C 1 1 1 K(0 = Y(r) * = X * h(t) * 一= X (r) * 一“(r) = X * h(t) 7lt 7U 7lt 即若该系统输入X(z),则输出为产. 16.已知某系统频率响应为H) = 2U(a),证明当输入信号为X时, 相 应的输出是X的解析信号。 ( 注：“0)0丄师) 一-) 2 jm 证：?u(0)丄师 )-,系统冲激响应为h(t) = 8(t)-，当输入为2 j 加jm X时，输出 1 1 A Y(t) = X*h(t) = X (0*)- = X(t) + jX(t)- = X (0 + jX(0 , j7Tt 7Ct ? ? 输出是x(f)的解析信号。 17.设窄带平稳随机过程n(r) = X(r)cos(oct-Y(z)sma)ct ,证明： RY (r) = 7?(r)cos?/F+R&)sin a)cT 证： v ?(r) = X (r)cosa)ct-Y(r)sin co t = X (r)sin?/ +Y(r)cos coct n(r)sin69.r 二X (r)cos69/sinco(.t-Y(r)sin 2 a)ct 斤 (f)cos?/ = X (r)sincoct cosa)ct + Y(r)cos 2 a)ct 由上式可得： y(r) = ?(r) cos a)ct - n(r)sin coct 所以/?r(r)=Ey(r)y(r-r) =En (r)cos coct一n(r)sin ?f 忻(t - T)cos coc (t - T)- n(t - T)sin coc(t -T) =R* (r)cos coct cos a)c(t-r)- Rrin (r)cos(oct sin a)c (t - r) 一Rnk (r)sin a)ct cos coc (r - r) + Rn (r)sin ?sin a)c (t 一r) 因为 X(r)=X(/)+,/X (r) =cos a)ct + m (f) 加 R“ ( 刃=心，心血 )=A.( 订心( 刃=-恥) 所以 Ry (r) = Rn (r)coscocT + Rnsin?万