余数性质及同余定理(B级)答案.pdf

一、带余除法的定义及性质 1.定义：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b0 ）,若有 a÷ b=q r，也就是 ab× qr, 0 rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r时：我们称a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当0r时：我们称a 不可以被b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数 的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2.余数的性质 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数； 余数小于除数 二、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如： 23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1， 所以 23+1639 除以 5 的余数等于4， 即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如： 23，19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 23+19 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之差。 例如： 23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23167 除以 5 的余数等于2，两个余数差31 知识框架 余数性质及同余定理 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如： 23，14 除以 5 的余数分别是3 和 4，23149 除以 5 的余数等于4，两个余数差为3 54 4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如： 23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23× 16 除以 5 的余数等于3× 13。当余数的和比除 数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如： 23，19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 23× 19 除以 5 的余数等于3× 4 除以 5 的余数，即2. 乘方：如果a 与 b 除以 m 的余数相同，那么 n a 与 n b 除以 m 的余数也相同 一、同余定理 1、 定义 整数 a 和 b，除以一个大于1 的自然数m 所得余数相同， 就称 a 和 b 对于模 m 同余或称a和 b 在 模 m 下同余，即ab（modm） 2、 同余的重要性质及举例。 1aa（modm） （ a为任意自然） ； 2若 ab（modm） ，则 ba（modm） 3若 ab（modm） ，bc（modm）则 ac（modm） ； 4若 ab（modm） ，则 acbc （modm） 5若 ab（modm） ，cd（modm） ，则 ac=bd（modm） ； 6若 ab（modm）则 anbm （modm） 其中性质 3常被称为 “同余的可传递性“，性质 4 、 5常被称为 “同余的可乘性，“性质 6 常被称为 “同余的可开方性“ 注意：一般地同余没有“可除性 “，但是：如果：ac=bc（ modm）且（ c，m）=1 则 ab（ modm） 3、 整数分类： 1用 2 来将整数分类，分为两类： 1， 3，5，7，9， （奇数）； 0， 2，4，6，8， （偶数） 2用 3 来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12， （被 3 除余数是0） 1， 4，7，10，13， （被 3 除余数是1） 2， 5，8，11，14， （被 3 除余数是2） 3在模 6 的情况下，可将整数分成六类，分别是： 0（ mod6） ：0，6，12，18，24， 1（ mod6） ：1，7，13，19，25， 2（ mod6） ：2，8，14，20，26， 3（ mod6） ：3，9，15，21，27， 4（ mod6） ：4，10，16，22， 29， 5（ mod6） ：5，11，17，23， 29， 一个自然数被9 除的余数和这个自然数所有数字之和被9 除的余数相同。 同余在解答竞赛题中有着广泛的应用在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一 些运用技巧和方法 【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？ 【巩 固】 2024 除以一个两位数，余数是22求出符合条件的所有的两位数 【例 2】 两数相除，商4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_ 【巩 固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求 这 2 个自然数各是多少？ 【例 3】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3 的整数倍，每人的岁数都 是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁? 重难点 例题精讲 【巩 固】 有三所学校，高中A 校比 B 校多 10 人， B 校比 C 校多 10 人三校共有高中生2196 人有一所 学校初中人数是高中人数的2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5 倍；还有一所学校高中、 初中人数相等三所学校总人数是5480 人，那么A 校总人数是 _人 【例 4】 求437 309 1993被 7 除的余数 【巩 固】 一个数被 7 除，余数是3，该数的3 倍被 7除，余数是。 【例 5】 若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除 数和余数的和为_ 【巩 固】 一个大于 1 的数去除290，235，200 时，得余数分别为a，2a，5a，则这个自然数是多少？ 【例 6】 有这样一类2009 位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都 有一个约数和20 相差 1，这样的 2009 位数共有 _个 【巩 固】 在两位数 10，11， ，98，99 中，将每个被7 除余 2 的数的个位与十位之间添加一个小数点， 其余的数不变问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【例 7】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2 倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2 倍求A等于多少？ 【巩 固】 已知 60，154，200 被某自然数除所得的余数分别是1a， 2 a ， 3 1a，求该自然数的值 【例 8】 【答案】 29 已知 n 是正整数，规定!12nn， 令1! 12! 23! 32007! 2007m，则整数m 除以 2008 的余数为多少？ 【巩 固】 已知 n 是正整数，规定 !12nn， 令3! 34!45! 52012! 2012Q，则整数Q 除以 2013 的余数为多少？ 【例 9】 设 n 为正整数，2004nk ， k 被 7 除余数为2，k 被 11 除余数为3，求 n 的最小值 【巩 固】 试求不大于100，且使 374 nn 能被 11 整除的所有自然数n 的和 【例 10】 一 个大于 10 的自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220 后所得的余 数，则这个自然数是多少？ 【巩 固】 两位自然数 ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 abba 【随练 1】 已 知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？ 课堂检测 【随练 2】 2003 2与 2 2003 的和除以7 的余数是 _ 【随练 3】M、 N 为非零自然数，且20072008 MN 被 7 整除。 MN 的最小值为。 【作业 1】 大 于 35 的所有数中，有多少个数除以7 的余数和商相等？ 【作业 2】 一 个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是_。 【作业 3】 三个数： 23，51，72，各除以大于1 的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。 【作业 4】 学 校新买来118个乒乓球， 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网， 如果将这三种物品平分给每个班级， 那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？ 家庭作业 【作业 5】 修 改 31743 的某一个数字，可以得到823 的倍数。问修改后的这个数是几？ 【作业 6】 科 学家进行一项实验，每隔5 小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问 做第一次记录时，时针指向几? 学生对本次课的评价 特别满意 满意 一般 家长意见及建议 家长签字： 教学反馈