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屯修1 第1章集合 § 1.1集合的含义及其表示 重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对 象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号 表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数 学内容；集合表示法的恰当选择. 考纲要求 : 了解集合的含义、 元素与集合的“属于” 关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描 述法）描述不同的具体问题. 经典例题：若xWR,贝lj （3, x, x2x中的元素x 应满足 什么条件？ 当堂练习： 1.下 面给出的四类对象中，构成集合的是（） A.某班个子较高的同学B.长寿的人 C.血的近似值D.倒数等于它本身的数 2.下面四个命题正确的 是（） A. 10以内的质数集合是0, 3, 5, 7 B.由1, 2.3组成的集合可表示为1, 2, 3或3, 2, 1 C.方程x-2x + l = 0的解集是1, 1 D. 0与0表示 同一个集合 3.下面四个命题：（1）集合N中最小的数是1； （2 ）若-兔Z,则Z; （3）所有的正实数组成集合 R+; （4）由很小的数可组成集合A； 其中正确的命题有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程 X 2-3X +5=0 的解集是空集；（3）方程X 2-6X +9=0 的 解集是单元集； （4）不等式2 x-60的解集是无限集； 其中正确的命题有（）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是（ ） A?x 日.|x 0 B?(x， y) |x 0 c. （x, y） xv（）,）， （） D. x, y日.x 0 6.用符号 w或纟填空： 0 0,a 71 Z, -iR, 2 0 _ N, 0 _ . 7 .由所有偶数组成的集合可表示为 -r| x = _ ? 8.用列举法表示集合D二（x，y）卜w 为 _ . 9.当a满足 _ 时，集合A = x|3x-a /? Z , Z,问： (1)数2与集合力的关系如何？ (2)集合力与集合的关系如何？ 当堂练习： 1.下列四个命题：=0；空集没有子集； 任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一 个集合的子集 . 其中正确的有（） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.若M= x | 1 ,N= x | xa, 且他必则（） A . a 1 B . a$l C . 3 ； k 1 k 1 (A A = x x = + ,k e Z,B = xx = + ,ke. Z. 2 4 4 2 12. 已知集合 A =X|X+(/9 +2)X + 1=0,xeR且 人匸 负实数 ， 求实数P的取值范围 . 求Ju A 14.已知全集U= 1, 2, 3, 4, 5, A= xeUx)qx +4 = 0, $R? (1)若Ju A=U,求Q的取值范围； (2)若力中有四个元素，求九力和Q的值; (3)若力中仅有两个元素，求花力和G的值. 孙修1 § 1. 3交集、并集 重难点：并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系? 考纲要求：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单 集合的并集与交集； 能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算. 经典例题：已知集合A二-x = o, B二 兀賦-2兀+ 4 = 0,且 AnB=B,求实数a的取值范围 . 当堂练习： 1 已知集合 + /zr + 2 = o , N = x x 一兀一g = 0,且 M c N = 2 则阳的值为 ( A ? p = -3, q = -2 D?p = 3、q = 2 2.设集合 /= (x, y) I 4x+ y=6, B= (x, y) 3+2y= 7,则满足CAB 的集合C的个数是 )? )? p = 3、q = -2 B钉,则实数Q的取值范围是（）? C. a l 7.50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试 成绩分别及格40人和31人，两项测试均不及格的有4人， 则两项测试成绩都及格的人数是( ) (A) 35 (B) 25 (C) 28 (D) 15 8.设x, ywR, A二( 讪尸小B 二 系为( ) (A) AB (B) BA (D) A A B=( D 9.设全集为R,若 M=MXI , N= MO0 (B) x x 5 ( C ) 5 x|x 5 10 ?已矢口“n* M 二 x| x = 3阳 +1, we Z , N = y y = 3n + 2 , ne Z ,右xoe M ,y Be N, 则xoyo与集合M ,N 的关系是 ( ) (A ) x()y()w M 7旦 e N ( B ) x()yQG N M ( C ) ( D ) xoyo e M且 G N So 11.集合u, M, N, P如图所示，则图 ： 表示的集合是 ( ) “ (A) Mn (NUP) (B) MACu (NUP) (C) MUCu (NAP) (D) MUCu (NUP) 12.设I为全集，AcI,B A,则下列结论错误的是 ( ) (A) CiA SCTB(B) AAB=B (C) A 0 CiB = (D) CiA 0 B = 13.已知xUl, 2, x 2, 则实数x二 _ . 14.已知集合M= a, 0, N=1, 2,且M AN=1,那 么MUN的真子集有 _ 个. 15.已知A二 1, 2, 3, 4 ； B= y | y=x 22x+2, xF A,若用列举法表示集合B,则B= _ . 16.设/= 1, 2, 3. 4 , A 与B是/ 的子集 , 若Af!B = 2,3, 则 称(A,B)为一个“理 想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 _ ? ( 规定 ( 人3)与(3,旳 是两个不同的 “理想配集”) 17.已知全集U二0, 1, 2, 9,若(CuA) Q (CuB)二 0, 4, 5, AH (CuB)二1, 2, 8, AQB二, 试求AUB. 18.设全集U =R,集合 A =x|-1 , 7%函数 / 对任何 : 材表不一种运 1 R = 3 , 攵 / ( x ) n 则 8. 若 哲已知二 是x 二1；( 立方和 等 兀一 = 晋/?,* R 中, 右 2T5 , 贝 疋恒有/U. ?x2) = /(xl) + /(x2),已知 /(8) = 3 , 9艮卩a、b =、ab + a + b，a、b G /?' ? 10.函数“一的值域是 _ x一2兀 + 2 11?求下列函数的定义域 : X -X 12.求函数一门的值域? 13-已知 f (x) =X 2+4X +3, 求f(x)在区间t, t+1上的 最小 值g (t)和最大值h (t). (1) mxV 2- D - C 14.在边长为2的正方形ABCD的边 上有动点M,从点B开 始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距人 离 为x, ABM的面积为S. （1）求函数S二的解析式、定义域和值域； （2）求f f （3）的值. § 2. 1. 2函数的简单性质 重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部 概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性， 领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用 參1 基本初等函数I 第2章函数概念与 函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判 定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、 单调性的理解和应用；了解映像概念的理解并能区别函数 和映像 . 考纲要求：理解函数的单调性、最大( 小) 值及其 几何意 义；结合具体函数， 了解函数奇 偶性的含义； 并了解映射的概念； 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 经典例题：定义在区间 ( 一 8, +°°)上的奇函数f (Q为增函数， 偶函数g (Q 在0, + °°)上图 像与的图像重合 . 设abQ, 给出下列不等式，其中成立的是 f (方)f ( a) g (a) g ( 方)f (方)f ( a) g (力) 一呂(一0, k|0 9证明：函数 / （兀）在 ?, 川上单调递增 ; (2)设 05 V 且/(X)的定义域和值域都是 心，求加的 最 大值. 13.(1)设f (x)的定义域为R的函数，求证：F(x) = -/(x)+ /(-%)是偶函数 ; 2 C(x) = -/(x)-/(-)J 是奇函数 . 2 利用上述结论，你能把函数/(X) =3X'+2X 2-X +3表示成一 个 偶函数与一个奇函数之和的形式. 14.在集合R 上的映像： / : x z = x 2 -1, :zTy = 4(z-l)2-1 ? (1)试求映射广XT)'的解析式； (2)分别求函数ft (x)和f2 (z)的单调区间 ; (3)求函数f(x)的单调区间 . 第2章函数概念 与基本初等函数I § 2.1.3单元测试 1.设集合P=x|00)上最大值是3, B.1 y = x C. D. 严 ? 3 8 2 . 下列四 个函数：（l）y=x+l;(2)y=x+l; y=x 2-l;'（4）y二丄，其中定义域与值域相同的是 X () A.(1) (2) B.(1) (2) (3) C. 2) (3)D. (2) (3) (4) 3.已知函数f(x) = ax 7 +bx + -2 y若/(2006) = 10,则 /(-2006)的值为 () A. 10B. -10C. -14 D. 无法确定 4.设函数/（X） f-l(x0) , IJlij (a + b) + (a - b) ? f(a - b) (2)函数在0, 4 20.记函数代力的定义域为D,若存在xD,使/(Ao) =AO成 立， 则称以 ( 必， 必) 为坐标的点是函数f(x) 的图像上的“稳 定点”. (1)若函数 代力二口的图像上有且只有两个相异的 x + a “稳定点”，试求实数俎的取值范围； (2)已知定义在实数集R上的奇函数fx)存在有限个 “稳定点”，求证：代劝必有奇数个“稳定点”. 匚尿1 第2章函数概念 与基本初等函数I § 2. 2指数函数 重难点：对分数指数幕的含义的理解，学会根式与分数指 数幕的互化并掌握有理指数幕的运算性质；指数函数的性 质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问 题转化为讨论比较简单的函数的有关问题. 考纲要求：了解指数函数模型的实际背景； 理解有理指数幕的含义， 了解实数指数幕的意义， 掌握幕的运算； 勰鵲靂聽 fol 髓指数函数的单 经典屜環髏裔詣 当堂练习 : D? c 1 B ? x f(1) B . f(l)f( 2) /(-1)二 _ . 9?函数mow(do,心1)的图像恒过定 点 _ 10.若函数川 ( 八0,心) 的图像不经过第二象限 , 则讹满足的条件是 _ 11.先化简，再求值：，其中4 = 252006 ； 12.(1)已知XG -3, 2,求f (x)=+i 的最小值与 C. f(l)f(2) D? f(2)f(2) 7. 8 rn-H x 4- Jx 2 = a2m, 求x 一 = _ 1 J'(x) = - + m 3' +1 是奇函数 6. 4 X T 最大值 . 已知函数在0, 2上有最大值 的递增区间 . (3)求函数/(x) = 2 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相 互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化 简；理解对数函数的定义、图像和性质，能利用对数函数 单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数 的通性在解决有关问题中的灵活应用. 考纲要求：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底 公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数；了解对数在简化运算中的作用； 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性， 掌握函数图像通过的特殊点； 知道对数函数是一类重要的函数模型； 了解指数函数y*与对数函数山吋互为反函数(d AO,dH 1)? 经典例题：已知/(log)二心2，其中日0,且3 x(a-) Hl. (1)求“力；(2)求证：f3是奇函数；(3) 求证：f (x)在R 上为增函数 . 当堂练习： 1?右lg2 二d,lg3 二b，则lg0.18 二（ ） A ?2a + /? 2 B?a + 2b 2 C ? 3a b - 2 D ?ci + 3b 1 2.设a表示一 的小数部分，贝 l Jlog,J2a + l）的值是（ ） A. -1 B. -2 C. 0 D.丄 2 3.函数y = Jlg（-3x，+6x + 7）的值域是（ ） A. I-VJJ+VJB. 0，1 C. 0, +oo） D?0 4 ?设函数 / W = F,x- °，若心)1,则的取值范围为 ( ) lg(x+l),x() A. ( 1,1) B. ( 1, +°° ) C.(-oo,9) D?（一8, 一1）u（9,+0卫工1)的图像关于原点 对 X- 称. 求m的值； (2)判断f (x)在(1,+呵上的单调性，并根据定义证明. 14- 已知函数 代力二 #一1匕21)的图像是C,函数尸g?的 图像G与G关于直线产x对称. 求函数y=g(x)的解析式及定义域M ； (2)对于函数尸h3 ,如果存在一个正的常数a,使 得定义域 A内的任意两个不等的值简，卫都有| 力( 简) 力(尿)| axi x 2 成立，则称函数y=/i(x)为A的利 普希茨I类 函数. 试证明：y=g(x)是於上的利普希茨I类函数 . 11 第2章函数概念 与基本初等函数I § 2. 4幕函数 重难点：掌握常见幕函数的概念、图像和性质，能利用幕 函数的单调性比较两个幕值的大小. 考纲要求：了解幕函数的概念； 结合函数y = = / 的图像，了解他 X 们的变化情况 . 经典例题：比较下列各组数的大小： (1) 1. 5b 1. 7b 1； (2)( 亚)乞(- 2 2 (3) 3.8 3.9,(1. 8) 5. (4) 3 1'4, 51'5. 当堂练习： 1.函数（ #2力讨的定义域是（） A. 0 或xH2 B. （一8, 0） u （2, + °° ） C. （-oo, o） u 2, +oo ） D. （0, 2） 2 3.函数y=“的单 调递减区间为（） 一象限的图像，那么一定有（） A. ( 1) + °° 3.如图，曲线 氏( 8, 0) D. ( 一°° , + °°) Cl, C2分别是函数y = x“和y c2 皆X在弟 A ?nm0 D. nm0 4?下列命题中正确的是（ A.当a = 0时，函数.v“的图像是一条直线B.幕函数 的图像 都经过(0, 0), (1, 1)两点 C.幕函数的图像不可能在第四象限内D.若幕 函数为奇函 数，则在定义域内是增函数 5.下列命题正确的是 ( ) A.幕函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B.图像不经过 ( 一1, 1)为点的幕函数一定不是偶函数 C.如果两个幕函数的图像具有三个公共点，那么 这两个 幕函数相同 D.如果一个幕函数有反函数，那么一定是奇函数 6.用“”或”连结下列各式:0.32- 0.32- 0.34 ° 5， 0.8心0.6心? 7.函数尸丄在第二象限内单调递增，则刃的最大 B ?mn0 2一则洌 X 负整数是 _ . 8.幕函数的图像过点(2,1),则它的单调递增区间 4 是 _ 9.设xe (0, 1),幕函数y = #的图像在y = x的上方 , 则a的取值范围是 _ 10. _ 函数y=_/在 区间上 _ 是减函数 . 11 ?试比较0.161.5 075,6.25 ； 的大小? 12?讨论函数卡的定义域、值域、奇偶性、单调 性。 13.个幕函数yf (x)的图像过点(3, V27),另一 个幕函 数ygx)的图像过点 ( 一 17.已知r ()=ig(/+i),求满足f(io(rio小) f (24)=0的x的值 18.已知/(x) = |lg x| , 若当0 f(b) /(c), 试证: 0150）? （1）求?张）的定义域；（2）判断. 怂）在其定义域内 的 单调性； （3）若/（X）在（1, +°°）内恒为正，试比较a-方与1 的大小? 第2章函数概念 与基本初等函数I § 2.5函数与方程 重难点：理解根据二次函数的图像与x轴的交点的个数判 断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函 数的零点两侧函数值乘积小于0”的理 解；通过用“二分 法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之 间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识 . 考纲要求：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方 程根的联系，判断一元二次方程根的存在 性及根的个数； 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程 的近似解 . 经典例题：研究方程 |# 2x3|巳（$20）的不同 实根的 个数. 当堂练习： 1.如果抛物线f (x)= x 2+bx+c 的图像与X轴交于两 点(-1, 0)和(3, 0),则f (x) 0的解集是 ( ) A. (一1，3) B. 一1，3 C? (-oo,-i)u(3,+oo) D? (-oo,-lu|3,+oo) 2.已知f (x)二1-(x-a) (x-b),并且m, n 是方程f (x) =0 的两根，则实数a, b, m, n的大小关系可能是 ( ) A. m0,且mn,则方程f(x)=0在区间(m, n) 内一定没有根； (4)若f (m)f (n)0,且mn,则方程f (x)=0在区间(m, n) 内至多有一根； 其中正确的命题题号是_ ? 11.关于x的方程mx 2+2 (m+3) x+2m+14=0 有两个不同 的 实根，且一个大于4,另一个小于4,求m的取值 范围. 12.已知二次函数f (x) =a(a+1) x 2-(2a+l) x+1, 底”. (1)求函数f(x)的图像与X轴相交所截得的弦长； (2)若a 依次取1,2, 3, 4, -,n，时，函数f(x) 的图像 与x轴相交所截得n条弦长分别为求4+A+/3+仃的值 . /(1) = 0? (1)证明：函数 g 与g(x)的图像交于不同的两点A, B； (2)右函数尸 ( 劝=/( 劝一 (3)求线段AB在x轴上的射影AB的长的取值范围 . 14?讨论关于x 的方程lg (x-l)+lg(3-x)二lg (a-x)的 实根 个数. 41 第2章函数概念 与基本初等函数I § 2. 6函数模型及其应用 重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一 次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增 长的含义 . 考纲要求：了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长 特征，知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义； 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型） 的广泛应用 . 经典例题：1995年我国人口总数是12亿. 如果人口 的自然 年增长率控制在1. 25%,问哪一年我国人口总数将超过14 亿. 当堂练习： 1.某物体一天中的温度T是时间t的函数 : T（t） =t'-3t+60,时间单位是小时，温度单位是p, 当t=0 表示中午12:00,其后t值取为正 , 则上午8时的 温度是（ ） A.8 p B. 112oCC.58 ° c D ? 18 °c 2?某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A 连续 两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%, 结果都以每 件23. 04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则 与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（ ） A.多赚5.92元B.少赚5.92元 C.多赚28.92元D.盈利相同 3.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生 产, 如外购，每个价格是1. 10元; 如果自己生产，则每月的 固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力 需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是（） 件 （即生产多少件以上自产合算） A . 1000 B . 1200 C. 1400 D. 1600 4.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下 一组数据 . X-2.0-1.001.002.003. 00 y0. 240.5112. 023.988. 02 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中 , b为待定系数）（） A . y=a+b x B . y二a+bx C. y=a+logbx D. y=a+b/x 5.某产品的 总成本y （万元）与产量x（台）之间的函数关系式是 7=3000+20-0. 1/ （04 B?-4】 ，则M cN 一( ) 3 A. x | x 0) f 3 b则实数0 时，fx） 1,则当x 1 D. 0Vf （x）Vl 1 1 ?已知函数f（3-x）的定义域是2, 3,若F（x） = /log,（3-x）, 则函数F（x）的定义域是 . 12.已矢口函数/（x）=一，贝 !/ （- ）+/ （- ）+/ （- ） +/ （- ）+/ （- ）+/ （-） 9”+37 7 7 7 7 7 值是 _ 1, x 0 13.设函数f （x） = J 0, x = 0，则方程x + l = （2x 1 严 的解 1, x 0 是 _ . 16.设底2, 4,函数/(x) = log, (ax) - log , (ar) 的最大值为 0, 最小值为丄，求日的值 . 17.设/(x) = 3 X ,/-'(18) = a 4-2,g( 兀)=3av -4V的定义域是区间0, 1, 求g(x)的解析 式；(2)求g(x)的单调区间； (3)求g(x)的值域 . 18.已知f (x)=() 2, (x2). x + 2 (1)求f t (x)及其单调区间；(2)若g (x)二3+血+丄, f M 求 其最小值 . 19.在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格 呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元， 并且每周 ( 七天) 涨价2元，5周后保持20元的价格 平稳销 售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到 16周末，该服装已不再销售. (1)试建立价格户与周次广的函数关系? (2)若此服装每件进价0与周次方之间的关系为牛一 0. 125(t-8)2+12, te 0, 16, 试问：该服 装第几周每件销售利润L最大. 20.巳知函数f(x)=loga义域为B，值x + 2 域为logaa( 3 l),logaa( a 1),且f(x)在a , B上是减函 数. (1)求证：a 2；(2)求实数d的取值范围 . 7 修1 必修1综合测试 1.设全集彷R,集合A = x | x v ? 1 处？ 1 , B= .v | In x ? 0 , 则?A ）DB 为（ ） D. x|00):单位 重量货物的公路运费与运输距离 的平方成正比，比例系数为心 (&0).设单位重量货物的总运 费为y元， 力厂之间的距离为Akm. (1)将y萨示成x的函数；(2)若k“,则当无为何丿劳會立 重量货物的总运费最少 . 并求出最少运 C D X 费. (2)是否存在实数 20.已知定理：“若以为常数， g(x)满足 + + g(a-x) = 2b ， 则函数 i) 的图像关于点 (讪中心对称” . 设函数 心=二1二， 定义域为 & a- x 试证明 y = /(x)的图像关于点(a,-l)成中心对称； 当xea-2,a-时, 求证： /(x)e-,O ； ( 3)对于给定的仔A， 2 设计构造过程：x2=f(x t), X3=f(x2), ， x”,=/(x ”).如果X. e A (i = 2,3,4.),构造过程将继续下去；如果和人，构造过程将停止 . 若对任意徉 A,构造过程可以无限进行下去，求3的值.