初二因式分解难题附答案及解析.pdf

2 0 1 7年0 5月2 1日 数 学 （ 因 式 分 解 难 题 ） 2 一填空题（共10小题） 1已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为 2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解 成 2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4）， 请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 4分解因式： 4x24x3= 5利用因式分解计算： 2022+202×196+982= 6ABC三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则 ABC的形状是 7计算： 1222+3242+5262+ 1002+1012= 8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： 2（2）=3 ab=ba 若 a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab 若 ab=0，则 a=1或 b=0 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 9如果 1+a+a2+a 3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 10若多项式 x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值是 二解答题（共20小题） 11已知 n 为整数，试说明（ n+7） 2（n3）2 的值一定能被 20 整除 12因式分解： 4x2y4xy+y 13因式分解 （1）a 3ab2 （2）（xy） 2+4xy 14先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值 解： m2+2mn+2n26n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 （m+n） 2+（n3）2=0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3 问题： （1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值 （2）已知 ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3 c| =0，请问 ABC是怎样形状的三角形？ 15如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“ 和 谐数” 如 4=2202，12=4222，20=6242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐 数 （1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？ （3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为 16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为b 宽为 a 的长方形以及边 长为 b 的大正方形的纸片 （1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼 成一个大长方形（在图2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项 式 a2+3ab+2b2分解因式 （2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34， 求长方形的面积 （3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把 取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以 拼成多少种边长不同的正方形 17（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片 拼成一个新的长方形，如图2 用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积； 由此，你可以得出的一个等式为： （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图； 请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图 18已知 a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s2=a 2+b2，s3=a3+b3， ，sn=an+bn （1）计算 s2； （2）请阅读下面计算s3的过程： 因为 a+b=1，ab=1， 所以 s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1×s2（ 1）=s2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成 （2）中 s3的计算结果， 再用你学到的方法计算s4 （3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式； （4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 19（1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04 （2）分解因式： 4a（a1） 2（1a） 20阅读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值 解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0 （mn）2+（n4） 2=0，（ mn）2=0，（n4）2=0，n=4，m=4 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值 （2）已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0， 求ABC的最大边 c 的值 （3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c= 21仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值 解：设另一个因式为（ x+n），得 x24x+m=（x+3）（x+n），则 x24x+m=x2+ （n+3）x+3n n+3=4 m=3n 解得： n=7，m=21 另一个因式为（ x7），m 的值为 21 问题： （1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2）（x+a），则 a=； （2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1）（x+5），则 b=； （3）仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式 2x2+5xk 有一个因式是 （2x 3），求另一个因式以及k 的值 22分解因式： （1）2x2x； （2）16x 21； （3）6xy 29x2yy3； （4）4+12（xy）+9（xy） 2 23已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c 2），试确定 三角形的形状 24分解因式 （1）2x44x2y2+2y4 （2）2a34a 2b+2ab2 25图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小 长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 （1）图中的阴影部分的面积为； （2）观察图请你写出三个代数式（m+n） 2、（mn）2、mn 之间的等量关系 是 （3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2= （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图，它表示了 （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2 26已知 a、b、c 满足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值 27已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足 a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006， 求：这个长方体的体积 28（x24x）22（x24x）15 29阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1） 2 =（1+x） 1+x+x（x+1） =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是，共应用了次 （2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1） 2+ +x （x+1）2004，则需应用上述方法 次， 结果是 （3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x（x+1）n（n 为正整数） 30对于多项式 x 35x2+x+10，如果我们把 x=2代入此多项式，发现多项式 x3 5x 2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x2）（注：把 x=a代入多项式能 使多项式的值为 0，则多项式含有因式（ xa），于是我们可以把多项式写成： x35x2+x+10=（x2）（x2+mx+n）， （1）求式子中 m、n 的值； （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x32x213x 10 的因式 2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2 参考答案与试题解析 一填空题（共10小题） 1（2016 秋?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则 x 2y+xy2 的值为160 【分析】 首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可 【解答】 解： x+y=10，xy=16， x 2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160 故答案为： 160 【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 2（2016 秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因 看错了一次项系数而分解成2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分 解成 2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x 3） 2 【分析】 根据多项式的乘法将2（x1）（x9）展开得到二次项、常数项；将 2（x2）（x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项 式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式 【解答】 解： 2（x1）（x9）=2x220x+18； 2（x2）（x4）=2x 212x+16； 原多项式为 2x212x+18 2x 212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2 【点评】 根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式， 看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项 正确 3（2015 春?昌邑市期末）若多项式x 2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是±4 【分析】 利用完全平方公式（ a+b）2=（ab）2+4ab、（ab）2=（a+b）24ab 计算即可 【解答】 解： x 2+mx+4=（x±2）2， 即 x2+mx+4=x2±4x+4， m=±4 故答案为：± 4 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是 解题关键 4（2015 秋?利川市期末）分解因式：4x24x3=（2x3）（2x+1） 【分析】 ax 2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系 数 a 分解成两个因数 a1，a2的积 a1?a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2的积 c1?c2， 并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b， 那么可以直接写成结果： ax2+bx+c= （a1x+c1） （a2x+c2），进而得出答案 【解答】 解：4x 24x3=（2x3）（2x+1） 故答案为：（ 2x3）（2x+1） 【点评】 此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键 5（2015 春?东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000 【分析】 通过观察，显然符合完全平方公式 【解答】 解：原式 =202 2+2x202x98+982 =（202+98） 2 =300 2 =90000 【点评】 运用公式法可以简便计算一些式子的值 6（2015 秋?浮梁县校级期末） ABC三边 a，b，c 满足 a 2+b2+c2=ab+bc+ca， 则ABC的形状是等边三角形 【分析】 分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（ ab）2+（a c）2+（bc） 2=0，得出： a=b=c，即选出答案 【解答】 解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得： 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac， 即 a22ab+b2+a 22ac+c2+b22bc+c2=0， 即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0， 解得： a=b=c ， 所以， ABC是等边三角形 故答案为：等边三角形 【点评】 此题考查了因式分解的应用； 利用等边三角形的判定， 化简式子得 a=b=c， 由三边相等判定 ABC是等边三角形 7（2015 秋?鄂托克旗校级期末）计算：1222+3242+5262+ 1002+1012= 5151 【分析】 通过观察，原式变为1+（3222）+（5242）+（10121002），进一 步运用高斯求和公式即可解决 【解答】 解：1222+3242+5262+ 1002+1012 =1+（3222）+（5242）+（10121002） =1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+ +（101+100） =（1+101）×101÷2 =5151 故答案为： 5151 【点评】 此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题 8（2015 秋?乐至县期末）定义运算ab=（1a）b，下面给出了关于这种运 算的四个结论： 2（2）=3 ab=ba 若 a+b=0，则（aa）+（bb）=2ab 若 ab=0，则 a=1或 b=0 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号） 【分析】 根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断 【解答】 解： 2（2）=（12）×（ 2）=2，本选项错误； ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab 不一定等于 ba，本选项错误； 若 a+b=0，则（aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2 b2=2a2=2ab，本选项正确； 若 ab=0，即（ 1a）b=0，则 a=1或 b=0，本选项正确， 其中正确的有 故答案为 【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算， 弄清题中的新定 义是解本题的关键 9（2015 春?张掖校级期末）如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a 2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 【分析】 4 项为一组，分成 2 组，再进一步分解因式求得答案即可 【解答】 解： 1+a+a2+a3=0， a+a2+a3+a4+a5+a6+a 7+a8， =a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）， =0+0， =0 故答案是： 0 【点评】 此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题 10（2015 春?昆山市期末）若多项式x26xb 可化为（ x+a）21，则 b 的值 是8 【分析】 利用配方法进而将原式变形得出即可 【解答】 解： x 26xb=（x3）29b=（x+a）21， a=3，9b=1， 解得： a=3，b=8 故答案为： 8 【点评】 此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键 二解答题（共20小题） 11已知 n 为整数，试说明（ n+7） 2（n3）2 的值一定能被 20 整除 【分析】 用平方差公式展开（ n+7） 2（n3）2，看因式中有没有 20 即可 【解答】 解：（ n+7） 2（n3）2=（n+7+n3）（n+7n+3）=20（n+2）， （n+7）2（n3）2的值一定能被 20 整除 【点评】 主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2b2=（a+b）（ab） 12（2016 秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y4xy+y 【分析】 先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】 解：4x 2y4xy+y =y（4x24x+1） =y（2x1）2 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式 首先提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底， 直到 不能分解为止 13（2015 秋?成都校级期末）因式分解 （1）a 3ab2 （2）（xy） 2+4xy 【分析】 （1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式分解即可 【解答】 解：（ 1）原式 =a（a2b2）=a（a+b）（ab）； （2）原式 =x 22xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法 是解本题的关键 14（2015 春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值 解： m2+2mn+2n26n+9=0 m2+2mn+n2+n26n+9=0 （m+n） 2+（n3）2=0 m+n=0，n3=0 m=3，n=3 问题： （1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy的值 （2）已知 ABC的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+| 3 c| =0，请问 ABC是怎样形状的三角形？ 【分析】 （1）首先把 x2+2y22xy+4y+4=0，配方得到（ xy） 2+（y+2）2=0，再 根据非负数的性质得到x=y=2，代入求得数值即可； （2） 先把 a2+b26a6b+18+| 3c| =0， 配方得到（a3） 2+ （b3）2+| 3c| =0， 根据非负数的性质得到a=b=c=3 ，得出三角形的形状即可 【解答】 解：（ 1）x 2+2y22xy+4y+4=0 x 2+y22xy+y2+4y+4=0， （xy） 2+（y+2）2=0 x=y= 2 ； （2）a 2+b26a6b+18+| 3c| =0， a 26a+9+b26b+9+| 3c| =0， （a3） 2+（b3）2+| 3c| =0 a=b=c=3 三角形 ABC是等边三角形 【点评】此题考查了配方法的应用： 通过配方， 把已知条件变形为几个非负数的 和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问 题 15（2015 秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么称这个正整数为 “ 和谐数 ” 如 4=2202，12=4 222，20=6242，因此 4，12， 20 这三个数都是和谐数 （1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数），由这两个连续偶数 构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？ （3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和为2500 【分析】 （1）利用 36=10 282；2016=50525032 说明 36 是“ 和谐数 ” ，2016 不 是“ 和谐数 ” ； （2）设两个连续偶数为2n，2n+2 （n 为自然数） ，则“ 和谐数 ”= （2n+2） 2（2n） 2，利用平方差公式展开得到（ 2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整 除性可说明 “ 和谐数 ” 一定是 4 的倍数； （3）介于 1 到 200之间的所有 “ 和谐数 ” 中，最小的为： 2202=4，最大的为：502 482=196，将它们全部列出不难求出他们的和 【解答】 解：（ 1）36 是“ 和谐数 ” ，2016 不是“ 和谐数 ” 理由如下： 36=10 282；2016=50525032； （2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（n 为自然数）， （2k+2） 2（2k）2=（2k+2+2k）（2k+22k） =（4k+2）×2 =4（2k+1）， 4（2k+1）能被 4 整除， “ 和谐数 ” 一定是 4 的倍数； （3）介于 1 到 200 之间的所有 “ 和谐数 ” 之和， S=（2202）+（4222）+（6242）+ +（502482）=502=2500 故答案是： 2500 【点评】 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形， 从而达到使计算简化 16（2015 春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a 的小正方形、长 为 b 宽为 a 的长方形以及边长为b 的大正方形的纸片 （1）如果现有小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，请你将它们拼 成一个大长方形（在图2 虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项 式 a2+3ab+2b2分解因式 （2）已知小正方形与大正方形的面积之和为169，长方形的周长为34， 求长方形的面积 （3）现有三种纸片各8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把 取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以 拼成多少种边长不同的正方形 【分析】（1）根据小正方形 1 张，大正方形 2 张，长方形 3 张，直接画出 图形，利用图形分解因式即可； （2）由长方形的周长为34，得出 a+b=17，由题意可知：小正方形与大正方 形的面积之和为a2+b2=169，将 a+b=17两边同时平方，可求得ab 的值，从而可 求得长方形的面积； （3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数）由完全平方公式可 知：（ na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8 张， n28，m28，2mn8（n、m 为正整数）从而可知n2，m2，从而可得出 答案 【解答】 解：（ 1）如图： 拼成边为（ a+2b）和（a+b）的长方形 a 2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）； （2）长方形的周长为34， a+b=17 小正方形与大正方形的面积之和为169， a 2+b2=169 将 a+b=17两边同时平方得：（ a+b）2=17 2，整理得： a2+2ab+b2=289， 2ab=289169， ab=60 长方形的面积为60 （3）设正方形的边长为（ na+mb），其中（ n、m 为正整数） 正方形的面积 =（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2 现有三种纸片各8 张， n28，m28，2mn8（n、m 为正整数） n2，m2 共有以下四种情况； n=1，m=1，正方形的边长为a+b； n=1，m=2，正方形的边长为a+2b； n=2，m=1，正方形的边长为2a+b； n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b 【点评】此题考查因式分解的运用， 要注意结合图形解决问题， 解题的关键是灵 活运用完全平方公式 17（2014 秋?莱城区校级期中）（ 1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2 用两种不同的方法，计算图2 中长方形的面积； 由此，你可以得出的一个等式为：a 2+2a+1 =（a+1）2 （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3 所示 请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图； 请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图 【分析】 （1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式； （2）要能根据等式画出合适的拼图 【解答】 解：（ 1）长方形的面积 =a 2+2a+1；长方形的面积 =（a+1）2； a 2+2a+1=（a+1）2； （2）如图，可推导出（ a+b） 2=a2+2ab+b2； 2a 2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b） 【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图 形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解 18（2013 秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s2=a2+b2， s3=a3+b3， ，sn=an+bn （1）计算 s2； （2）请阅读下面计算s3的过程： 因为 a+b=1，ab=1， 所以 s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）ab（a+b）=1×s2（ 1）=s2+1=4 你读懂了吗？请你先填空完成 （2）中 s3的计算结果， 再用你学到的方法计算s4 （3）试写出 sn2，sn1，sn三者之间的关系式； （4）根据（ 3）得出的结论，计算s6 【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab 的值，即可 推出结论； （3）根据（ 1）所推出的结论，即可推出Sn2+Sn1=Sn； （4）根据（ 3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3 【解答】 解：（ 1）S2=a2+b2=（a+b）22ab=3； （2）（ a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b）， 3×1=a3+b31， a 3+b3=4，即 S 3=4； S4=（a2+b2） 22（ab）2=7， S4=7； （3）S2=3，S3=4，S4=7， S2+S3=S4， Sn2+Sn1=Sn； （3）Sn2+Sn1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7， S5=4+7=11， S6=7+11=18 【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用， 关键在于根据题 意推出 S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律： Sn2+Sn1=Sn 19（2013 春?重庆校级期末）（ 1）利用因式分解简算： 9.82+0.4×9.8+0.04 （2）分解因式： 4a（a1） 2（1a） 【分析】 （1）利用完全平方公式因式分解计算即可； （2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可 【解答】 解：（ 1）原式 =9.82+2×0.2×9.8+0.22 =（9.8+0.2） 2 =100； （2）4a（a1）2（1a） =（a1）（4a24a+1） =（a1）（2a1）2 【点评】此题考查因式分解的实际运用， 掌握平方差公式和完全平方公式是解决 问题的关键 20（2013 春?惠山区校级期末）阅读材料：若m22mn+2n28n+16=0，求 m、 n 的值 解： m22mn+2n28n+16=0，（ m22mn+n2）+（n28n+16）=0 （mn）2+（n4） 2=0，（ mn）2=0，（n4）2=0，n=4，m=4 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值 （2）已知 ABC的三边长 a、b、c都是正整数，且满足a2+b26a8b+25=0， 求ABC的最大边 c 的值 （3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，则 ab+c=7 【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两 个非负数之和为 0，两非负数分别为0 求出 x 与 y 的值，即可求出 xy 的值； （2）将已知等式 25 分为 9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两 个非负数之和为 0，两非负数分别为 0 求出 a 与 b 的值，根据边长为正整数且三 角形三边关系即可求出c 的长； （3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公 式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为 0 求出 b 与 c 的值，进而求 出 a 的值，即可求出 ab+c 的值 【解答】 解：（ 1）x 2+2xy+2y2+2y+1=0 （x 2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 （x+y）2+（y+1） 2=0 x+y=0y+1=0 解得 x=1，y=1 xy=2； （2）a 2+b26a8b+25=0 （a26a+9）+（b28b+16）=0 （a3） 2+（b4）2=0 a3=0，b4=0 解得 a=3，b=4 三角形两边之和第三边 ca+b，c3+4 c7，又 c 是正整数， c 最大为 6； （3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（ b+4）b+c 26c+13=0， 整理得：（ b2+4b+4）+（c 26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0， b+2=0，且 c3=0，即 b=2，c=3，a=2， 则 ab+c=2（ 2）+3=7 故答案为： 7 【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质， 熟练掌握完全平方公 式是解本题的关键 21（2012 秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x24x+m 有一个因式是（ x+3），求另一个因式以及m 的值 解：设另一个因式为（ x+n），得 x24x+m=（x+3）（x+n），则 x24x+m=x2+ （n+3）x+3n n+3=4 m=3n 解得： n=7，m=21 另一个因式为（ x7），m 的值为 21 问题： （1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（ x2）（x+a），则 a=3； （2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（ 2x1）（x+5），则 b=9； （3）仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式 2x2+5xk 有一个因式是 （2x 3），求另一个因式以及k 的值 【分析】（1）将（x2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的 值； （2）（2x1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值； （3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2+5xk=（2x3）（x+n）=2x2+（2n3）x 3n，可知 2n3=5，k=3n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式 【解答】 解：（ 1）（ x2）（x+a）=x2+（a2）x2a=x 25x+6， a2=5， 解得： a=3； （2）（ 2x1）（x+5）=2x2+9x5=2x 2+bx5， b=9； （3）设另一个因式为（ x+n），得 2x2+5xk=（2x3）（x+n）=2x2+（2n3）x 3n， 则 2n3=5，k=3n， 解得： n=4，k=12， 故另一个因式为（ x+4），k 的值为 12 故答案为：（ 1）3；（2 分）（ 2）9；（2 分）（ 3）另一个因式是x+4，k=12 （6 分） 【点评】本题考查因式分解的意义， 解题关键是对题中所给解题思路的理解，同 时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子 的不同表现形式 22（2012 春?郯城县期末）分解因式： （1）2x2x； （2）16x 21； （3）6xy 29x2yy3； （4）4+12（xy）+9（xy） 2 【分析】 （1）直接提取公因式 x 即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（ xy）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可 【解答】 解：（ 1）2x2x=x（2x1）； （2）16x 21=（4x+1）（4x1）； （3）6xy 29x2yy3， =y（9x26xy+y2）， =y（3xy） 2； （4）4+12（xy）+9（xy） 2， = 2+3（xy） 2， =（3x3y+2） 2 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法， 难 点在（3），提取公因式 y 后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解 23 （2012 春?碑林区校级期末） 已知 a，b，c是三角形的三边， 且满足（a+b+c） 2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状 【分析】 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题 【解答】 解：（ a+b+c）2=3（a2+b2+c2）， a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2， a2+b22ab+b2+c 22bc+a2+c22ac=0， 即（ab）2+（bc）2+（ca）2=0， ab=0，bc=0，ca=0， a=b=c ， 故ABC为等边三角形 【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断关键是 将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题 24（2011 秋?北辰区校级期末）分解因式 （1）2x44x2y2+2y4 （2）2a34a 2b+2ab2 【分析】 （1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可 【解答】 解：（ 1）2x44x2y2+2y4 =2（x 42x2y2+y4） =2（x 2y2）2 =2（x+y）2（xy） 2； （2）2a34a 2b+2ab2 =2a（a22ab+b2） =2a（ab） 2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进 行二次分解，注意分解要彻底 25（2011 秋?苏州期末）图是一个长为2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线 用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形 （1）图中的阴影部分的面积为（mn）2； （2）观察图请你写出三个代数式（m+n） 2、（mn）2、mn 之间的等量关系 是（m+n）2（mn）2=4mn （3）若 x+y=7，xy=10，则（ xy）2=9 （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示 如图，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2 （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2 【分析】 （1）可直接用正方形的面积公式得到 （2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别 （3）此题可参照第（ 2）题 （4）可利用各部分面积和 =长方形面积列出恒等式 （5）可参照第（ 4）题画图 【解答】 解：（1）阴影部分的边长为（ mn），阴影部分的面积为（ mn）2； （2）（m+n） 2（mn）2=4mn； （3）（xy） 2=（x+y）24xy=7240=9； （4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2； （5）答案不唯一： 例如： 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用 不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形 26（2009 秋?海淀区期末）已知 a、b、c满足 ab=8，ab+c2+16=0，求 2a+b+c 的值 【分析】本题乍看下无法代数求值， 也无法进行因式分解； 但是将已知的两个式 子进行适当变形后，即可找到本题的突破口由ab=8可得 a=b+8；将其代入 ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现 b2+8b+16 正好符合完全平方公式， 因此可用非负数的性质求出b、c 的值，进而可求得 a 的值；然后代值运算即可 【解答】 解：因为 ab=8， 所以 a=b+8（1 分） 又 ab+c2+16=0， 所以（ b+8）b+c 2+16=0（2 分） 即（b+4）2+c2=0 又（b+4）20，c20， 则 b=4，c=0（4 分） 所以 a=4，（5 分） 所以 2a+b+c=4（6 分） 【点评】本题既考查了对因式