【复习专题】中考数学复习：二次函数.doc.pdf

二次函数 例1：抛物线）=2（兀-3尸+1的顶点坐标是（） A. （3, 1）B. （3, -1）C. （ 3, 1） 【答案】 :A 【解析】抛物线y = a （x-h） 2 + k 的顶点是（h, k） 【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶 h 4GC 点公式（ - 厶, ）求顶点坐标。 2a 4a 例2：已知二次函数y=f3x+m5为常数）的图象与x轴的一个交点为（1, 0）,则关于x的一元 二次方程xx+m= 0的两实数根是（）. A.孟=1,曲=1 B. %i=l, 疋=2 C.力=1, y = 0 D. %i = l,屍=3 【答案】B. 【解析】 ?二次函数y=x i 3x+m的图象与x轴的一个交点为（1, 0） , A0=l 23 + /T7, 解 得/77=2,二二次函数为y=x3x+2.设尸0,则/3+2=0.解得 X y二丄二2,此时抛物线的图象在反比例函数上方; X : 丄二1,此时抛物线的图象在反比例函数上方. X 【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置以及与外轴的交点位置来确定日、力、C 的符号，?开口向上 ?日0；?抛物线与y轴交于负半轴/.c0, A 2a 日比0,故此选项正确 . 利用对称轴求解： ?兀=-2二一1,?.2曰一戻0；故此选项正确 . 2a 根据对称轴即可求出抛物线与/ 轴的另一个交点为（1, 0）然后补齐图象根据图象特点即可求 出当尸2时，4护2快c0,故此选项错误 . 把所给两点利用二次函数的对称轴转化为对称轴同 侧图象上的点，即利用对称轴可以求岀（一5, 口）的对称点的坐标是（3, 0）,在 对称轴的右侧 图彖上y随/ 的增大而增大，故此选项正确. 故选项C正确. 【方法指导】本题考查了二次函数的图象及性质?对于二次函数的图象与性质，关键是把握图 象与二次函数各项系数Z间的关系，同时观察图象与无轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y 随自变量x的变化要以对称轴为分界点. 对于二次函数尸日 #+勿比（日H0）的图象： （1）开口向上 O臼0;开口向下0*0. （2） c0o图象与y轴的正半轴有交点；c=0o图象过坐标原点； c0o图象与y轴的负半轴有交点； （3）根据对称轴x = - 和自符号确定方的符号以及自、方之间的数量关系. 2a （4）根据吋y的值来确定时快 c的符号；根据x=吋y的值来确定abc的符号； 尸 2时y的值来确定4护2快c的符号；根据x=时y的值来确定4曰一2快c的符号 . （5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用 函数的增减性即可比较大小. A组 了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 1、二次函数）， =cix 1 -bx-c 的图象是 _ , 其开口方向由 _ 来确定 . 答案：抛物线a B组 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式：能从图象上认识二次函数的性质；会根据 二次函数的解析式求其图彖与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴; 会利 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 2、抛物线y = -x 2+2x + 3 的对称轴是 _ 答案：X=1 3、抛物线y = -x 2 向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式 ? 2 为 _ O 答案：歹 =丄兀2+2 -2 4、 一个二次函数的图彖顶点坐标为（2, 1）,形状与抛物线y = -2x 2 相同，这个函数解 析式为 _ c 答案：y 2（x 2） 2 +1 5.二次惭数y = - 兀的顶点坐标是_ : 当兀_ 时，y随兀增大而增大 ; 当兀 _ 时，y随兀增大而减小。 答案：（丄 , 一丄） , 4 8 4 4 6、 _ 二次函数）， =无25兀+ 6, 则图彖顶点坐标为_ . 答案：（2.5, -0. 25） 7. _ 二次函数y=x 2-3x-4 与x轴的交点坐标是 _ ,与y轴交点坐标是 _ 。 答案：（-1,0）（4,0）（0, -4） &二次函数y=x 2-mx+3 的对称轴为直线x=3,则m= _ 。 答案：6 9、抛物线y二（k+1） x2+k 2-9 口向下，且经过原点，则 k= - 答案：-3 10、 已知抛物线y二x'+ （n-3） x+n+1经过坐标原点0,这条抛物线的顶点P的坐标为 答案：（2, -4） 11、顶点为（一2, -5）且过点（1, -14）的抛物线的解析式为 _ 答案：y = (x + 2)i5 C组: 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题: 12、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）,围成中间隔有 一道篱笆的长方形花圃 . 设花圃的宽AB为x m,面积为Soil （1）求S与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为45 的花圃 ,AB的长是多少米 ? （3）能围成面积比45 n?更大的花圃吗 ?如果能，请求出最大 面积，并说明围法；如果不能，请说明理由. 答案 : - ? a - m 7 / 7 / / / / / / / y AD B - - C 1、(1)由题意，3x+BC二24,所以BC = 24-3x ,而面积S=BCXAB=(24-3x)x 即S = (24-3x)x = 24x-3x 2 (2)即S=45,代入得24X-3X 2 =45,解得X=5,即AB二5 米 (3) 5 = 24x-3A:2 = -3(%-4) 2 + 48 ?BC 的最大长度为10m,即0250,所以x=60应舍 40 去，所以销售单价应定于80元。 14.在平面直角坐标系兀Oy中，抛物线y二十+加+ 与兀轴交于A, B两点( 点A在点3 的左侧 ) ，与歹轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y = kx沿y轴向上平移3个单 位长度后 恰好经过B, C两点. (1)求直线BC及抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上，RAAPD = AACB,求点P的坐 标； (3)连结CD,求ZOCA 与 ZOCD两角和的度数 . y K 解： 4- 3 - 2 - 1 1 11 1 1 1 9 -2讥 -1 1 2 3 4 -2- 答案： 解：( 1) yy = kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C, ? C(0,3) ? 设直线BC的解析式为y = kx + 3. v 5(3,0)在直线BC ±, ?3k + 3二0. 解得 =-1? ?直线BC的解析式为y = x + 3 . ?抛物线y = x 2 +/zx + c 过点B，C, 9 + 3b + c = 0, c = 3. 解得i r 4, c = 3. ?抛物线的解析式为y = F 4%十3 . (2)由y = x 2 一4x + 3 . 可得D(2，1)，A(LO). /. OB 3, OC 3 , OA = 1, AB - 2 . 可得MBC是等腰直角三角 形. /. ZOBC = 45° , CB = 3y/2 . 如图1,设抛物线对称轴与兀轴交于点F, .AF = -AB = . 2 过点A作4E丄BC于点E? 1 -2 02/34 -1 D -2 7A 图1 ?ZAEB = 90° . 可得BE = AE =迈, CE = 2 迈. 在AAEC 与ZV1FP 中，ZAEC = ZAFP = 90 ZACE = ZAPF, /.AAECAAFP. AE CE V2 2V2 _ 一 AFPF' TPF' 解得PF = 2.?点P在抛物线的对称轴上， .? 点P的坐标为(2,2)或(2,-2).?5分 (3)解法一：如图2,作点A(l,0)关于y轴的对称点则4(一1,0)? 连结A'C, AT), 可得A ZC = AC = Vio , ZOG4z = ZOCA . 由勾股定理可得CD 2 = 20 , A ZZ)2=10? 又4(7=10, ? A'D 2 + A'C2 = CD2 ? :4NDC是等腰直角三角形，ZCA'D = 90°, ? ? ZOCA' + ZOCD = 45°? ?ZOC4 + ZOCD = 45°. 即ZOCA与ZOCD两角和的度数为45° . 解法二：如图3,连结BD. 同解法一可得C)= V20, AC = JiU. 在RtADBF 中，ZDFB = 90° , BF = DF = 1, ? DB = VDF2+BF 2 = V2 . 在CBD和COA中, BC OC 4 -/ § / 2 / ,/1 -V / 1 & 込4 D -2 7A 图2 DB BC CD ，AOOCCA， ?CEDsACOA. ? ? ZBCD = ZOCA. ? ZOCB = 45°, ?ZOCA + ZOCD = 45°. 即ZOCA与ZOCD两角和的度数为45° . 7分 15、如图，抛物线y = ax 2+hx + c 的顶点为/1(0,1),与/ 轴的一个交点的坐标为 (2,0).点P在抛物线上，它的横坐标为2/?(01”，其它条件不变，请通过计算说明 (2)中的结论是否仍然成立 . 答瘵： ?抛物线y = ax 2+bx + c 的顶点为 (0,1),经过(2,0)点, (2)设直线 肋的解析式为y = kx + b . 弭(0,1), 9(2,0), :. 直线的解析式为尸- +1? - - 3分 b = l, 2k + b = 0. 解得卜 T b = . ?点户在抛物线上, 它的横坐标为2/?(0l时，P、两点在第四象限，且P点在点下方 ( 如图7),儿 儿. 点戶的坐 标为(2?,1-/?2). *.* xD = OC = 2n , yn = x2n +1 = 1 n ? D 2 ?点在第四象限， CD = yD = 1 , a PD = yD - yr = (1 - H) - (1 - zr) = n(n -1). _ 7分 ? .PD巾一I) ? - = - = ii ? CD n-l OC In ? - =n， OB 2 ?竺竺仍然成立 . - CD OB - 8分 16.已知二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与x 轴交于A (x】,0)、B (x2, 0) (xi0), ?对称轴为直线x=2,顶点D的坐标为 ( ?2,? 9a), 令x=0,得y二-5a, ?C点的坐标为(0, -5a). 依题意画出图形 , 如右图所示，则0A二5, 0B=l, AB二6, 0C=5a, 过点D 作DE丄y 轴于点E,则DE二2, 0E二9a, CE二0E? 0C二4a. =(DE+OA) ? OE - DE? CE - OA? OC =(2+5)*9a- X2X4a- X5X5a =15a, 而Ssc二AB? 0C二X6X5a二15a , ?SABC： SACDla ： 15a=l； (2)如解答图所示， 在RtADCE 中，由勾股定理得：CD 2=DE2+CE2=4+16a2, 在 Rt/XAOC 中，由勾股定理得： AC=0A 2+0C2=25+25a2, 设对称轴 x=2与x轴交于点F,则AF二3, 在RtAADF中，由勾股定理得：AD冬AF2+DF9+81. ?ZADC二90° , :. AACD 为直角三角形， 由勾股定理得：AD'+CDAC?, 即(9+81a 2) + (4+16a2) =25+25a2,化简得： a2=, Va0, 考点：二次函数综合题 . 分析：（1）将A, B两点分别代入尸 - 丄x1 2 3 4+bx+c进而求出解析式即可； 4 （2）首先假设出P, M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标 , 进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM二CE,得出等式方程求出即可； 解答图 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、儿何 图形面积的计算等知识点， 难度不是很大， 但涉及的计算较多， 需要仔细认真， 避免出错 . 注意第（1）问中求AACD面积的方法 . 17.如图，抛物线y二- 丄x'+bx+c与x轴交于点A（2, 0）,交y轴于点B（0,）.直线y二kx 42 过点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D. 2 求抛物线y二- 丄x'+bx+c与直线y二kx - 卫的解析式； 4 2 3设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行 线， 交直线M）于点M,作DE丄y轴于点E.探究：是否存在这样的点P,使四边形PMEC是 平行四边 形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 4 在（2）的条件下，作PN丄AD于点 7, 设PMN的周 为1,点P的横坐标为x,求1 与x 的函数关系式，并求出1的最大值 . ?抛物线的解析式为如）（）爭 +爭_芈 x=2. (3)利用勾股定理得出DC的长，进而根据APMNACDE,得出两三角形周长Z比, 求出1 与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可. 解答：解：(1) Vy= - 丄/+bx+c 经过点A (2, 0)和B (0,) 4 '-l+2b+c二0 ?由此得5 ， ?抛物线的解析式是y二-x 2 - x+, ?直线y二kx 经过点A (2, 0) ?2k 二0, 解得：k=, ?直线的解析式是y二x?， (2)设P的坐标是( x, - 丄X 2 - x+), 则M的坐标是(x, x -) ?点D在第三象限，则点D的坐标是 ( ?8,? 7),由y二x 得点C的坐标是(0,-), CE= - - ( - 7) =6, 由于耐丫轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM二CE,即?x 2 - x+=6 解这个方程得：xi= - 2, x2= - 4? 符合?80） 同时/ 减少酬的情况下，而0的值仍为420,若能，求出 / 的值；若不能，请说明理由 . 参考公式：抛物线 =日#+力X+CHO）的顶点坐标是（一 斗二厶 la 次数2 1 速度/ 40 60 指数0 420 100 解析： (1)设W = kx 2 +k 2nx, Q = kx 2 + +100 420 = 4()2/+2x40 + 100 100 = 60誘+1x60 + 100 A 2 = -x2+6/tr + 100 . 10 (2)由题意 , 得450 = -x702+6x70n + 100 10 ?n二2 (3)当n二3 时，Q = - x2+18x4-100 10 1 IQ 由0 = - 40）,请你分别用x的代数式來表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） X 销售量y （件）1000 - 10x 销售玩具获得利润w （元） -10X 2+1300X - 30000 （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少 元. （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少 于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点：二次函数的应用； 一元二次方程的应用 . 分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600 - （x- 40） x=1000 - x, 利润二 （1000 ? x） （x-30）=? 10X 2+1300X - 30000； （2）令-10X 2+1300X - 30000=10000,求出x 的值即可； （3）首先求出x的取值范围，然后把w=- 10X 2+1300X - 30000转化成y= - 10（x-65） 2+12250,结合x的収值范围，求出最大利润. 解答：解：（1） 销售单价（元）* | 销售量y （件）1000 - 10x 销售玩具获得利润 w （元）-10xJ1300x - 30000 （2） - 10X 2+1300X - 30000=10000 解之得：xi=50, X2=80 答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润， /4 卄也/ 口1000 一10x540 （3）根据题恿得彳、 x44 解之得：44WxW46 w=? lOx'+EOOx - 30000= ? 10 （x ? 65） 2+12250 ? .5二?100,对称轴x=65 ?当44WxW46吋，y随x增大而增大 . ?当x二46时,W最大値=8640 （元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元. 点评：木题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及 二次函数最大值的求解，此题难度不大. 21.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价 12分 提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担. 李明按照相关政策投 资销售本市生产的一种新型节能灯. 已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元， 每月销售量y（件）与销售单价 / （元）之间的关系近似满足一次函数：尸 -10+500. （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为 多少元？ （2）设李明获得的利润为炉（元），当销售单价定为多少元吋，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元. 如果李明想要每月获得的利润不 低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 考点：二次函数的应用 . 分析：（1）把尸20代入尸 -10丹500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价Z 间的差价； （2）由利润二销售价成本价，得尸（/ ?10）（?10/+500）,把函数转化成顶点坐 标 式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）令- 102+6001 5000二3000,求出x的值，结合图象求出利润的范围， 然后设设 政 府每个月为他承担的总差价为P元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值. 解答： 解：（1）当尸20时，尸?10屮500二? 10X20+500二300, 300X （12 - 10） =300X2二600, 即政府这个月为他承担的总差价为600元. （2）依题意得，J尸（X- 10） （ - 10屮500） =-10/2+600/ ? 5000 二-10 （/ ?30） 2+4000 ?沪-10V0,?当尸30时，炉有最大值4000. 即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000. (3)由题意得：-10/2+600/? 5000=3000, 解得：X二20, A2=40. *a= - 100,抛物线开口向下， 直线x=30 ?结合图象可知：当20W/W40时，“&3000 ? 又?/W25, ?当20W/W25 时，“鼻3000. 设政府每个月为他承担的总差价为P元， :.p= (12 ? 10) X (- 10H500) 二?20+1000. *：k= - 200. ?/? 随x的增大而减小， ?当庐25时, 门有最小值500. 即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元. 点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解，此题难度不大. 赠: 小学五年级数学竞赛题 1.把自然数1.2. 3.4 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 . 已知这个 多位数至少有十位 , 并且是9和11的倍数 . 那么它至少有几位？ 2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错 了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？ 3.将23分成三个不同的奇数之和，共有几种不同的分法? 4、把自然数1、2、3、4 . 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213 已 知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？ 5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个? 6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群 孩子至 少有儿人？ 7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块， 故每 次每人摆10块。现已知最后一次甲仍然摆了10块，而乙不足10块，如果他们一共摆了3 000多块， 那么他们摆的准确的数字是多少块？ 8、有50个同学，头上分别戴着编号为1、2、3、4 49、50的帽子。他们按编号从小到大的 顺序，顺时针方向I韦I成一圈做游戏：从1号同学开始，按顺时针方向1、2、1、2地报数 , 接 着报1的同学全部退出圆圈，报2的同学仍留在圆圈上。依次报下去(1)当圆圈上只 剩下一个人吋， 这位同学帽上的编号是。( 2)如果游戏规则改为：报2的同学全部退出 , 报1的同学仍留在圆圈上。 当圆圈上只剩下一个人时，这位同学帽上的编号是。 一生的事业 - 牢记使命，不忘初心 有人说一辈子很长，可以慢慢的享受成长带来的各种惊喜和 喜悦，有的人说一辈子很短，必须要加紧行走的步伐，才能不 会错过成长中的每一次惊吓，每一次惊喜，每一次无奈。但我 想说的是无论是从出生到成长的每一个过程都有一个初心，一 辈子可能有很多目标，但总归起来就只有一个目的: 要活好，所 有的努力和奋斗都是为了能够让自己活得精彩，活的值得。无 论是时光变迁还是年岁的增长，我们要始终不忘初心，牢记使 命，永远奋斗，才会活出精彩。 每一个成长时期的不同，要学会和掌握的技能也不同, 但 最终的目的就是要把自己的工作和学习做到位，做得漂亮，才 是我们的初衷，我们现在在学习的岗位上，看似不起眼，但是 需要做的却很多，因为我们要比别人更用心，更努力地去学习 每一个知识，知识就是我们以后的第二衣食父母，以后我们面 对各种问题，需要有不同的方式方法去面对, 才能做社会有用的 人。比如：面对老人我们要伸手去扶一把, 因为我们是一个有爱 心，有责任心的小学生；看到有孩子摔跤我们要伸手拉一把， 因为我们是有道义，有良心的小学生。 牢记使命，不忘初心！对我感触最深的事就是我们语文老 师满满爱心自己掏钱为我们班同学买课外书，我们心里都有一 种无限的感动和莫名的崇拜感，老师课上课外的千叮咛万嘱咐， 连放学都还要不辞辛劳的带上马路，悉心照顾好我们每一个孩 子，让每一位孩子安全回家，并且再三的强调在回家路上注意 安全等等。一连串的关心和不放心，都是出自于老师的真心和 热情，这份情不是用钱可以买到的，这是老师出自内心最真诚 的声音，是对这个充满爱的事业使命的驱使！是老师不忘初心， 牢记使命的结晶！是社会主义核心价值观最真实的体现！ 不忘初心，牢记使命，永远奋斗，虽然是简简单单的十二 个字，但是包含的却是很多很多，需要我们小学生用心去体会， 用心去做，用心去传承，才是我们一辈子唯一的真谛。