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抽象函数常见题型解法综述 赵春祥 抽象换数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一?类凶数。 市于抽象两数表现形式的抽象性，使得这类问题成为两数内容的难点之一。本文就抽象两数常见 题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1?已知函数/(x 2)的定义域是 1, 2,求f (x)的定义域。 解：/(x 2)的定义域是 1, 2,是扌旨15兀52,所以/(x 2)屮的，满足 l ( 丄尸l 0 评析： 在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变最进行适当的赋值，这是一般向特殊转 化的必要手段。 四、解析式问题 X i ,z、/( 兀)+ /(-) = l + x 例5?设对满足尢工°，XH1的所有实数X,函数丿 ( 切满足X ，求f(x) 的解析式。 x 1 x I 解：在/(x) + /(-) = i + x中以一代换其中X,得： X 1 2x I /() + /()= (2) X X- X 再在(1)中以- 一代换X,得 1 r-2 /() + /(x) = r (3) x- x 3-x2 一(2) + (3)化简得： - 2x(x- 1) 评析： 如果把X和 g 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关 键。通常情况下，给某些变量适当赋值, 使之在关系屮“消失” , 进而保留一个变量, 是实现这种 转化的重要策略。 五、单调性问题 例6?设f (x)定 义 于 实 数 集 上 ， 当 兀 0时 ，/(x) 1 ,且 对 于 任 意 实 数x、y,有 /(x+y) = /(x)-/(y),求证：于 ( 兀) 在R上为增函数。 证明： 在/(x+y) = /(A-)/(y)中収戈 = y = 0,得/(0) = /(0)1 2 若/(0) = 0,令兀0, y = 0 ,则/(%) = 0,与/(x) 1 矛盾 所以/(0)0,即有/(0) = 1 当兀0 时，/(x) 1 0 ；当xvO 时，一x0, /( 兀)10 而/(x)./(-x) = /(0) = i 又当x = 0 时,/(0) = 1 0 所以对任意xeR，恒有/(X) 0 设 一00 V X V 吃 V + 00，则尤 2 一无1 °，/( 兀2 一 山) 1 所以/U2) = fxx +(x2-x = f(x)f(x2-Xj) /(x.) 所以y = / (%)在R上为增函数。 评析： 一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及 数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7.已知函数/(A)(A G/?, XH0)对任意不等于零的实数Xp x2都有/(xrx2) = /( 州)+ f(x2)，试判断函数f(X)的奇偶性。 解：収X, =-1,兀2=1 得：/(-?) = /(-!) + /(1) 所以/(1) = 0 乂取X1=x2=-l得：/(1) = /(-1) + /(-1),所以/( 1) = 0 再取州“,x2=-l 则/( 一兀) = /(1) + /( 兀) ，即/(-x) = f(x) 因为 /(X)为非零函数，所以/(X)为偶函数。 七、对称性问 例8.已知函数y = f(x)满足/(x) + /(-%) = 2002 ,求厂+厂' (2002 一 %)的值。 解：已知式即在对称关系式.f(a + x) + .f(a x) = 2b屮取。 =0, “ = 2002,所以函数y =于 的图象关于点(0, 2002)对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y = fx)的 图象关于点 (2002, 0)对称。 所以/_1Gv + 1001) + /_1(1001-x) = 0 将上式屮的x用兀 1001代换，得广 |( 朗+ / ,(2002-x) = 0 评析： 这是同一 ?个函数图象关于点成屮心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均 为 常数, 函数y = /(x)对一切实数X都满足/(6/ + A-) + f(a-x) = 2h，则函数y = /(x)的图象关 于点(“，b)成屮心对称图形。 八、网络综合问题 例9?定义在R上的函数f (x)满足: 对任意实数m, n,总有/(m + n) =/(m) ?/(n),且 当x0 时,010 B = (x, y) I fax-y + 41) = h a e R,若AB = 0 ,试确定a 的取值范围。 解：(1)在f(m + n) = f(n) 中, 令m = 1, n=0 ,得/(l) = /(l)-/(0),因为 /(DO,所以/(0) = 13 在f (tn + n) = f (tn) - f n) 屮，令m x, n -x 因为当x 0时，0 v /(x) 0, 0 0,所以，综上可知，对于任意xwR,均有/(x)0o 设 一00 V 兀 0, 0 /(l) 即有无 $ + V 2 1 ,解得一ISQSI。 7777 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f （0）的取值问题，二是f （X） 0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式屮进行。由特殊到一般的 解题思想 , 联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
