(完整版)北师大版七年级下册数学培优压轴题.pdf

第1页（共 22页） 北师大版七年级下册数学培优压轴题 一解答题（共8 小题） 1已知四边形 ABCD中，AB=BC ，ABC=120 ° ，MBN=60 ° ，MBN 绕 B 点旋 转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1） ，易证 AE +CF=EF ； 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否 成立？若成立， 请给予证明； 若不成立，线段 AE，CF ，EF又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明 2 （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，B=D=90° ，E、F 分别是边 BC 、 CD上的点，且 EAF= BAD 求证： EF=BE +FD； （2）如图，在四边形 ABCD中，AB=AD ，B+D=180 ° ，E、F分别是边 BC 、CD 上的点，且 EAF= BAD， （1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，B+ADC=180 ° ，E、F分别是边 BC 、 第2页（共 22页） CD延长线上的点，且 EAF= BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请 证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中 C=90° ， B=E=30 ° （1）操作发现 如图 2，固定 ABC ，使 DEC绕点 C旋转，当点 D 恰好落在 AB边上时，填空： 线段 DE与 AC的位置关系是； 设 BDC的面积为 S1，AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证 当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关 系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中 BC、CE边上的高，请你证明 小明的猜想 （3）拓展探究 已知 ABC=60 ° ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4 ，DEAB交 BC于点 E（如 图 4） 若在射线 BA上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长 第3页（共 22页） 4如图 1，已知线段 AB的长为 2a，点 P是 AB上的动点（ P不与 A，B重合） ， 分别以 AP、PB为边向线段 AB的同一侧作正 APC和正 PBD （1）当 APC与PBD的面积之和取最小值时， AP=； （直接写结果） （2）连接 AD、BC ，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点P的移 动而变化？请说明理由； （3） 如图 2， 若点 P固定， 将PBD绕点 P按顺时针方向旋转（旋转角小于 180° ） ， 此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 5如图 1，RtABC中 AB=AC ，点 D、E是线段 AC上两动点，且 AD=EC ，AM 垂 直 BD， 垂足为 M， AM 的延长线交 BC于点 N， 直线 BD与直线 NE相交于点 F试 判断 DEF的形状，并加以证明 说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中 的某种思路写出来（要求至少写3 步） ； （2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可 以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD沿 BA方向平移 BA长，然后顺时针旋转90° 后图形； 2、点 K在线段 BD上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E是直线 AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF 第4页（共 22页） 的形状，并说明理由 6如图，已知等边三角形ABC中，点 D，E，F分别为边 AB，AC ，BC的中点， M 为直线 BC上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也 随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F是否在直线 NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数 量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C右侧时，请你在图3 中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明 或说明理由 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边 ABC外一点，且 BPC=120 ° 试猜想线段 BP 、PC 、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边 ABC内一点，且 APD=120 ° 求证： PA +PD+PC BD 第5页（共 22页） 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式， 如： （a+b） 1=a+b， （a+b）2=a2+2ab+b2， （a+b）3= （a+b）2 （a+b）=a 3+3a2b+3ab2+b3， 下面我们依次对 （a+b） n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可 以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发现 的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系 数之和为 S ， （结果用含字母n 的代数式表示） 第6页（共 22页） 2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共8 小题） 1已知四边形 ABCD中，AB=BC ，ABC=120 ° ，MBN=60 ° ，MBN 绕 B 点旋 转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1） ，易证 AE +CF=EF ； 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF时，在图 2 和图 3 这两种情况下， 上述结论是否 成立？若成立， 请给予证明； 若不成立，线段 AE，CF ，EF又有怎样的数量关系？ 请写出你的猜想，不需证明 【 解答 】 解 ： AB AD ， BC CD ，AB=BC ， AE=CF， 在ABE和CBF中， ， ABE CBF （SAS ） ； ABE= CBF ，BE=BF ； ABC=120 ° ，MBN=60 °， 第7页（共 22页） ABE= CBF=30 ° ， AE= BE ，CF= BF； MBN=60 °，BE=BF ， BEF为等边三角形； AE +CF= BE +BF=BE=EF ； 图 2 成立，图 3 不成立 证明图 2 延长 DC至点 K，使 CK=AE ，连接 BK， 在BAE和BCK中， 则BAE BCK ， BE=BK ，ABE= KBC ， FBE=60 ° ，ABC=120 ° ， FBC +ABE=60 ° ， FBC +KBC=60 ° ， KBF= FBE=60 ° ， 在KBF和EBF中， KBF EBF ， KF=EF ， KC +CF=EF ， 即 AE +CF=EF 图 3 不成立， AE、CF 、EF的关系是 AE CF=EF 第8页（共 22页） 2 （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，B=D=90° ，E、F 分别是边 BC 、 CD上的点，且 EAF= BAD 求证： EF=BE +FD； （2）如图，在四边形 ABCD中，AB=AD ，B+D=180 ° ，E、F分别是边 BC 、CD 上的点，且 EAF= BAD， （1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD ，B+ADC=180 ° ，E、F分别是边 BC 、 CD延长线上的点，且 EAF= BAD ， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请 证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 第9页（共 22页） 【解答】 证明： （1）延长 EB到 G，使 BG=DF ，连接 AG ABG= ABC= D=90 ° ，AB=AD ， ABG ADF AG=AF ，1=2 1+3=2+3=EAF= BAD GAE= EAF 又AE=AE ， AEG AEF EG=EF EG=BE +BG EF=BE +FD （2） （1）中的结论 EF=BE +FD仍然成立 （3）结论 EF=BE +FD不成立，应当是 EF=BE FD 证明：在 BE上截取 BG ，使 BG=DF ，连接 AG B+ADC=180 ° ，ADF +ADC=180 ° ， B=ADF 第10页（共 22页） AB=AD ， ABG ADF BAG= DAF ，AG=AF BAG +EAD= DAF +EAD =EAF= BAD GAE= EAF AE=AE ， AEG AEF EG=EF EG=BE BG EF=BE FD 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中 C=90° ， B=E=30 ° （1）操作发现 如图 2，固定 ABC ，使 DEC绕点 C旋转，当点 D 恰好落在 AB边上时，填空： 线段 DE与 AC的位置关系是DE AC； 设 BDC的面积为 S1，AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是S1=S2 （2）猜想论证 当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关 系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中 BC、CE边上的高，请你证明 小明的猜想 （3）拓展探究 第11页（共 22页） 已知 ABC=60 ° ，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4 ，DEAB交 BC于点 E（如 图 4） 若在射线 BA上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长 【解答】 解： （1） DEC绕点 C旋转点 D 恰好落在 AB边上， AC=CD ， BAC=90 ° B=90 ° 30° =60° ， ACD是等边三角形， ACD=60 ° ， 又 CDE= BAC=60 ° ， ACD= CDE ， DE AC ； B=30 ° ，C=90 ° ， CD=AC= AB， BD=AD=AC ， 根据等边三角形的性质，ACD的边 AC 、AD上的高相等， BDC的面积和 AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2； 故答案为： DE AC ；S1=S2； （2）如图， DEC是由ABC绕点 C旋转得到， BC=CE ，AC=CD ， 第12页（共 22页） ACN +BCN=90 ° ，DCM+BCN=180 ° 90° =90° ， ACN= DCM， 在 ACN和DCM中， ， ACN DCM（AAS ） ， AN=DM， BDC的面积和 AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即 S1=S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE ，易求四边形 BEDF 1是菱形， 所以 BE=DF 1，且 BE 、DF1上的高相等， 此时 SDCF1=SBDE； 过点 D 作 DF2BD， ABC=60 ° ，F1DBE ， F2F1D=ABC=60 ° ， BF1=DF1，F1BD= ABC=30 ° ，F2DB=90 ° ， F1DF2=ABC=60 ° ， DF1F2是等边三角形， DF1=DF2， BD=CD ，ABC=60 ° ，点 D 是角平分线上一点， DBC= DCB= ×60° =30° ， CDF1=180° BCD=180 ° 30° =150° ， CDF 2=360° 150° 60° =150° ， CDF1=CDF2， 在 CDF1和CDF2中， ， 第13页（共 22页） CDF1CDF2（SAS ） ， 点 F2也是所求的点， ABC=60 ° ，点 D 是角平分线上一点， DEAB， DBC= BDE= ABD= ×60° =30° ， 又BD=4， BE= ×4÷cos30°=2÷=， BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=， 故 BF的长为或 4如图 1，已知线段 AB的长为 2a，点 P是 AB上的动点（ P不与 A，B重合） ， 分别以 AP、PB为边向线段 AB的同一侧作正 APC和正 PBD （1）当 APC与PBD的面积之和取最小值时， AP=a； （直接写结果） （2）连接 AD、BC ，相交于点 Q，设AQC= ，那么 的大小是否会随点P的移 动而变化？请说明理由； （3） 如图 2， 若点 P固定， 将PBD绕点 P按顺时针方向旋转（旋转角小于 180° ） ， 此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 第14页（共 22页） 【解答】 解： （1）设 AP的长是 x，则 BP=2a x， SAPC+SPBD= x?x+（2ax）?（2ax） =x2ax+a2， 当 x=a时APC与PBD的面积之和取最小值， 故答案为： a； （2）的大小不会随点 P的移动而变化， 理由： APC是等边三角形， PA=PC ，APC=60 ° ， BDP是等边三角形， PB=PD ，BPD=60 ° ， APC= BPD ， APD= CPB ， APD CPB ， PAD= PCB ， QAP +QAC+ACP=120 ° ， QCP +QAC+ACP=120 ° ， AQC=180 ° 120° =60° ； （3）此时 的大小不会发生改变，始终等于60° 理由： APC是等边三角形， PA=PC ，APC=60 ° ， BDP是等边三角形， PB=PD ，BPD=60 ° ， APC= BPD ， APD= CPB ， APD CPB ， PAD= PCB ， 第15页（共 22页） QAP +QAC+ACP=120 ° ， QCP +QAC+ACP=120 ° ， AQC=180 ° 120° =60° 5如图 1，RtABC中 AB=AC ，点 D、E是线段 AC上两动点，且 AD=EC ，AM 垂 直 BD， 垂足为 M， AM 的延长线交 BC于点 N， 直线 BD与直线 NE相交于点 F试 判断 DEF的形状，并加以证明 说明： （1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中 的某种思路写出来（要求至少写3 步） ； （2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可 以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明 1、画出将 BAD沿 BA方向平移 BA长，然后顺时针旋转90° 后图形； 2、点 K在线段 BD上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ ACKN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、E是直线 AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF 的形状，并说明理由 【解答】 解： DEF是等腰三角形 证明：如图，过点C作 CP AC ，交 AN延长线于点 P RtABC中 AB=AC BAC=90 ° ，ACB=45 ° PCN= ACB ，BAD= ACP AMBD ABD +BAM=BAM+CAP=90 ° ABD= CAP BAD ACP AD=CP ，ADB= P AD=CE 第16页（共 22页） CE=CP CN=CN CPN CEN P=CEN CEN= ADB FDE= FED DEF是等腰三角形 附加题： DEF为等腰三角形 证明：过点 C作 CP AC ，交 AM 的延长线于点 P RtABC中 AB=AC BAC=90 ° ，ACB=45 ° PCN= ACB= ECN AMBD ABD +BAM=BAM+CAP=90 ° ABD= CAP BAD ACP AD=CP ，D=P AD=EC ，CE=CP 又CN=CN CPN CEN P=E D=E DEF为等腰三角形 第17页（共 22页） 6如图，已知等边三角形ABC中，点 D，E，F分别为边 AB，AC ，BC的中点， M 为直线 BC上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也 随之整体移动） （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN与 MF 有怎样的数量关系？ 点 F是否在直线 NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数 量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由； （3）若点 M 在点 C右侧时，请你在图3 中画出相应的图形，并判断（1）的结 论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明 或说明理由 【解答】 解： （1）判断： EN与 MF 相等（或 EN=MF ） ，点 F在直线 NE上， （2）成立 连接 DF，NF，证明 DBM 和DFN全等（ AAS ） ， ABC是等边三角形， AB=AC=BC 又D，E，F是三边的中点， 第18页（共 22页） EF=DF=BF BDM+MDF=60 °，FDN +MDF=60 °， BDM=FDN ， 在DBM和DFN中， DBMDFN ， BM=FN，DFN= FDB=60 ° ， NFBD， E ，F分别为边 AC ，BC的中点， EF是ABC的中位线， EF BD， F在直线 NE上， BF=EF ， MF=EN （3）如图， MF 与 EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立） 连接 DF、DE ， 由（2）知 DE=DF ，NDE= FDM，DN=DM， 在DNE和DMF中， DNE DMF， MF=NE 第19页（共 22页） 7已知：等边三角形ABC （1）如图 1，P 为等边 ABC外一点，且 BPC=120 ° 试猜想线段 BP 、PC 、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图 2，P 为等边 ABC内一点，且 APD=120 ° 求证： PA +PD+PC BD 【解答】 猜想： AP=BP +PC ， （1）证明：延长 BP至 E，使 PE=PC ，连接 CE ， BPC=120 ° ， CPE=60 ° ，又 PE=PC ， CPE为等边三角形， CP=PE=CE，PCE=60 ° ， ABC为等边三角形， AC=BC ，BCA=60 ° ， ACB= PCE ， ACB +BCP= PCE +BCP ， 即： ACP= BCE ， ACP BCE （SAS ） ， AP=BE ， 第20页（共 22页） BE=BP +PE ， AP=BP +PC （2）证明：在 AD外侧作等边 AB D ， 则点 P在三角形 ADB 外，连接 PB'，B'C， APD=120 ° 由（ 1）得 PB =AP+PD， 在PB C 中，有 PB +PC CB ， PA +PD +PC CB ， AB D 、ABC是等边三角形， AC=AB ，AB =AD， BAC= DAB =60°， BAC +CAD= DAB +CAD ， 即： BAD= CAB ， AB C ADB， CB =BD， PA +PD +PC BD 8认真阅读材料，然后回答问题： 第21页（共 22页） 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式， 如： （a+b） 1=a+b， （a+b）2=a2+2ab+b2， （a+b）3= （a+b）2 （a+b）=a 3+3a2b+3ab2+b3， 下面我们依次对 （a+b） n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可 以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为“ 杨辉三角形 ” ；仔细观察 “ 杨辉三角形 ” ，用你发现 的规律回答下列问题： （1）多项式（ a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系 数之和为 S ， （结果用含字母n 的代数式表示） 【解答】解： （1）当 n=1时，多项式（ a+b）1的展开式是一次二项式，此时第 三项的系数为： 0=， 当 n=2时， 多项式 （a+b） 2 的展开式是二次三项式， 此时第三项的系数为： 1=， 当 n=3时， 多项式 （a+b） 3 的展开式是三次四项式， 此时第三项的系数为： 3=， 当 n=4时， 多项式 （a+b） 4的展开式是四次五项式， 此时第三项的系数为： 6= ， 多项式（ a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1 项式，第三项的系数为：； （2）预测一下多项式（ a+b）n展开式的各项系数之和为：2n； （3）当 n=1时，多项式（ a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=2 1， 当 n=2时，多项式（ a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2 2， 第22页（共 22页） 当 n=3时，多项式（ a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2 3， 当 n=4时，多项式（ a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=2 4， 多项式（ a+b）n展开式的各项系数之和： S=2 n