人教版五年级数学下册中知识点、易错点、易错题汇总.pdf

1 4 3 2 知识点易错点汇总 知识点归纳 一、轴对称 1、定义：把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条 直线对称，这条直线叫做对称轴 。折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 。 2、性质：对称点到对称轴的距离相等 。 3、轴对称图形：指具有特殊形状的一个图形，它可以有一条或多条对称轴。 二、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点（或轴）转动一定的角度的图形变换叫做旋转。 2、旋转三要素：旋转点 （旋转中心）、旋转方向 、旋转角度 钟表中指针运动的方向为顺时针方向 ，与钟表中指针的运动方向相反的方向为逆时针方向 。 3、性质：图形绕着某一点旋转一定的度数，图形的对应点、对应线段都旋转了相应的度数，对应点到旋转 点的距离相等，对应的线段和对应的角度相等。图形旋转后，形状、大小 都没有发生变化，只有位置 变了。 4、旋转90°的方法（1）找出原图行的关键点或关键线段；（ 2）借助三角板或量角器作原图行关键点或 线段与旋转中心所在线段的垂线；（3） 在所垂线上量出或数出与原线段相等的长度（即找到原图关键点的对应点）； （4）顺次连接所找到的对应点，即可得到原图形旋转90°后的图形。 5、时钟上包含12 大格， 60 小格，时钟上相邻两数字间即为一大格，一大格为30°；每一大格又平均分为 了五个小格，一小格为6° 三、平移 1、定义：指在一个平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫 做图形的平移运动，简称平移。 2、性质：平移不改变图形的形状 和大小 。 3、图形平移的步骤： （ 1）确定原 图形位置、平移的方向、平移的距离。 （2）找出原图形的各关键点。（3）根据 题目要求将各个点依次平移，找出各个点的对应点。（4）顺次连接平移后的各点。 习题： 1、图形的变换包括：、。 其中只是改变原图形位置的变换是、。 2、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫（）图形，那条直 线就是（） 。 3、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，圆有（）条对称轴。 4、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象： （1）张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是（）现象。 （2）升国旗时，国旗的升降运动是（）现象。 （3）妈妈用拖布擦地，是（）现象。 （4）自行车的车轮转了一圈又一圈是（）现象。 5、（1）图形 1 绕 A点（）旋转 90°到图形2。 （2）图形 2 绕 A点（）旋转 90°到图形3。 （3）图形 4 绕 A点顺时针旋转（）到图形2。 （4）图形 3 绕 A点顺时针旋转（）到图形1。 （5）图形 1 绕 A点逆时针旋转180°到图形（） 。 （6）图形 3 绕 A点逆时针旋转90°到图形（） 。 6、画出下列图形的对称轴。 一、看右图回答下面问题（图中时间为十二点整） （1）当分针指针指向4 时，分针绕点（）方向（）旋转了（）度。 （2）分针指针绕点A 逆时针旋转（）到 9. （3）分针绕点A 顺时针旋转360 度后，时针绕点A（）方向旋转了（） （4）从 12:00 到 3:00，时针旋转了（） （5）分针指针顺时针旋转（）度之后指向7. 二、画出第一个图形的对称图形，第二个图形请向上移动3格。 三、按要求画图 （1）将三角形绕O点逆时针旋转90 度，得到三角形； （2）将三角形向右平移5 格，在向上平移三格后得到三角形； （3）将三角形绕点O顺时针旋转90°得到三角形。 四、长方形有（）条对称轴，等腰三角形有（）条对称轴，等边三角形有（）条对称轴，正方 形有（）条对称轴，等五边形有（）条对称轴，等六边形有（）条对称轴，圆有（）条 对称轴。 o 第一单元知识点易错点汇总 图形的变换包括：、。 其中只是改变原图形位置的变换是、。 一、图形的平移 1、平移不改变图形的和。 2、平移的三要素：原图形的位置、平移的方向、平移的距离。 平移的方向一般为：水平方向、垂直方向两种。 平移的距离：一般为几个单位长度（也即几个方格）。 3、平移是整个图形的移动，图形的每个关键点都需要按要求移动。 4、图形平移的步骤： （ 1）确定原图形位置、平移的方向、平移的距离。 （ 2）找出原图形的各关键点。 （ 3）根据题目要求将各个点依次平移。 （ 4）顺次连接平移后的各点，标明各点名称。 二、轴对称 1、一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线的图形能够重合， 就说这一个图形是轴对称图形。 这条直线叫做图形的。 2、 轴对称图形一定有对称轴，而且至少有条对称轴，常见的例如：、 、线段、角 ；有两条对称轴的常见图形有、；有三条对称轴的 常见图形有； 正方形有条对称轴；五角星和正五边形有条对称轴；正六变形有条对称轴。 三、轴对称图形的画法 1、轴对称图形的性质： （1）对称轴两边的图形一定完全相同 （2）对应点也关于对称轴对称 （3）对应点的连线垂直于对称轴 （4）对应点到对称轴的距离相等 2、轴对称图形的画法： （1）根据题意确定已知图形以及对称轴位置 （2）找出已知图形的关键点 （3）一次过每个点作垂直于对称轴的虚线（根据性质3） （4）在对称轴另一侧确定各对应点位置（根据性质4） （5）标明各点对应名称，顺次连接各对应点得到轴对称图形。 四、确定轴对称图形的对称轴 沿某条直线对折之后，两边的图形能够完全重叠，这条直线就是图形的对称轴。 五、轴对称和成轴对称 轴对称图形成轴对称 区 别 只有一个图形有两个图形 至少有一条对称轴只有一条对称轴 联 系 沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合 都有对称轴 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；如果把成轴对称的 两个图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形 六、图形旋转的特点 1、旋转前后图形形状和大小都不变。 2、每组对应点与旋转中心的连线所成角的度数都等于旋转角度。 3、各对应点之间的距离也相等。 七、图形旋转的三要素 1、旋转中心：可以在已知图形上也可以在已知图形外。 2、旋转方向：顺时针和逆时针。 3、旋转角度：常见的有45°、 90°180°等。 八、旋转图形的画法 1、确定旋转中心、旋转方向、旋转角度 2、找去原图形的各关键点 3、依次将各关键点与旋转中心连接（用虚线） 4、将各连线按要求旋转一定角度后，确定各虚线的长度，标出对应点。 5、将个对应点连接并标出名称。 第一单元知识点检测 一、想一想，选一选。 （每空 1 分，共 8 分） 1、不是轴对称图形的是（） 。 W A E S 2、是轴对称图形的是（） 。 2 5 3 8 3、等边三角形（）对称轴，平行四边形（）对称轴。 有一条有三条没有有无数条 4、 有一个电话号码是 7位数， 逆时针旋转 180°以后， 号码分别是 1606199。 原来的电话号码是（） 。 9916061 6616061 6619091 6619061 5、仔细观察下列图形，图（）是由轴对称变化得到的，图（）是由平移得到的，图（） 是由旋转得到的。 二、画出下列图形的对称轴。 （每个 2 分，共 16 分） 三、下面的图案各是从哪张纸上剪下来的？请连线。（每个 2 分，共 8 分） 四、看图填一填。（每空 2 分，共 10 分） （1）指针从“ 1”绕点 O 顺时针旋转 30°后指向。 （2）指针从“ 1”绕点 O 顺时针旋转°后指向 3。 （3）指针从“ 1”绕点 O 顺时针旋转 90°后指向。 （4）指针从“ 1”绕点 O 顺时针旋转°后指向 7。 五、你知道方格纸上图形的位置关系吗？（每空2 分，共 8 分） （1）图形 B 可以看作图形 A 绕点顺时针旋转 90°得到的。 （2）图形 C 可以看作图形 A 绕点 O 顺时针旋转°得到的。 （3）图形 B 绕点 O 逆时针旋转 180°到图形所在位置。 （4）图形 A 可以看作图形 D 绕点 O 逆时针旋转°得到的。 六、画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。（每个 10 分，共 20 分） 七、想一想，画一画。 （每个 10分，共 20分） （1）画出三角形 AOB 绕点 O （2）绕点 O 逆时针旋转 90° 顺时针旋转 90°后的图形。 八、小小设计师：利用我们学过的对称、平移或旋转的知识，将下面的图形进行变换，设计一个美 丽的图案。（ 10 分） 第二单元知识点易错点汇总 一、倍数与因数的关系（研究因数与倍数的时候，我们所说的数指的是整数，且不包括0） 【知识点1】倍数与因数之间的关系是相互的，不能单独存在。 例如： 6 是倍数、 3 和 2 是因数。（× ）改正： 6 是 3 和 2 的倍数， 3 和 2 是 6 的因数。 练习： （1）8× 5=40 ， （）和（）是（）的因数，（）是（）和（）的倍数。 （2）因为36÷9=4 ，所以（）是（）和（）的倍数，（）和（）是（）的因 数。 （3）在 18÷6=3 中， 18 是 6 的（） ，3 和 6 是（）的（） 。 （4）在14÷7=2中， （）能被（）整除，（）能整除（） ， （）是（）的倍数， （）是（）的因数。 （5）若 A÷B=C （A、B、 C 都是非零自然数） ，则 A 是 B 的（）数， B 是 A 的（）数。 （6）如果 A、B 是两个整数（ B0） ，且 A÷B2，那么 A 是 B 的，B 是 A 的。 （7）判断并改正：因为7×6=42，所以 42 是倍数， 7 是因数。（） 因为 15÷5=3 ，所以 15 和 5 是 3 的因数， 5 和 3 是 15 的倍数。（） 5 是因数， 15 是倍数。（） 甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。（） （8）甲数× 3=乙数，乙数是甲数的（） 。 A、倍数 B、因数 C、自然数 【知识点2】倍数因数只考虑正数，小数、分数等不讨论倍数、因数的问题。 例如： 0.6 × 5=3，虽然可以表示0.6 的 5 倍是 3 但是， 0.6 是小数是不讨论倍数因数问题。 因此类似的：因为0.6 × 5=3，所以 3 是 0.6 和 5 的倍数。是错误的说法。 练习： （1）有 5÷2=2.5 可知（） A、5 能被 2 除尽B、2 能被 5 整除C、5 能被 2 整除D、2 是 5 的因数， 5 是 2 的倍数 （2）36÷5=7 1 可知（） A、5 和 7 是 36 的因数B、5 能整除 36 C、36 能被 5 除尽D、36 是 5 的倍数 （3）属于因数和倍数关系的等式是（） A、2×0.250.5 B、2×25 50 C、2× 00 【知识点3】没有前提条件确定倍数与因数 例如： 36 的因数有（） 。 确定一个数的所有因数，我们应该从1 的乘法口诀一次找出。如：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4× 9=36、 6×6=36 因此 36 的所有因数为：1、2、3、4、6、9、12、18、36 重复的和相同的只算一个因数。 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 例如： 7 的倍数（） 。 确定一个数的倍数，同样依据乘法口诀，如：1×7=7、2×7=14、3×7=21、4×7=28、5×7=35还有很多。 因此 7 的倍数有： 7、14、21、 28、35、42 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 练习： （1）20 的因数有： （2）45 的因数有： （3）24 的倍数有： （4）17 的倍数有： （5）下面的数，因数个数最多的是（） 。 A、18 B、 36 C、40 （6）判断并改正：14 比 12 大，所以14 的因数比12 的因数多（） 1 是 1，2，3，4，5 的因数（） 一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。（） 一个数的最小倍数是它本身（） 12 是 4 的倍数， 8 是 4 的倍数， 12 与 8 的和也是4 的倍数。（） 凡是 8 的倍数也一定是2 的倍数。（） （7）幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32 颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？ （8）小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本同样的日记本，售货员阿姨说应付35 元，小 红认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【知识点4】有前提条件的情况下确定倍数与因数 例如： 25 以内 5 的倍数有（5、10、15、20、25 ） 。特别注意前提条件是25 以内！ 例如： 5、1、20、35、 40、10、140、2 以上各数中，是20 的因数的数有（） ；是 20 的倍数的数有（） ；既是 20 的倍数又是20 的因数的数有（） 。 首先我们应该明确20 的因数有哪些，然后在上面的数中一次找出，特别注意没有在以上数字中出现的因数是不 能填入括号的！ 练习： （1）100 以内 19 的倍数有： （2）在 4，6，8， 10，12，16，18，20，22，24， 28，32，36 中 4 的倍数：36 的因数： 5、一个数既是6 的倍数，又是60 的因数，这个数可能是 6、用 1、5、6、8、9 组成的数中，是3 的倍数的数有是 2 的倍数的 数有 。 【知识点3】关于倍数因数的一些概念性问题 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是他本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是他本身，没有最大的倍数。 1 是任一自然数（0 除外） 的因数。也是任一自然数（0 除外） 的最小因数。 一个数的因数最少有1 个，这个数是1。除 1 以外的任何整数至少有两个因数（0 除外）。 一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。 一个数的最小倍数=一个数的最大因数=这个数 练习： 4、一个数的倍数个数是（） ，最小的倍数是（） ， （）最大的倍数。 5、一个数的因数的个数是（） ，最小的因数是（） ，最大的因数是（） 。 6、在研究因数和倍数时，我们所说的数一般指的是（） 。 7、判断并改正：一个数的因数都比他的倍数小。（） 1是所有的自然数的因数。（） 一个数的因数一定小于他本身。（） 一个数的倍数一定比他的因数大。（） 任何一个数的倍数个数一定比因数个数多。（） 二、 2、3、5 的倍数的特征 【知识点1】2、3、5 的倍数特征 个位上是0，2，4，6，8 的数都是2 的倍数。 例如： 202、480、304，都能被2 整除。 个位上是0 或 5 的数，是5 的倍数。 例如： 5、30、405 都能被 5 整除。 一个数各个数位上的数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。 例如： 12、108、204 都能被 3 整除。 个位上是0 的数既是2 的倍数又是5 的倍数。 例如： 80、20、70、130 等。 个位上是0 且各位数字的和是3 的倍数， 那么这个数既是2 的倍数又是3 和 5 的倍数。 例如： 120、90、180、270 等。 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。也就是说是2 的倍数的数也叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数也叫做奇数。（因此在自然数中，除了奇数就是偶数） 偶数偶数 =偶数偶数偶数 =偶数偶数×偶数 =偶数 偶数奇数 =奇数偶数奇数 =奇数偶数×奇数 =偶数 奇数奇数 =偶数奇数偶数 =奇数奇数×奇数 =奇数 奇数奇数 =偶数无论多少个偶数相加都是偶数 偶数个奇数相加是偶数奇数个奇数相加是奇数 练习： （1）在 27 、68、44、 72、587、602、431、 800中，把奇数和偶数分别填在相应的圈内。 奇数偶数 （2）按要求填数。 3的倍数： 2 ， 3 ， 1 ， 7 4 ， 8 6 ， 4 6。 2和 3 的倍数： 4 ， 1 ，6 ， 4 ，9 ， 5 ，6 。 2、3 和 5 的倍数： 0，2 。 六、写出5 个 3 的倍数的偶数：写出 3 个 5 的倍数的奇数： （4）猜猜我是谁。 我比 10 小，是 3 的倍数，我可能是（） 。 我在 10 和 20 之间，又是3 和 5 的倍数，我是（） 。 我是一个两位数且是奇数，十位数字和个位数字的和是18，我是（） 。 （5）一个六位数548能同时被3、4、5 整除，这样的六位数中最小的一个是（） 。 一个四位数698 ，如果在个位上填上数字（） 。那么这个数既是2 的倍数，又是5 的倍数。 117 既是 3 的倍数，又是5 的倍数； 249 既是 2 的倍数，又是3 的倍数。 （6）把下面的数按要求填到合适的位置。 435、27、65、105、216、720、18、35、40 2的倍数（） ；3 的倍数（） ； 3的倍数（） ；2、5 的倍数（） ； 2、3 的倍数（） ；2、3、5 的倍数（） 。 6、同时是2 和 3 的倍数中，最小的是（） ，两位数中最大的是（） 。 7、能同时被、 和整除的最小三位数是_ _， 最大两位数是_ _， 最小两位数是_ _ ， 最大三位数是 _ _。 8、三个连续偶数的和是72，这三个偶数分别是（） 、 （）和（） 。 （10） 226 至少增加（）就是 3 的倍数，至少减少（）就是 5 的倍数。 （11）用 5、6、8 排成一个三位数且是2 的倍数，再排成一个三位数，使他有因数5，各有几种排法？这些数中 有 3 的倍数吗？ （12）在（）里填上一个数，使87（）是 3的倍数，共有（）种填法。 A、1 B、2 C、3 D、4 最小的四位奇数比最大的三位偶数大（） 。 A、113 B、13 C、3 A B是一个三位数，已知A+B=14 ，且 A B是 3 的倍数，中可能填的数有（）个。 A 、1 B、2 C、3 D、4 （13）判断并改正：两个奇数的和，可能是偶数。（） 最小的奇数是1，最小的偶数是2. （） 一个自然数不是奇数就是偶数。（） 个位上是3、6、9 的数都是3 的倍数。（） 是 3 的倍数的数一定是9 的倍数，是9的倍数的数一定是3 的倍数。（） 偶数的因数一定比奇数的因数多。（） 【知识点2】一些特殊数的倍数的特征 一个数各位数上的和能被9 整除，这个数就是9 的倍数。 但是，能被3 整除的数不一定能被9 整除；能被9 整除的数一定能被3 整除。 一个数的末两位数能被4 整除，这个数就是4 的倍数。 例如： 16、404、1256 都是 4 的倍数。 一个数的末两位数能被25 整除，这个数就是25 的倍数。 例如： 50、325、500、1675 都是 25 的倍数。 一个数的末三位数能被8（或 125）整除，这个数就是8（或 125）的倍数。 例如： 1168、4600、5000、 12344 都 是 8 的倍数， 1125、13375、5000 都是 125 的倍数。 如果 a 和 b 都是 c 的倍数，那么ab 和 ab 一定也是c 的倍数 如果 a 是 c 的倍数，那么a 乘以一个数（0 除外）后的积也是c 的倍数 练习： （1）五位数 15 3 能同时被 5 和 9 整除，这样的六位数有（） 、 （） 。 （2）六位数 1576 能同时被55 整除，这样的六位数有（） 、 （） 。 （3）一个比20 小的偶数，他有因数3，又是 4 的倍数，这个数是（） 。 【知识点3】最大公因数与最小公倍数 由于一个数的因数个数是有限的而且最大的因数是这个数本身，最小的因数都是1. 因此，几个数公共的因 数也只考虑其最大的公共因数，而不考虑最小的公共因数。 例如： 12、16、18 的最大公因数 12 的因数有： 1、2、3、4、6、12 16的因数有： 1、2、4、8、16 18的因数有： 1、2、3、6、9、18 因此 12、16、18 的最大的公共因数即最大公因数是：2 练习： （1）12 的约数有（） ；18 的约数有（） ；其中（）是 12 和 18 的公约数；它们的最大公约数是（） 。 （2）求下面数的最大公约数 24 和 36 54 和 72 7 和 63 12、18、36 （3）长 180 厘米 ,宽 45 厘米 ,高 18 厘米的木料 ,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料 )多少块？ （4）动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子 可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20 粒 .那么平均给三群猴子,每只可得多少粒. 同样由于一个数的倍数个数是无限的，但其最小的倍数是他本身，因此在求几个数的公倍数时只能考虑其最 小的公共倍数。 例如： 2、4、5 的最小公倍数 2 的倍数有： 2、4、 6、8、10、12、 14、16、18、20、22、24、26、 28、30、32、34、36、38、40、 4 的倍数有： 4、8、 12、16、20、24、28、32、36、 40、 5 的倍数有： 5、10、15、20、25、30、35、 40、 公共的倍数有：20、40所以 2、4、5 的最小公倍数是：20 练习： （1）写出 100 以内的 4 的倍数有 （） ；100 以内的 6 的倍数有 （） ； 它们的公倍数有（） ；它们的最小公倍数是（） 。 （2）210 与 330 的最小公倍数是最大公约数的_倍. （3）是 2、3、5 的倍数的最小三位数是（） 。一个数是5 的倍数，又有因数3，也是 7 的倍数，这个 数最小是（） 。 （4）求下面数的最小公倍数 12 和 18 13 和 11 13.和 65 6、7、21 （5）一串珠子，5 粒 5 粒数， 6 粒 6粒数， 7 粒 7 粒数， 8 粒 8 粒数都正好数完，这串珠子至少有多少粒？ （6）在 11999 中的自然数中，是3 的倍数，又是5 的倍数的数一共有多少个？ （7）能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是多少？ （8）一堆棋子， 6个 6 个地数余4 个， 9 个 9 个地数余4 个， 10 个 10 个地数余8 个，这堆棋子至少有多少个？ （10）判断并改正：有因数2，同时又是5 的倍数的数一定是10 的倍数。（） 六、质数和合数 【知识点1】质数和合数的相关定义 公共得因数有：1、2 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数） 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 1 不是质数也不是合数，自然数除了1 外，不是质数就是合数。 如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数（两个因数）、合数（大于两个因数）和1（1 个因数）。 100 百以内的质数：2、3、 5、7、11、13、 17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、 79、83、89、97。共 25 个。 除 1 以外所有的质数都是奇数。除 1 以外任意两个质数的和都是偶数 最小的质数是2，最小的合数是4 质数×质数 =合数合数×合数 =合数质数×合数 =合数 练习： （1）像 2、3、5、 7这样的数都是（） ，像 10、6、30、15 这样的数都是（） 。 （2）20以 内 的 质 数 有 （）， 合 数 有 （） 。 （3）自然数（）除外，按因数的个数可以分为（） 、 （）和（） 。 （4）在 16、 23、 169、 31、 27、 54、 102、 111、 97、 121 这些数中， （） 是质数， （） 是合数。 （5）用 A 表示一个大于1 的自然数， A 2 必定是（） 。 A+A 必定是（） 。 （6）一个四位数，个位上的数是最小的质数，十位上是最小的自然数，百位上是最大的一位数，最高位上是最 小的合数，这个数是（）。 （7）两个连续的质数是（）和（）；两个连续的合数是（）和（） （8）两个质数的和是12，积是 35，这两个质数是（） A. 3 和 8 B. 2 和 9 C. 5 和 7 （9）判断并改正：一个自然数不是质数就是合数。（） 所有偶数都是合数。 （） 一个合数的因数的个数比一个质数的因数的个数多。（） 所有质数都是奇数。 （） 两个不同质数的和一定是偶数。（） 三个连续自然数中，至少有一个合数。（） 大于 2 的两个质数的积是合数。（） 7 的倍数都是合数。 （） 20 以内最大的质数乘以10 以内最大的奇数，积是171。 （） 2 是偶数也是合数。 （） 1 是最小的自然数，也是最小的质数。（） 最小的自然数，最小的质数，最小的合数的和是7。 （） （10）下面是一道有余数的整数除法算式：A÷B=C R 1 既不是质数也不是合数。（）个位上是3 的数一定是3 的倍数。（） 所有的偶数都是合数。（）所有的质数都是奇数。（） 两个数相乘的积一定是合数。（） （11）写出一些三位数，这些数都同时是2、3、5 的倍数。（每种写两个数） （6% ） 有两个数字是质数： 有两个数字是合数： 有两个数字是奇数： 【知识点2】分解质因数（相加和相乘） 把一个合数分成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数， 例如 15=3×5，3 和 5 叫做 15 的质因数。 分解质因数，应该从最小的质数开始试积，直到每个因数都是质数时为止。 例如： 24=2×12 24=3×8 2×6 因此 24=2× 2×2×3 2×4 2×3 2×2 用那两个质数的和表示 42= （2）+（40） =（3）+（ 39）=（5）+（37） ×× 练习： 3、把 48、51、28 用几个质数相乘的形式分别表示出来。 4、下列的数可以用那两个质数的和表示，并总结规律。 9=（）+（）42= （）+（） 38=（）+（）80= （）+（） 50=（）+（）62= （）+（） （3）用质数填空，质数不能重复 18= （）+（）=（）+（）=（）（）（） 12=（）×（）×（）30=（）×（）×（）8（）×（）×（） （4）100 以内的哪些数是三个不同质数的积？ 【知识点3】确定数字 这类题关键在于准确掌握有关倍数、因数、奇数、偶数、质数、合数以及一些特殊的数。 例如：两个质数的和是25，这两个质数的差是多少？ 首先将 25 分解成两个质数的和的形式：25=2+23=3+22=5+20=7+18=11+14=13+12=17+8=19+6 × × ×××× × 通过分解只有2 和 23 一种情况，因此这两个质数的差是23-2=21 练习： （1）一个四位数，个位上的数是最小的奇数，十位上的数是最小的偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的 数既是质数又是偶数，这个四位数是多少？ （2）猜电话号码0592A B C D E F G 提示： A 5 的最小倍数 B 最小的自然数 C 5 的最大因数 D 它既是4 的倍数，又是4 的因数 E 它的所有因数是1，2， 3，6 F 它的所有因数是1， 3 G它只有一个因数 这个号码就是 （3）123 99910001001 的和是奇数还是偶数？请写出理由。（3% ） （4）有两个质数，和是18，积是 65，这两个质数是（）和（） 。 （5）在 100150 中，找出两个整数，使它们相乘的积等于91 和 187 的乘积，这两个数分别是（）和 （） 。 （6）连续五个奇数的积的末位数是（） 。 （7）两数相加的和是最大的两位数，两数相减的差是大于90 的最小质数，那么这两个数的积是（） 。 （8）三个连续自然数的乘积是720，这三个数是（） 、 （）和（） 。 （9）把六个数： 85、51、33、 91、65、77 分成两组，每组三个数，每组中三个数的乘积相等。写出其中一个组 的三个数（） （10）一个数的最大因数和最小倍数相加等于62，这个数是（） （11）一个数是18 的倍数，它又是18 的因数，猜一猜，这个数是（） 。 （12）一个数是48 的因数，这个数可能是（） 一个数既是48 的因数，又是8 的倍数，这个可能是（） 一个数既是48 的因数，又是8 的倍数，同时还是3的倍数，这个数是（） * 短除法：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：把 18 分解 质因数为 18=2×3×3 2 18 218 24 39 3 9 12 3 3 4 18=2×3×3 18和 24 的最大公因数是 2×3=6， 18 和 24的最小公倍数是2×3×3×4=72 第三单元知识点易错点汇总 一、长方体和正方体的认识 【知识点1】 要素 立体图形 棱面顶点 数量特征数量特征数量特征 长方体12 互相平行的 棱长度相等 6 相对的面完全相同8 同一个顶点引出的三条 棱分别叫做长、宽、高特殊长方体12 垂直于正方 形面的棱长 度相等 6 两个面是正方形， 其余四个面是完全 相同的长方形 8 正方体12 所有的棱长 度都相等 6 所有面都是正方形 且完全相同 8 一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6 各面是正方形，但不会存在3个、4 个、 5 个面是正方形！ 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长 +宽 +高） × 4 长+宽+高=棱长和÷ 4 长方体棱长和=下面周长× 2+高× 4 长方体棱长和=右面周长× 2+长× 4 长方体棱长和=前面周长× 2+宽× 4 正方体棱长和=棱长 × 12 棱长 =棱长和÷ 12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10 厘米彩带，一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求 棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度； 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高× 4+长× 2+打结部分长度 20×4+30 ×2+10=150cm 30 20cm 20cm 30m 6m 50m 【知识点3】 确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。 长方体一共有6 个面，相对面完全相同，如：前面和后面完全相同，左面和右面完全相同，上面和下面完全相同。 根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。 根据这一习惯我们我们只需找到需要的 面并根据习惯确定长和宽即可。 例如：如图下列长方体的后面是长方体形状，长是8 宽是 4；它的右面是长方形状，长是6 宽是 4；下面是长方 形状，长是8 宽是 6。 练习： 经过折叠可以组合成正方体: 经过折叠可以组合成长方体： 【知识点5】 长方体或正方体的切割组合对棱长的影响 （1）切割 将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条长和 4 条宽； （棱长增加的最长） 将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4 条宽和 4 条高； （棱长增加的最短） 将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4 条棱。 （2）组合 将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条宽； （棱长减少的最多） 将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条长和 4 条高； 将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4 条宽和 4 条高； （棱长减少的最少） 将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8 条棱； 一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16 条棱，四个组合减少24 条棱，五个组合减少32 条 （公式： 8×（ N1） ） 例如：将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140 厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？ 上 下 左后右 前 分析：五个正方体棱长共有12×5=60 条； 将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32 条，还剩60-32=28 条； 即这 28 条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：140÷28=5cm ； 所以一个正方体的棱长和为：5×12=60cm 。 【知识点6】 小正方体拼大正方体的规律 由于正方体， 每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是 相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=2 3=8 个（也就是说每条棱上放 2 个小正方体） ，接着再往 大了拼正方体，就是每条棱上放3 个小正方体即3×3×3=3 3=27 个，依次类推接下来是 4×4×4=4 3=64 个； 5 ×5×5=5 3=125 个 从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。这就要求 我们能够熟记一些数的立方： 2 3=8 3 3=27 43=64 5 3=125 63=216 7 3=343 8 3=512 9 3=729 10 3=1000 小正方体拼大长方体的规律 规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a 倍，宽 是小正方体棱长的b 倍，高是小正方体棱长的c 倍，则，大长方体就是由a×b×c 个小正方体组成的。 【知识点1】 长方体表面积=（长×宽 +长×高 +宽×高）× 2 =（a×b+a×c+b×c）× 2 =（前面面积 +上面面积 +右面面积）×2 正方体表面积=棱长×棱长× 6=a×a×6=6a 2 =任意一个面的面积×6 前面面积 =后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积 两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！ 表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！ 【知识点2】 长方体表面求法的变形： 贴商标类型：只求四周面积。 例如：一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5 ，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？ 游泳池类型：只求四周和底面。 例如：一座游泳池，长宽高分别为10m ，4m，1.5m，需要在池内贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？ 抽纸盒类型：六个面面积减去缺口面积。 例如：一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽 3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少 硬纸片？ 占地面积问题：只求底面面积。 例如：一个长方体蓄水池，长12m ，宽 8m ，深 3m ，这个水池占地面积多少平方米？ 【知识点3】 棱长变化对表面积的影响： 七、正方体 正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大8 倍； 正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大9 倍，体积扩大27 倍； 正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 七、长方体 长方体的长宽高同时扩大2 倍，其棱长和也扩大2 倍，表面积扩大4 倍，体积扩大8 倍； 长方体的长宽高同时扩大3 倍，其棱长和也扩大3 倍，表面积扩大9 倍，体积扩大27 倍； 长方体的长宽高同时扩大n 倍，其棱长和也扩大n 倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。 长方体的长扩大a 倍，宽扩大b 倍，高扩大c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a× b×c 倍。 长方体的长扩大a 倍，宽扩大b 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a× b 倍 。 长方体的宽扩大b 倍，高扩大c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b× c 倍 。 长方体的长扩大a 倍，高扩大c 倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c 倍 。 【知识点4】 立体图形的切割：（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题） ?长方体 沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增