平行四边形证明练习题.pdf

平行四边形证明练习题 一解答题 1如图所示，已知在平行四边形ABCD 中， BE=DF 求证： DAE= BCF 2在 ?ABCD 中， E，F 分别是 BC、AD 上的点，且BE=DF 求证： AE=CF 3如图，四边形ABCD 是平行四边形，E、 F 分别是 BCAD 上的点， 1=2 求证： ABE CDF 4如图，已知：平行四边形ABCD 中， E 是 CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点求证： BC=DF 5如图，在 ?ABCD 中， AC 交 BD 于点 O，点 E、点 F 分别是 OA 、OC 的中点，请判断线段BE、DF 的关系，并 证明你的结论 6已知：如图，?ABCD 中， E、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF 求证： ABE CDF . ;. 7如图，已知在?ABCD 中，过 AC 中点的直线交CD， AB 于点 E，F求证： DE=BF 8如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=CD=AE 四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？ 9如图， E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点， AE=CF 求证： DE=BF 10如图，四边形ABCD 中， AD=BC ， AEBD ，CFBD ，垂足为 E、F， AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行 四边形 11如图， 在ABC 中，AD 是中线， 点 E 是 AD 的中点， 过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于点F，连接 BF 求证：四边形AFBD 是平行四边形 12如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=DC ，DEAB ，AD+DC=BC 求证： （1）DE=DC ； （2）DEC 是等边三角形 13已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点， AE=CF 求证： （1）ADF CBE； . ;. （2）连接 DE、 BF，试判断四边形DEBF 的形状，并说明理由 14如图，平行四边形ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在 AB、 BC、CD、AD 边上且 AE=CG， AH=CF 求证：四边形EFGH 是平行四边形 15如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF （1）猜想探究：BE 与 DF 之间的关系：_ （2）请证明你的猜想 16如图， E、F 是平行四边形ABCD 对角线 AC 上的两点，且BEDF求证： 1=2 17如图，已知E， F 分别是 ?ABCD 的边 AB，CD 的中点求证：ED=BF 18如图， BD 是?ABCD 的对角线， ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F求证： 四边形 DEBF 为平行四边形 19如图，在 ?ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，已知点 E、F 分别为 AO 、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形 . ;. 20如图所示， A，E，F，C 在一条直线上，AE=CF ，过 E，F 分别作 DEAC ，BFAC，若 AB=CD ，可以得到 BD 平分 EF，为什么？说明理由 21如图， ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、 G 分别是 OB、OC 的中点 求证： EF=DG 且 EFDG 22已知如图所示，?ABCD 的对角线AC、BD 交于 O，GH 过点 O，分别交 AD 、BC 于 G、H，E、F 在 AC 上且 AE=CF ，求证：四边形EHFG 是平行四边形 . ;. 平行四边形证明练习题 参考答案与试题解析 一解答题（共22 小题） 1如图所示，已知在平行四边形ABCD 中， BE=DF 求证： DAE= BCF 考点 ： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质 分析：根据平行四边形性质求出AD BC，且 AD=BC ，推出 ADE= CBF，求出 DE=BF ，证 ADE CBF， 推出 DAE= BCF 即可 解答：证明： 四边形 ABCD 为平行四边形， AD BC，且 AD=BC ， ADE= CBF 又 BE=DF ， BF=DE ， 在ADE 和 CBF 中 ， ADE CBF ， DAE= BCF 点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出ADE 和 CBF 全等的三个条件，主要考查学生的推理能力 2在 ?ABCD 中， E，F 分别是 BC、AD 上的点，且BE=DF 求证： AE=CF 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD ， B=D，根据 SAS 证出 ABECDF 即可推出答案 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， B=D， BE=DF ， ABE CDF ， AE=CF 点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出 ABE CDF 是证此题的关键 3如图，四边形ABCD 是平行四边形，E、 F 分别是 BCAD 上的点， 1=2 . ;. 求证： ABE CDF 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定 分析：利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， B=D，AB=CD ， 在： ABE 与CDF 中， ABE CDF （ASA ） 点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解 决本题的关键 4如图，已知：平行四边形ABCD 中， E 是 CD 边的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于F 点求证： BC=DF 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC，根据平行线的性质即可求得EBC= F， C=EDF，又 由 E 是 CD 边的中点，根据AAS 即可求得 EBCEFD，则问题得证 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， EBC= F， C=EDF， 又 EC=ED， EBCEFD（ AAS） ， BC=DF 点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结 合思想的应用 5 （2013?莒南县二模）如图，在?ABCD 中， AC 交 BD 于点 O，点 E、点 F 分别是 OA、OC 的中点，请判断线段 BE、DF 的关系，并证明你的结论 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 . ;. 分析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC ，OB=OD ，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平 行四边形的判定定理“ 对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判定 BFDE 是平行四边形， 从而得出 BE=DF ， BEDF 解答：解：由题意得：BE=DF ，BEDF理由如下： 连接 DE、BF ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OB=OD ， E，F 分别是 OA，OC 的中点， OE=OF， BFDE 是平行四边形， BE=DF ，BEDF 点评：本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用性质： 平行四边形两组对边分别平行； 平行四 边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角 分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 6已知：如图，?ABCD 中， E、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF 求证： ABE CDF 考点 ： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定 分析：根据平行四边形的性质得出ABDC，AB=CD ，根据平行线的性质推出BAC= DCF，根据 SAS 证出即 可 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，AB=CD ， BAC= DCF， AE=CF ， ABE CDF 点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证 ABE CDF 的三个条件是解此题的关键 7如图，已知在?ABCD 中，过 AC 中点的直线交CD， AB 于点 E，F求证： DE=BF 考点 ： 平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质 . ;. 分析：根据平行四边形的性质得到DC=AB ，DCAB，根据平行线的性质得到 ECA= BAC ，CEO=AFO ， 能推出 AOF COE，得到 CE=AF ，即可证出答案 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， DC=AB ， DCAB ， ECA= BAC ，CEO=AFO ， OA=OC ， AOFCOE， CE=AF ， DC=AB ， DE=BF 点评：本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解 此题的关键是根据平行四边形的性质证出AOF 和COE 全等 8如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=CD=AE 四边形AECD 是平行四边形吗？为什么？ 考点 ： 等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定 分析：根据等腰三角形性质求出B=C，根据等腰三角形性质推出AEC= B= C，推出 AECD，根据平行 四边形的判定推出即可 解答：解：是平行四边形， 理由： 四边形 ABCD 是等腰梯形，AD BC， AB=DC ， B=C， AB=AE ， AEB= B， AEB= C， AEDC， 又 AD BC ， 四边形 AECD 是平行四边形 点评：本题考查了等腰三角形的性质，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应 用，关键是根据题意推出AECD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较强 9如图， E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点， AE=CF 求证： DE=BF 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定 分析：连接 BE， DF，BD ，BD 交 AC 于 O，根据平行四边形性质求出OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF，根据平 行四边形的判定推出四边形BEDF 是平行四边形即可 解答：证明：连接BE，DF， BD，BD 交 AC 于 O， 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OD=OB ， . ;. AE=CF ， OE=OF， 四边形 BEDF 是平行四边形， DE=BF 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定等应用，关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理，此 题的证明方法二是证AED CFB，推出 DE=BF 10如图，四边形ABCD 中， AD=BC ， AEBD ，CFBD ，垂足为 E、F， AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行 四边形 考点 ： 平行四边形的判定；平行线的性质；全等三角形的判定与性质 分析：求出 AED= CFB=90° ，根据 HL 证 Rt AED RtCFB，推出 ADE= CBD ，得到 AD BC，根据平 行四边形的判定判断即可 解答：证明： AE BD，CFBD ， AED= CFB=90 ° ， 在 RtAED 和 RtCFB 中 ， RtAED Rt CFB（HL） ， ADE= CBD， AD BC， AD=BC ， 四边形 ABCD 是平行四边形 点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出 AD BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力 11如图， 在ABC 中，AD 是中线， 点 E 是 AD 的中点， 过 A 点作 BC 的平行线交CE 的延长线于点F，连接 BF 求证：四边形AFBD 是平行四边形 考点 ： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 专题 ： 证明题 分析：求出 AE=DE ，AFE= DCE，证 AEFCED，推出 AF=DC ，得出 AFBD ，AF=BD ，根据平行四边 形的判定推出即可 . ;. 解答：证明： E 为 AD 中点， AE=DE ， AFBC， AFE= DCE， 在 AEF 和CED 中 ， AEFCED（AAS ） ， AF=DC ， AD 是 ABC 的中线， BD=DC ， AF=BD ， 即 AFBD ，AF=BD ， 故四边形AFBD 是平行四边形 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，关键是推出AF=DC=BD 12如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC，AB=DC ，DEAB ，AD+DC=BC 求证： （1）DE=DC ； （2）DEC 是等边三角形 考点 ： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质 分析：（ 1）证出平行四边形ABED ，推出 DE=AB ，即可推出答案；（2）根据 BE=AD ，AD+DC=BC ，BE+EC=BC ， 推出 DC=EC 即可证出答案 解答：证明：（1）AD BC ，DEAB ， 四边形 ABED 是平行四边形， DE=AB ， AB=DC ， DE=DC （ 2）证明： BE=AD ，AD+DC=BC ，BE+EC=BC ， DC=EC， 由（ 1）知： DE=DC ， DE=DC=EC ， DEC 是等边三角形 点评：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定等知识点的理解和掌握， 证出平行四边形ABED 和 DC=EC 是解此题的关键 13已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点， AE=CF 求证： （1）ADF CBE； （2）连接 DE、 BF，试判断四边形DEBF 的形状，并说明理由 . ;. 考点 ： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：（ 1） 根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD 与 BC 平行且相等， 由 AD 与 BC 平行得到内错角DAF 与 BCA 相等，再由已知的AE=CF ，根据 “ SAS” 得到 ADF 与CBE 全等； （ 2）由（ 1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到DF 与 EB 相等且 DFA 与BEC 相等，由内错角 相等两直线平行得到DF 与 BE 平行， 根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状 解答：证明：（1）ABCD 是平行四边形， AD=BC ， ADBC（1 分） DAF= BCA （2 分） ，AE=CF ， AE+EF=CF+EF ，即 AF=CE （3 分） ADF CBE （4 分） （ 2）四边形DEBF 是平行四边形（5 分） ADF CBE ， DFA= BEC，DF=BE ， DFBE， 四边形 DEBF 是平行四边形（6 分） 点评：本题综合考查了全等三角形的判断与性质，以及平行四边形的判断与性质其中第2 问是一道先试验猜想， 再探索证明的新型题，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类几何试题将成为今后中考的热 点试题 14如图，平行四边形ABCD 中，点 E、F、G、H 分别在 AB、 BC、CD、AD 边上且 AE=CG， AH=CF 求证：四边形EFGH 是平行四边形 考点 ： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：易证得 AEH CGF，从而证得对应边BE=DG 、DH=BF 故有 BEF DGH，根据两组对边分别相等 的四边形是平行四边形而得证 解答：证明：在平行四边形ABCD 中， A= C（平行四边形的对边相等）； 又 AE=CG ，AH=CF （已知）， AEH CGF（SAS） ， EH=GF（全等三角形的对应边相等）； 在平行四边形ABCD 中， AB=CD ，AD=BC （平行四边形的对边相等）， ABAE=CD CG，AD AH=BC CF， 即 BE=DG ，DH=BF 又 在平行四边形ABCD 中， B=D， BEFDGH ； GH=EF（全等三角形的对应边相等）； 四边形 EFGH 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质平行四边形的判定方法共有五种，应用 . ;. 时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法 15如图，在平行四边形ABCD 中， E、F 是对角线AC 上的点，且AE=CF （1）猜想探究：BE 与 DF 之间的关系：平行且相等 （2）请证明你的猜想 考点 ： 平行四边形的判定与性质 分析：（ 1）BE 平行且等于DF； （ 2）连接 BD 交 AC 于 O，根据平行四边形的性质得出OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF，得出平行四边形 BEDF 即可 解答：（ 1）解： BE 和 DF 的关系是： BE=DF ，BE DF， 故答案为：平行且相等 （ 2）证明：连接BD 交 AC 于 O， ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OB=OD ， AE=CF ， OE=OF， BFDE 是平行四边形， BE=DF ，BEDF 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行 推理，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能 力 16如图， E、F 是平行四边形ABCD 对角线 AC 上的两点，且BEDF求证： 1=2 考点 ： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：由三角形全等 （ABE CDF）得到 BE=DF ，所以四边形BFDE 是平行四边形， 根据对角相等即可得证 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形（已知） ， AB=CD ， ABCD（平行四边形的对边平行且相等）， BAE= DCF（两直线平行，内错角相等）； . ;. BEDF（已知）， BEF= DFE（两直线平行，内错角相等）， AEB= CFD（等量代换）， ABE CDF （AAS ） ； BE=DF （全等三角形的对应边相等）， BEDF， 四边形 BEDF 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 1=2（平行四边形的对角相等） 点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，需要熟练掌握并灵活运用平行四边形的判定定理： 对边平行且相等的四边形是平行四边形 17如图，已知E， F 分别是 ?ABCD 的边 AB，CD 的中点求证：ED=BF 考点 ： 平行四边形的判定与性质 分析： 根据平行四边形的性质得到AB CD， AB=CD ， 根据线段的中点的定义得到EB=AB ， DF=CD， 即 BE=DF ， BEDF，得到平行四边形EBFD，根据平行四边形的性质即可得到答案 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，AB=CD ， E，F 分别是 ?ABCD 的边 AB，CD 的中点， EB=AB，DF=CD， BE=DF ， BEDF， 四边形 EBFD 是平行四边形， ED=BF 点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握，能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是 解此题的关键 18如图， BD 是?ABCD 的对角线， ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F求证： 四边形 DEBF 为平行四边形 考点 ： 平行四边形的判定与性质；角平分线的定义 分析：根据平行四边形性质和角平分线定义求出FDB= EBD ， 推出 DF BE，根据平行四边形的判定判断即可 解答：解： 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC，ABCD， CDB= ABD ， DF 平分 CDB，BE 平分 ABD ， FDB= CDB，EBD=ABD ， . ;. FDB= EBD ， DFBE， AD BC，即 EDBF， 四边形 DEBF 是平行四边形 点评：本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质和判定等的应用，关键是推出DFBE，主要检查学生能否运 用定理进行推理，题型较好，难度适中 19如图，在 ?ABCD 中，对角线AC 与 BD 交于点 O，已知点 E、F 分别为 AO 、OC 的中点，证明：四边形BFDE 是平行四边形 考点 ： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 分析：利用 “ 平行四边形的对角线互相平分” 的性质推知OA=OC ， OB=OD ；然后由已知条件“ 点 E、F 分别为 AO 、 OC 的中点 ” 可以证得OE=OF；最后根据平行四边形的判定定理“ 对角线相互平分的四边形为平行四边形” 即 可证得结论 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， OB=OD （平行四边形的对角线互相平分） 又 点 E、F 分别为 AO、OC 的中点， OE=OF 四边形 BFDE 是平行四边形（对角线相互平分的四边形为平行四边形） 点评：本题考查了平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联 系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法 20如图所示， A，E，F，C 在一条直线上，AE=CF ，过 E，F 分别作 DEAC ，BFAC，若 AB=CD ，可以得到 BD 平分 EF，为什么？说明理由 考点 ： 全等三角形的判定与性质；垂线；直角三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质 分析：求出 AFB= CED=90° ，DEBF，推出 AF=CE ，连接 BE、DF，根据 HL 证 RtABF RtCDE ，推出 DE=BF ，得出平行四边形DEBF，根据平行四边形的性质推出即可 解答：解： BD 平分 EF，理由是： 证法一、连接BE、DF DEAC ，BF AC， AFB= CED=90 ° ，DE BF， AE=CF ， AE+EF=CF+EF ， 即 AF=CE ， 在 RtABF 和 RtCDE 中 . ;. ， RtABFRtCDE， DE=BF ， DEBF， 四边形 DEBF 是平行四边形， BD 平分 EF； 证法二、 DEAC， BFAC ， AFB= CED=90 ° ，DE BF， AE=CF ， AE+EF=CF+EF ， 即 AF=CE ， 在 RtABF 和 RtCDE 中 ， RtABFRtCDE， DE=BF ， 在BFG 和 DEG 中 ， BFGDEG （AAS ） ， EG=FG， 即 BD 平分 EF 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，垂线，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，关键是得出平行 四边形 DEBF，题目比较好，难度适中 21如图， ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，F、 G 分别是 OB、OC 的中点 求证： EF=DG 且 EFDG 考点 ： 三角形中位线定理；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质 分析： 根据三角形的中位线推出DEBC ，DE=BC，GFBC，GF=BC，推出 GF=DE，GFDE，得出平行四 边形 DEFG，根据平行四边形的性推出即可 . ;. 解答：证明： BD 、CE 是 ABC 的中线， DEBC，DE=BC， 同理： GFBC，GF=BC， GF=DE，GFDE， 四边形 DEFG 是平行四边形， EF=DG，EFDG 点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的中线等知识点，主要检查学生能否熟练 的运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力 22已知如图所示，?ABCD 的对角线AC、BD 交于 O，GH 过点 O，分别交 AD 、BC 于 G、H，E、F 在 AC 上且 AE=CF ，求证：四边形EHFG 是平行四边形 考点 ： 平行四边形的判定与性质 分析：根据平行四边形性质得出OA=OC ，AD BC，推出 OE=OF，GAO= HCO，AGO= CHO，根据 AAS 证 AGOCHO，推出 OG=OH ，根据平行四边形的判定推出即可 解答：证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC ， ADBC， AE=CF ， OE=OF， AD BC， GAO= HCO， AGO= CHO， 在 AGO 和 CHO 中 ， AGOCHO（AAS） ， OG=OH ， OE=OF， 四边形 EHFG 是平行四边形 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的性质和判定等知识点，注意：平行四 边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形