【备战高考_数学】高三数学复习提升专题：线性规划中的参数问题(解析版).doc.pdf

问题二线性规划中的参数问题 简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型:(1)平面区域的确定 问题；(2)区域面积问题;(3)最值问题；(4)逆向求参数问题 . 而逆向求参数问题，是 线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值. 若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域 内的点 ( 即最优解 ) ，将点的坐标代入目标函数求得参数的值. 1.目标函数中兀的系数为参数 x+y-20 则实数a的值为 _ . 【答案】2或-1 【解析】如虱画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线严做，因此要使线性目标函数取得最大值 的最优解不唯一，直线y =的斜率，要与直线2x-p + 2 = 0或x+p-2 =0的斜率相等 ?. ° = 2或-1? 【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系?通过本题应进一步明确两点: (1)线性规划问题可能没有最优解；(2)当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条 类型一标函数中含参数 边界平行时 , 线性规划问题可以有无数个最优解. x-yQ 【牛刀小试】已知满足约束条件r+)V2，若z = ox+y的最大值为4 ,则 y0 a = _ . 【答案】2 【解析】将化为作出可行域(如團所示力当心0时，当直线v = -ar+z向右 下方平移时，直线v = -ar+z 在p轴上的截距z减少，当直线y = -+z过原点时，=0 ( 舍力当 。 0时，当直线， =-妙+z向右上方平 移时，直线y = -ax+z在v轴上的截距z増犬，若-11 时，贝U当直线 =d+z过点.4(2=0)日寸，z生=2。= 4, 解得? 【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决， 往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度, 如本题中，不 仅要讨论斜率 -a的符号，还要讨论斜率-a与边界直线斜率 -1的大小关系 . 2?目标函数中y 的系数为参数 2x + 3y-l 1 0)的最大 x-y + 20, 值为1 /贝!k/= _ ? 【答案门? 【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B ( 4 , 1 )点是取得最大值， ? 1 = 4 6zx 1 ;.a = 3 ? 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值. 标函数中匕 )的系数均含参数 x2 【例3】设兀，y满足约束条件2兀一)71，若目标函数z = d + 0y(GO“O)的最小值 yx 为2 ,则db的最大值为_ 【答案】1 ? 【解析】不等式组表示的平面区域如團阴影部分，易求得X2：2):5(2:3),要目标函数z=axby(a0zb0)的最 小值为2,二2。+ 2占=2 ,即a=b = l ?当且仅当 2 4 Q = b = ；等号成立 . 故处的最犬值为A . 2 4 【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用. 应明确若可行域是封闭的多边 形，最优解一般在多边形的顶点处取得. 应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等” 缺一不可 . 【牛刀小试】2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设兀，y满足约束条件 3x - y - 6 0,b0)的最大值为12 ,贝!J: 的最小值a b x0,y0 为 _ ? 25 【答案】手 6 【解析】作出x，y满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数 z = or + /?y(d0,0)经过点A(4,6)取得最大值12 , 即4° + 6b = 12 , 亦即 C “ A ccri 2 3 .2 3、2c + 3b 13 b a13 lb a 25 土口仲 2Q + 3/?= 6,所以一 + 丁 = ( 一 + 丁) - = - + (- + -) + 2 , 当且仅 a b a b 6 6 a b 6 a 6 【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜 率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点, 目标函数取得最小值；已知 似+彷二加(a0,b0,m0)求 + C(c0,d0)的最 小值，通常转化为I = _ (I) ( ax + hy),展开后用基本 . x y m x y x+y 0,表示的平面区域为D .若圆C:( 兀+1尸+? + 1)2 =兀 x-l0 (r 0)不经过区域D上的点 , 则r的取值范围是 _ . 【答案】(0,2屈卜(2用,+0) 【解析】不等式对应的区域为、应. 圆心为(7-1),区域中A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最 Y-1 丫= 1 大八?要使圆不经过区域D,则有0 ?由得厂 1 .y = 少=】 ”= 得即5(1,3)?卜= |EC| = 2衣?0VY2JI或厂2少，即尸的取值范围是 ?3 (0S22)U(25S+OD). 【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题?对于目标函数为平方型： z = (x-tz) 2+(y-Z?)2，可看成可行域内的点 P(x,y)与定点Q仏b)两点 连线的距离的平方 , 即|PQ =( x-a) 2(y-b)2 ; 也可看成是以 Q仏b)为圆心 , 血为 半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题? 【牛刀小试】2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组 标函数为非线性函数且含有参数 ，即班1,1) ?宙 0 = -x+4 |+2丫一19事0, “ x Y十8 $ 0 p 斗 0,所表示的平面区域为M , 使函数y二aO,a H 1）的图象过区域M的 a的取值范围是 _ . 【答案】2 , 9 【解析】平面区域M如團所示，求得月210）1（3月（匕9）,由團可知，欲满足条件必有。1且團 象在过队 C两点的图象之间，当图象过B点时，N =9=也=9,当图象过C点时，d =S,所以0 = 2,故。的取值范 【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线 性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本 题的解答中正确理解目标函数$ = 表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面 类型二约束条件中含参数 由于约束条件中存在参数，二可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值， 来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域从而确定参数的值. 【例5】【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知满足”+yW2 , xa 若z = 3x + y的最大值为M f最小值为m，且M + m = 0 t则实数 a的值为 _ 【答案】-1 区域有公共点这一意义是解得本题的关 【解析】 V X 试题分析 : 画出不等式组 * x+y a /(Ga)和5(11)时,z = 3x+v分别取最小值m = 4a和最大值朋=4,由題设可得4° + 4 = 0,所以 t7=-l,故应填答案一1? 【点评】约束条件中含有参数时：(1)要对可行域的各种可能情况作出判断，特别注意特殊的线与点；(2) 依据可行域的面积或目标函数的最值准确确定可行域；(3)求出参数? 【牛刀小试】【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测数学( 理)试题】已 xk 知约束条件x+y-41,在约束条件 y x y 截距最大二一+ 2 解之得rn 1+72? w + 1 w + 1 【牛刀小试】 【2014新课标I高考】设兀，y满足约束条件 x + y a. “ 1且“5的最 【答案】3 【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：川（呼=彗），又由题中 ri- 丄An i 士曰i At a 1 Q + 1 Q+2Q 1 厂/ + 2匕一1 . 曰 zn+d可知，当时，z有販小值： “ 丁+° X二一 -, 则一-=7,解曲 。=3；当。l，若。表示的区域面积为4 , 贝U z = 3兀-y的最大值为 _ x-y X. V 试题分析：因为加1,由约束条件 1,解得心+ 4?加+ 1 考点：简单的线性规划的应用? y x 4 . 【江西南昌市2017届摸底考试，15】已知兀丿满足”+y52，且z = 2x-y的最大值 xa 是最小值的?2倍”则Q的值是 _ 【答案】I 【解析】试题分析：由题意得可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 A(a, a)B(a, 2 - a), C(l, 1), (d v 1), 直线z = 2x - y过C点时取最大值过B点时取最小值 , 因此1 = 一2(2。 一2 +d) = d = g 考点：线性规划 【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一 , 准确无误地作 出可行域；二 , 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜 率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 . x+ y-60 2 =仮+丿的最大值为加 + 4，最小值为d + 1，则实数d的取值范围为_ . 【答案】-2,1 【解析】作出约束条件表示的可行域，如團所示的UBC内部（含边界），其中C（2:4）, 4-H kBC 0 ,满足约束条件 x 1, v x+y 0 y-kx 0 所表示的平面区域，如團所示，可知其围成的区域是等腰直角三角形 y-x-40 8 . 2016届福建省厦门一中高三上学期期中】变量兀丿满足约束条件x-2y + 20 , nix -y1 9 12016届广西河池高中高三上第五次月考】已知dO 满足约束条件x+ya（x-2） 若z = 2兀+ y的最大值为 / 则ci = _ ? 厶 【答案】1 【解析】根据题意作出满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z = 2x+y 经过点A（空单）时取得最大值 * , 所以2x2羊+ 二兰 , 解得a + 1 Q + 1 2 a + 1 a + 1 2 a =1 ? 联立 xa 10 .2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考】实数x / 满足y“ x+y 0 11?若兀y满足 0 【答案】-2 【解析】结合本题特点可用排除法解决，当 = 1或k = 2时，目标函数孑心无最小值, 当2=2时，直 线丿=?1+2过(0,2)时有2斷=2 ,而当./(0) = -33 z 兀+3 v n o I xciv n o _2y；0其对应的平面区域如图所示，不等式组-go所确定 *7 o 的平面区域在圆犷 +厂=4内的面积为： . x - y + 2 0, 21 . 已知实数x,y满足不等式组兀+y-4A0,若目标函数z = y-依取得最大值时的唯 2x-y-5y2-2y l xW4 即即 TH 、画出可行域如團，可得丽 ?苛x-2y?0,12? x - ay 0 o x-by0 【答案】al 【解析】本题考查线性规划问题. 作出不等式对应的平面区域BCD,由z = y-ax得要使目 标函数v = ax - z 仅在点（1： 3）处取最大值 , 则只需直线y = ax - z在点 2（1；）处的截距最犬 “由團象可知akD? 'k BD = l?即 m的取值范围为 4】? x0. 22 ?已知兀，y满足不等式组）7°当3SS5时，目标函数z = 3x + 2y的最大值 x+ y0, 23 . 若关于x , y的不等式组yx, ( k是常数 ) 所表示的平面区域的边界是一 尬 一y +1? 0 个直角三角形，则 . 【答案】一1或0? x 0, 【解析】作出不等式组y x, 表示的区域如下图所示, 由图可知 , 要使平面区域的 Ax-y + l0 边界是一个直角三角形，则k = 0或：L . 工一 ，即C(L2),代入 y = & 【答案】(-1,0) 【解析】不等式组所表示的区域是由直线x-y+5 = 0:x=2:x=0和过定点 (0 ： 5)的直线p = Ax+5所围成 的平面区域，如下图： 由團可知，要使阴影部分成锐角三角形，动直线y = Ax+5与直线x = 2的交点E必须位于 点5(23)和点D (2,5)之间 , 此时-l0 25 . 设实数x,y满足约束条件8xy 4W0，若目标函数z = ( aQ,b0 ) x0,y0 的最大值为8 ,则a + b的最小值为 【解析】约束条件所表示的区域如图所示：目标函数Z = abx+p在.4(1:4)处取得最犬值，?4方+ 4 = 8 , 即ab=4 ? ；.a-b2 = 4 ?当且仅当。 =方时取等号 .