2018届河北省衡水中学高三下学期期中考试理科数学试题及答案精品.pdf

20182018 学年度第二学期期中考试 高三年级数学试卷（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题 )两部分，共 150 分。考试时间 120分钟。 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题（每小题 5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符 合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 已知复数 5 21 i i z，则它的共轭复数z等于( ) A2 i B2i C2i D 2i 2 已知 集 合20,Ax xxN，2,BxxxZ， 则满 足 条 件 ACB的集合C的个数为（） A.5 B.4 C.3 D.2 3甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如 下表： 甲108 112 110 109 111 乙109 111 108 108 109 则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是（） A 同学甲，同学甲B同学甲，同学乙 C同学乙，同学甲D同学乙，同学乙 4 已 知 平 面 向量,m n的 夹 角为, 6 且 3,2mn， 在ABC中 ， 22ABmn，26ACmn，D为BC中点，则AD( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则 P 的取值范围是 （） A 715 816 P B. 15 16 PC 715 816 P D. 37 48 P 6若函数 1 ( )e (0,) ax f xab b 0的图象在 0x处的切线与圆 22 1xy 相切，则ab的最大值是（） A.4 B.2 2 C.2 D.2 7 右 图 是 某 四 棱 锥 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 等 于 第 5 题图 视 主视图 侧视图 俯图 4 2 33 6 第 7 题 2 第 7 题图 （） A346 5B66 54 3C66 34 13 D176 5 8将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。则白 球与黄球不相邻的放法有（） A10 种B12 种C14 种D16 种 9双曲线 M:1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）实轴的两个顶点为 A,B，点P为双曲 线M 上除A、B外的一个动点，若PAQA且PBQB, 则动点 Q 的运动轨迹 为（） A . 圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 10设函数)cos(sin)(xxexf x )20140(x，则函数)(xf的各极小值之 和为（） A. 2 20142 1 )1( e ee B. e ee 1 )1( 10072 C. 2 10072 1 )1( e ee D. 2 20122 1 )1( e ee 11三棱锥P-ABC 中，顶点P 在平面ABC上的射影为o, 满足 0OAOBOC，A点在侧面 PBC上的射影 H是PBC 的垂心， PA =6， 则此三棱锥体积最大值是（） A12 B36 C48 D24 12已知 f （x）是定义在 R上的且以 2 为周期的偶函数，当0x1 时，f （x）=x 2，如果函数 g（x）=f （x）（ x+m ）有两个零点， 则实数 m的值为 ( ) A2k（kZ）B 2k或2k+ 1 4 （ k Z ）C 0 D2k 或 2k 一 1 4 （kZ） 第卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（每题 5分，共 20分。把答案填在答题纸的横线上） 13设等比数列 n a满足公比 * Nq， * Nan，且 n a中的任意两项之积 也 是该 数 列 中的 一 项 ， 若 81 1 2a，则q的 所 有 可 能 取值 的 集 合 为。 14已知 223344 22,33,44, 33881515 ，若66( , aa a t tt 均 为正实数），类比以上等式，可推测a，t 的值， t-a= 。 15. 动 点 ),(baP在 区 域 0 0 02 y yx yx 上 运 动 ， 则 1 3 a ba w的 范 围。 16定义一个对应法则,0,0:，fP m nPmnmn现有点 2,6A与 6,2B点，点M是线段 AB上一动点，按定义的对应法则:fMM当点 M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M所经 过的路线长度为 三、解答题（本大题共8 小题，共 70 分，17-21必做，每题 12 分； 22、23、24 选做，每题10 分，多选以第一题为准，解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17.（本小题满分 12 分） 若)0(cossincos3)( 2 aaxaxaxxf的图像与直线)0(mmy相切， 并且切点横坐标依次成公差为的等差数列 . (1) 求a和m的值； (2) ABC中 a、b、c 分别是 A、B、C的对边。若 ) 2 3 2 ，（ A 是函 数)(xf图象的一个对称中心，且a=4，求 ABC周长的取值范围。 18 （本小题满分 12 分） 今年我校高二理科班学生共有800 人参加了数学与语文的学业水 平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100 人进行成绩抽样统 计，先将 800 人按 001，002， 。 。 。 。 。800 进行编号： （1）如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读， 请你依次写出最先检测的 三个人的编号：（下面摘取了第7 行至第 9 行） （2）抽出 100 人的数学与语文的水平测试成绩如下表： 成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示语文成绩 与数学成绩，若在该样本中，数学成绩优秀率是30% ，求 a、b 的值； （3）在语文成绩为及格的学生中，已知10,8ab，设随机变量 ba，求的分布列、期望 ; 数学成绩为优秀的人数比及格的 人数少的概率 19. （本小题满分 12 分） 如图，五面体 11 ABCC B 中， 4 1 AB 底面 ABC 是正三角形， 2AB 四边形 11 BCC B 是矩形，二面角 1 ABCC 为直二面角 （） D在AC上运动，当D在何处时，有 1 AB 平面 1 BDC ， 并且说明理由； （）当 1 AB 平面 1 BDC 时，求二面角 DBCC 1 余弦值 20 （本小题满分 12 分） 已 知 椭 圆 1 2 2 2 2 b y a x （0ba） 的 两 个 焦 点 分 别 为 )0)(0,(),0 ,( 21 ccFcF，过点)0 ,( 2 c a E的直线与椭圆相交于点A,B 两点，且 |2| ,/ 2121 BFAFBFAF （）求椭圆的离心率（）直线AB的斜率； （） 设点 C与点 A关于坐标原点对称，直线BF2上有一点 H(m,n)(0m) 在CAF1的外接圆上，求 m n 的值。 21 （本小题满分 12 分） 对于函数 f（x） （xD） ，若 xD时，恒有( )fx( )f x成立，则称 函数( )f x是 D上 的 J 函数 （）当函数 f （x）m x elnx 是定义域上的 J 函数时，求 m的取值范 围； （）若函数 g（x）为（ 0，）上的 J 函数， 试比较 g（a）与 1a eg（1）的大小； 求证：对于任意大于1 的实数 x1，x2，x3， xn，均有 g（ln （x1x2 xn） ）g（lnx1）g（lnx2） g（lnxn） 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，直线AB经过O上的点C，并且 ,CBCAOBOAO交直线 OB于E，D，连接CDEC, （）求证：直线AB是O的切线； （）若, 2 1 tanCEDO的半径为3， 求OA的长 23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy中， 圆锥曲线C的参数方程为 sin3 cos2 y x （ 为参数） ，定点)3,0(A， 21,F F是圆锥曲线C的左，右焦点 （）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点 1 F且 平行于直线 2 AF的直线l的极坐标方程； （）在（I ）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于FE,两点，求弦EF 的长 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选讲 在平面直角坐标系中，定义点 11 (,)P xy、 22 (,)Q xy之间的直角距离 为 1212 (,)|L P Qxxyy，点( ,1)A x，(1,2)B，(5,2)C （1）若( ,)(,)L A BL A C，求x的取值范围； （2）当xR时，不等式 ( ,)( ,)L A BtL A C恒成立，求t的最小值 . 高三期中理科数学参考答案 1-5 CB B A D 6-10 D A C C D 11.B 12.D 13. 392781 2, 2 ,2 ,2,2 14.29 15.),31,( 16. 2 3 17. 解：（1）axaxaxxfcossincos3)( 2 =) 3 2sin( 2 3 ax 3 分 由题 意 ， 函 数)(xf的周 期 为， 且最 大 （ 或 最小 ） 值为 m， 而 0m,01 2 3 所以， ,1a1 2 3 m 6 分 （2） （) 2 3 2 ， A 是函数)(xf图象的一个对称中心0) 3 sin( A 又因为A为ABC的内角，所以 3 A 9 分 ABC中， 则由正弦定理得： 3 38 3 sin 4 sinsinsinAc c B ba ， 4) 6 sin(84) 3 sin(sin 3 38 4sinsin 3 38 4BBBCBcbacb 3 2 0Bb+c+a12,8( 12 分 18 、 解 ：（ 1 ） 依 题 意 ， 最 先 检 测 的3 个 人 的 编 号 依 次 为 785,667,199 ； 3 分 （2）由3 .0 100 97a ，得 14a， 5 分 100654182097ba， 17b； 7 分 （3）由题意，知31ba，且8,10 ba， 满足条件的),(ba有： （10，21） ， （11，20） ， （12，19） ， （13， 18） ， （14，17） ， （15，16） ， （16，15） ， （17，14） ， （18，13） ， （19，12） ， （20，11） ， （21，10） ， （22， 9） ， （23，8）共 14 组， 且每组出现的可能性相 同. . 9 分 1 3 5 7 9 11 13 15 P 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 7 1 14 1 14 1 7 50 E 数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 7 3 14 6 19. 解： （）当 D为 AC 中点时 , 有 / 1 AB 平面 1 BDC (2 分) 证明: 连结 1 B C 交 1 BC 于 O, 连结DO 四边形 11 BCC B 是矩形 O为 1 B C 中点又 D为AC中点,从而 1 /DOAB (4 分) 1 AB 平面 1 BDC , DO 平面 1 BDC / 1 AB 平面 1 BDC (6 分) （）建立空间直角坐标系 Bxyz 如图所示 , 则 (0,0,0)B , (3,1,0)A , (0,2,0)C , 3 3 (,0) 22 D , 1(0,2,23)C (7 分) 所以 3 3 (,0) 22 BD , 1 (0,2,23)BC (8 分) 设 ),( 1 zyxn 为平面 1 BDC 的法向量 , 则有 33 0 22 22 30 xy yz ，, 即 3 3 xz yz 令 1z, 可得平面 1 BDC 的一个法向量为 1 (3,3,1)n , 而平面 1 BCC 的一个法向量为 2 (1,0,0)n (10 分) 所 以 12 12 12 33 13 cos, 13|13 n n n n n n ， 故 二 面 角 DBCC 1 的 余 弦 值 为 13 133 (12 分) 20解 （1）解：由| ,/ 2121 BFAFBFAF，得 2 1 | | | | 1 2 1 2 AF BF EF EF , 从而 2 1 2 2 c c a c c a ，整理得 22 3ca，故离心率 3 3 a c e .3 分 （2）解：由（ 1）知， 2222 2ccab，所以椭圆的方程可以写为 222 632cyx 设直线 AB的方程为)( 2 c a xky即)3(cxky 由已知设),(),( 2211 yxByxA则它们的坐标满足方程组 222 632 )3( cyx cxky 消去 y 整理，得062718)32( 222222 cckcxkxk 依题意， 3 3 3 3 ,0)31(48 22 kkc 而 2 222 21 2 2 21 32 627 , 32 18 k cck xx k k xx，有题设知，点B 为线段 AE的 中点，所以 21 23xcx 联立三式，解得 2 222 2 2 2 1 32 29 , 32 29 k cck x k cck x，将结果代入韦达定理 中解得 3 2 k .8 分 (3) 由（2）知， 2 3 ,0 21 c xx，当 3 2 k时，得A)2,0(c由已知得 )2,0(cC 线段 1 AF的垂直平分线 l 的方程为), 2 ( 2 2 2 2c x c y直线 l 与 x 轴 的 交 点)0, 2 ( c 是CAF1的 外 接 圆 的 圆 心 ， 因 此 外 接 圆 的 方 程 为 222 ) 2 () 2 (c c y c x 直 线BF2的 方 程 为)(2cxy， 于 是 点),(nmH满 足 方 程 组 )(2 4 9 ) 2 ( 2 22 cmn c n c m 由0m，解得 2 22 , 3 5c n c m，故 5 22 m n 当 3 2 k时，同理可得 5 22 m n .12 分 21 解： （）由e ln x fxmx，可得 e e ln x x fxmx x ， 因为函数fx是J函数，所以 e e lne ln x xx mxmx x ，即 e 0 x m x ， 因为 e 0 x x ，所以0m，即m的取值范围为 (0,). 3 分 （）构造函数,0, e x g x h xx， 则0 e x gxg x hx，可得h x为0,上的增函数， 当1a时，1h ah，即 1 ee a g ag ，得 1 e1 a g ag； 当01a时，1h ah，即 1 ee a g ag ，得 1 e1 a g ag； 当1a时，1h ah，即 1 ee a g ag ，得 1 e1 a g ag. 6 分 因为 121n xxxx，所以 121 lnln n xxxx， 由可知 121 lnln n hxxxhx， 所以 1 12 12 1 lnln lnln e e n n xxxx gxxxgx ，整理得 112 1 12 ln ln n n x gxxx gx xxx ， 同理可得 212 2 12 ln ln n n x gxxx gx xxx ， 12 12 ln ln nn n n x gxxx gx xxx . 把 上 面n个 不 等 式 同 向 累 加 可 得 【 全 , 品 中 &高 * 考 * 网 】 1212 lnlnlnln nn gxxxgxgxgx. 12 22 证明： （1）如图，连接ABOCCBCAOBOAOC, OC是圆的半径，AB是圆的切线 -3分 （2）ED是直径，90,90EDCEECD 又 EBCCBDEBCDODCOCDOCDBCD又,90， BCDBEC，BEBDBC BC BD BE BC 2 ，-5分 2 1 tan EC CD CED， BCDBEC， 2 1 EC CD BC BD -7分 设 ,2,xBCxBD则2)6()2( 22 BDxxxBEBDBC-9分 532ODBDOBOA-10分 23解： （1）圆锥曲线C的参数方程为 sin3 cos2 y x （为参数） ， 所以普通方程为C： 1 34 22 yx -2分 )1(3:,3)0, 1(),0, 1(),3,0( 12 xylkFFA 直线l极坐标方程为： 3) 3 sin(23cos3sin-5分 （2）085 )1(3 1 34 2 22 xx xy yx ， 5 16 4)(1 21 2 21 2 xxxxkMN- A C B E O D -10分 24. 解 （1） 由定义得1151xx， 即15xx， 两边平方得824x， 解得3x；-（4 分） （2）当xR时，不等式15xxt恒成立，也就是15txx恒 成立， 法一：函数令 41 152615 45 x fxxxxx x ，所以 max 4fx， 要使原不等式恒成立只要4t即可，故 min 4t. 法二：三角不等式性质因为15154xxxx，所以4t， min 4t.-（10 分） 精品推荐强力推荐值得拥有